利用三角形全等测距离.docx

利用三角形全等测距离.docx

《利用三角形全等测距离.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《利用三角形全等测距离.docx（28页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

利用三角形全等测距离

一．选择题（共12小题）

1．（2017春•普宁市期末）如图所示，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB=90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD=BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是（　　）

A．AADB．SASC．ASAD．SSS

【分析】根据SAS即可证明△ACB≌△ACD，由此即可解决问题．

【解答】解：

∵AC⊥BD，

∴∠ACB=∠ACD=90°，

在△ACB和△ACD中，

，

∴△ACB≌△ACD（SAS），

∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．

故选B．

【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．

2．（2017春•槐荫区期末）如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距高，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使得CD=BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可以证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是（　　）

A．SASB．SSSC．ASAD．AAS

【分析】根据垂直的定义、全等三角形的判定定理解答即可．

【解答】解：

∵AB⊥BD，ED⊥BD，

∴∠ABD=∠EDC=90°，

在△EDC和△ABC中，

，

∴△EDC≌△ABC（ASA）

故选：

C．

【点评】本题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

3．（2016秋•天津期末）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？

应该带（　　）

A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块

【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．

【解答】解：

1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，

只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．

故选B．

【点评】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS．

4．（2016秋•临清市期末）如图，要量湖两岸相对两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时可得△ABC≌△EDC，用于判定全等的是（　　）

A．SSSB．SASC．ASAD．AAS

【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．

【解答】解：

因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：

CD=BC，∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，

所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．

故选：

C．

【点评】此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．

注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

5．（2016秋•微山县期末）如图，两棵大树间相距13m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°，且EA=ED．已知大树AB的高为5m，小华行走的速度为lm/s，小华走的时间是（　　）

A．13B．8C．6D．5

【分析】首先证明∠A=∠DEC，然后可利用AAS判定△ABE≌△ECD，进而可得EC=AB=5m，再求出BE的长，然后利用路程除以速度可得时间．

【解答】解：

∵∠AED=90°，

∴∠AEB+∠DEC=90°，

∵ABE=90°，

∴∠A+∠AEB=90°，

∴∠A=∠DEC，

在△ABE和△DCE中

，

∴△ABE≌△ECD（AAS），

∴EC=AB=5m，

∵BC=13m，

∴BE=8m，

∴小华走的时间是8÷1=8（s），

故选：

B．

【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确判定△ABE≌△ECD．

6．（2015秋•重庆校级月考）要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有OA=OB=OC=OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（　　）

A．SSSB．SASC．ASAD．AAS

【分析】连接AB、CD，然后利用“边角边”证明△ABO和△DCO全等，根据全等三角形对应边相等解答．

【解答】解：

如图，连接AB、CD，

在△ABO和△DCO中，

，

∴△ABO≌△DCO（SAS），

∴AB=CD．

故选：

B．

【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．

7．（2014春•富平县期末）如图，△ABD≌△CDB，且AB，CD是对应边．下面四个结论中不正确的是（　　）

A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等

C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBDD．AD∥BC，且AD=BC

【分析】全等的两个三角形一定能够完全重合，故面积、周长相等．AD和BC是对应边，因此AD=BC．

【解答】解：

∵△ABD≌△CDB，AB，CD是对应边

∴∠ADB=∠CBD，AD=BC，△ABD和△CDB的面积相等，△ABD和△CDB的周长相等

∴AD∥BC

则选项A，B，D一定正确．

由△ABD≌△CDB不一定能得到∠ABD=∠CBD，因而∠A+∠ABD=∠C+∠CBD不一定成立

故选C．

【点评】本题主要考查了全等三角形性质的应用，做题时要结合已知与图形上的条件进行思考．

8．（2016春•贵阳期末）如图，是工人师傅用同一种材料制成的金属框架，已知∠B=∠E，AB=DE，BF=EC，其中△ABC的周长为24cm，CF=3cm，则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为（　　）

A．45cmB．48cmC．51cmD．54cm

【分析】根据BF=EC以及边与边的关系即可得出BC=EF，再结合∠B=∠E、AB=DE即可证出△ABC≌△DEF（SAS），进而得出C△DEF=C△ABC=24cm，结合图形以及CF=3cm即可得出制成整个金属框架所需这种材料的总长度．

