统编高中数学人教A版必修第二册 优化课堂 第十章 1011.docx

统编高中数学人教A版必修第二册 优化课堂 第十章 1011.docx

《统编高中数学人教A版必修第二册 优化课堂 第十章 1011.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《统编高中数学人教A版必修第二册 优化课堂 第十章 1011.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

统编高中数学人教A版必修第二册优化课堂第十章1011

10.1　随机事件与概率

10.1.1　有限样本空间与随机事件

学习目标

　1.理解随机试验、样本点与样本空间，会写试验的样本空间.2.了解随机事件的有关概念，掌握随机事件的表示方法及含义.

知识点一　随机试验

我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.

我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：

（1）试验可以在相同条件下重复进行；

（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.

知识点二　样本空间

我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.

知识点三　随机事件、必然事件与不可能事件

1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.

2.Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.

3.空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为∅为不可能事件.

1.对于随机试验，当在同样的条件下重复进行试验时，每次试验的所有可能结果是不知道的.

（　×　）

2.连续抛掷2次硬币，该试验的样本空间Ω＝{正正，反反，正反}.（　×　）

3.“已知一个盒中装有4个白球和5个黑球，从中任意取1个球，该球是白球或黑球”，此事件是必然事件.（　√　）

4.“某人射击一次，中靶”是随机事件.（　√　）

一、样本空间的求法

例1　写出下列试验的样本空间：

（1）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子出现的点数之和；

（2）从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果；

（3）用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的情况.

解　

（1）该试验的样本空间Ω1＝{3,4,5，…，18}.

（2）该试验，所有可能的结果如图所示，

因此，该试验的样本空间为Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}.

（3）如图，

用1,2,3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则此试验的样本空间为Ω3＝{（1,1,1），（1,1,2），（1,1,3），（1,2,1），（1,2,2），（1,2,3），（1,3,1），（1,3,2），（1,3,3），（2,1,1），（2,1,2），（2,1,3），（2,2,1），（2,2,2），（2,2,3），（2,3,1），（2,3,2），（2,3,3），（3,1,1），（3,1,2），（3,1,3），（3,2,1），（3,2,2），（3,2,3），（3