【解答】解：

∵BF=EC，BC=BF+FC，EF=EC+CF，

∴BC=EF．

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS），

∴C△DEF=C△ABC=24cm．

∵CF=3cm，

∴制成整个金属框架所需这种材料的总长度为C△DEF+C△ABC﹣CF=24+24﹣3=45cm．

故选A．

【点评】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理（SAS）．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握全等三角形的判定定理是关键．

9．已知△ABC≌△A′C′B′，∠B与∠C′，∠C与∠B′是对应角，那么下列说法中：

①BC=C′B′；②∠C的平分线与∠B的平分线相等；③AC上的高与A′B′边上的高相等；④AB上的中线与A′B′边上的中线相等，其中正确的说法的个数（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】全等三角形的对应边相等，对应角相等，

对应边上的对应高相等，对应中线相等，对应角平分线相等．

不是对应边上的高线，中线就不一定相等．

不是对应角的平分线也不一定相等．

【解答】解：

∵△ABC≌△A′C′B′

∴BC=C′B′，AC上的高与A′B′边上的高相等．

①、③项正确．

故选B．

【点评】本题考查了全等三角形性质的应用；容易出现的错误是：

受字母的影响，找错对应角，与对应顶点，正确确定对应关系是解题的关键．

10．（2005春•怀宁县期末）小明不慎将三角形模具打碎为四块，若他只带其中一块到商店去，就能还配一块与原来一模一样的三角形模具，应带（　　）块去合适．

A．AB．BC．CD．D

【分析】此题应采用排除法通过逐个分析，只有D中保留了两角及一边，可确定其形状．从而确定最终答案．

【解答】解：

A只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃；

B，C则只保留了部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃；

而D不但保留了一个完整的边还保留了两个角，所以应该带“D”去，根据全等三角形判定“ASA”可以配出一块和原来一样的三角形玻璃．

故选D．

【点评】此题是对全等三角形的判定方法在实际生活中的考查，通过实际情况来考查学生对常用的判定方法的掌握情况．

11．（2012秋•云南校级期中）如图，欲测量内部无法到达的古塔相对两点A，B间的距离，可延长AO至C，使CO=AO，延长BO至D，使DO=BO，则△COD≌△AOB，从而通过测量CD就可测得A，B间的距离，其全等的根据是（　　）

A．SASB．ASAC．AASD．SSS

【分析】根据已知：

CO=AO，DO=BO，对顶角∠AOB=∠COD，利用SAS可判断△COD≌△AOB．

【解答】解：

在△COD和△AOB中，

∵

，

∴△COD≌△AOB（SAS）．

故选A．

【点评】本题考查了全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．

12．（2012•杭州模拟）我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是缩拢，△AED与△AFD始终保持全等，因此伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．你知道△AED≌△AFD的理由吗？

（　　）

A．SASB．ASAC．SSSD．AAS

【分析】由题意可知AE=AF，AD=AD，DE=DF根据三对边相等的两三角形全等即可证明△AED≌△AFD．

【解答】解：

理由如下，

证明：

∵E、F为定点，

∴AE=AF，

又∵AD=AD，ED=FD，

∴在△AED和△AFD中，

∴△AED≌△AFD（SSS）．

故选C．

【点评】本题考查了全等三角形的判断方法，常见的判断定理有：

（1）判定定理1：

SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．

（2）判定定理2：

SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：

ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．

（4）判定定理4：

AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：

HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．

二．填空题（共7小题）

13．（2016春•保定校级期末）“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据DE=DF，EH=FH，不用度量，就知道∠DEH=∠DFH，小明是通过全等三角形的识别得到的结论，请问小明用的识别方法是　SSS　（用字母表示）．

【分析】根据题目中的条件DE=DF，EH=FH，再加上公共边DH=DH，可利用SSS证明△DEH≌△DFH，再根据全等三角形的性质可得∠DEH=∠DFH．

【解答】证明：

∵在△DEH和△DFH中

，

∴△DEH≌△DFH（SSS），

∴∠DEH=∠DFH．

故答案为：

SSS．

【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握判定三角形全等的方法，SSS、ASA、AAS、SAS．

14．（2016秋•临城县期末）某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30cm，依据是　全等三角形对应边相等　和　两边及夹角对应相等的两个三角形全等　（用文字语言叙述）．

【分析】根据中点定义求出OA=OB，OC=OD，然后利用“边角边”证明△AOD和△BOC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．

【解答】解：

∵O是AB、CD的中点，

∴OA=OB，OC=OD，

在△AOD和△BOC中，

，

∴△AOD≌△BOC（SAS），

∴CB=AD，

∵AD=30cm，

∴CB=30cm．

所以，依据是两边及夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形对应边相等．

故答案为：

两边及夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形对应边相等．

【点评】本题考查了全等三角形的应用，比较简单，证明得到三角形全等是解题的关键．

15．（2016秋•诸暨市期中）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于O，OD⊥CD垂足为D．已知AB=20米．根据上述信息，标语CD的长度为　20　m．

【分析】根据两平行线间的距离相等得到OB=OD，再由一对直角相等，一对内错角相等，利用ASA得到三角形AOB与三角形COD全等，利用全等三角形对应边相等即可求出CD的长．

【解答】解：

∵AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，

∴OB=OD，

∵OB⊥AB，OD⊥DC，

∴∠ABO=∠CDO=90°，

在△ABO和△CDO中，

，

∴△ABO≌△CDO（ASA），

∴CD=AB=20m，

故答案为：

20

【点评】此题考查了全等三角形的应用，垂直定义，以及平行线间的距离，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

16．（2013秋•莱城区校级期中）刘老师拿着一张三角形的硬纸板（△ABC）让各小组自制一个与它全等的三角形，第一小组测量了∠A的度数和AB、BC的长度；第二小组分别测量了三边的长度；第三小组测量了三个角的度数；第四小组测量了BC、AC的长度及∠C的度数，那么你认为第　二、四　小组能制作出符合要求的三角形．

【分析】分别利用全等三角形的判定方法进行判断得出符合题意的图形．

【解答】解：

如图所示：

第一小组测量了∠A的度数和AB、BC的长度；此时利用ASS无法证明全等，故不能制作出符合要求的三角形；

第二小组分别测量了三边的长度；此时利用SSS证明全等，故能制作出符合要求的三角形；

第三小组测量了三个角的度数；此时利用AAA无法证明全等，故不能制作出符合要求的三角形；

第四小组测量了BC、AC的长度及∠C的度数，此时利用SAS证明全等，故能制作出符合要求的三角形；

故答案为：

二、四．

【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．

17．（2010•石家庄校级模拟）“石门福地”小区有一块直角梯形花园，测量AB=20米，∠DEC=90°，∠ECD=45°，则该花园面积为　200　平方米．

【分析】先根据，∠DEC=90°，∠ECD=45°得出△CDE是等腰直角三角形，即DE=CE，再根据平行线的性质及直角三角形的性质得出∠1=∠4，2=∠3，进而判断出△ADE≌△BEC，由全等三角形的性质可得出AD+BC=AB，再由梯形的面积公式即可求解．

【解答】解：

∵∠DEC=90°，∠ECD=45°，

∴∠EDC=45°，

∴DE=CE，

∵四边形ABCD是直角梯形，

∴AD∥BC，∠A=∠B=90°，

∴∠ADC+∠BCD=180°，

∵∠ECD=∠EDC=45°，

∴∠1+∠3=90°，

∵∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，

∴∠1=∠4，∠2=∠3，

在Rt△ADE与Rt△BEC中，

∠1=∠4，ED=CE，∠2=∠3，

∴Rt△ADE≌Rt△BEC，

∴AD=BE，AE=BC，

∴AD+BC=AB=20米，

∴该花园面积=

（AD+BC）×AB=

×20×20=200（平方米）．

故答案为：

200．

【点评】本题考查的是全等三角形的应用及梯形的面积公式、平行线的性质，根据题意得出Rt△ADE≌Rt△BEC是解答此题的关键．

18．如图，在新修的小区中，有一条“Z”字形绿色长廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段绿色长廊上各修一小亭E，M，F，且BE=CF，点M是BC的中点，在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，要想知道M与F的距离，只需要测出线段　EM　的长度．理由是依据　全等三角形的对应边相等　可以证明　△BEM≌△CFM　，从而由全等三角形对应边相等得出．

【分析】先根据SAS判定△BEM≌△CFM，从而得出CF=BE，即测量BE之间的距离相当于测量CF之间的距离．

【解答】解：

要想知道M与F的距离，只需要测出线段EM的长度．

理由是依据全等三角形的对应边相等可以证明△BEM≌△CFM，从而由全等三角形对应边相等得出．

证明：

连接EF

∵AB∥CD，（已知）

∴∠B=∠C（两线平行内错角相等）．

∵M是BC中点

∴BM=CM，

∵在△BEM和△CFM中，

∴△BEM≌△CFM（SAS）．

∴CF=BE（对应边相等）．

故答案为：

EM，全等三角形的对应边相等，△BEM≌△CFM．

【点评】本题考查了全等三角形的应用；关键是要把题目的问题转化为证明对应边相等．

19．如图所示．A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，BD=1km，DC=1km，村庄AC，AD间也有公路相连，且公路AD是南北走向，AC=3km，只有AB之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AE=1.2km，BF=0.7km．试求建造的斜拉桥长至少有　1.1　km．

【分析】根据BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，AD=AD，得出△ADB≌△ADC，进而得出AB=AC=3，这样可得出斜拉桥长度．

【解答】解：

由题意知：

BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，

∵在△ADB和△ADC中，

，

∴△ADB≌△ADC（SAS），

∴AB=AC=3km，

故斜拉桥至少有3﹣1.2﹣0.7=1.1（千米）．

故答案为：

1.1．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定以及其性质，根据已知得出△ADB≌△ADC是解问题的关键．

三．解答题（共9小题）

20．（2017春•景泰县期末）小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？

【分析】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB=DP=DB﹣PB求出即可．

【解答】解：

∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，

∴∠DCP=∠APB=54°，

在△CPD和△PAB中

∵

，

∴△CPD≌△PAB（ASA），

∴DP=AB，

∵DB=36，PB=10，

∴AB=36﹣10=26（m），

答：

楼高AB是26米．

【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD≌△PAB是解题关键．

21．（2017春•抚顺县期中）课间，小明拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图所示．

（1）试判断DC与BE的数量关系，并说明理由．

（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）

【分析】

（1）根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可得出答案；

（2）由题意得：

AD=4a，BE=3a，根据全等可得DC=BE=3a，根据勾股定理可得（4a）2+（3a）2=252，再解即可．

【解答】

（1）证明：

由题意得：

AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC=∠CEB=90°

∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，

∴∠BCE=∠DAC，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴DC=BE；

（2）解：

由题意得：

∵一块墙砖的厚度为a，

∴AD=4a，BE=3a，

由

（1）得：

△ADC≌△CEB，

∴DC=BE=3a，

在Rt△ACD中：

AD2+CD2=AC2，

∴（4a）2+（3a）2=252，

∵a＞0，

解得：

a=5，

答：

砌墙砖块的厚度a为5cm．

【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．

22．（2016春•府谷县期末）如图，A、B两建筑物位于河的两岸，为了测量它们的距离，可以沿河岸作一条直线MN，且使MN⊥AB于点B，在BN上截取BC=CD，过点D作DE⊥MN，使点A、C、E在同一直线上，则DE的长就是A、B两建筑物之间的距离，请说明理由．

【分析】可以沿河岸作射线BF，且使BF⊥AB，在BF上截取BC=CD，过D点作DE⊥BF，使E、C、A在一条直线上，证明出这两个三角形全等，从而可得到结论．

【解答】解：

∵AB⊥MN，

∴∠ABC=90°，

同理∠EDC=90°，

∴∠ABC=∠EDC，

在△ABC和△EDC中

∴△ACB≌△ECD（ASA），

∴AB=DE．

【点评】本题考查全等三角形的应用，关键是证明三角形全等，从而得到线段相等，得到结论．

23．（2016秋•乳山市期中）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC，∠ACB=90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．

【分析】根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．

【解答】解：

由题意得：

AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC=∠CEB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，

∴∠BCE=∠DAC，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

由题意得：

AD=EC=6cm，DC=BE=14cm，

∴DE=DC+CE=20（cm），

答：

两堵木墙之间的距离为20cm．

【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．

24．（2016秋•玉环县期中）如图，在一个风筝ABCD中，AB=AD，BC=DC，分别在AB、AD的中点E、F处贴两根彩线EC、FC．

（1）∠B与∠D相等吗？

请说明理由；

（2）求证：

EC=FC．

【分析】

（1）结论∠B=∠D，只要证明△ABC≌△ADC即可．

（2）欲证明EC=FC，只要证明△EBC≌△FDC，或△ACE≌△ACF即可．

【解答】

（1）解：

结论∠B=∠D．

理由：

连接AC．

在△ACB和△ACD中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS）

∴∠B=∠D

（2）∵点E与F分别是AB、AD的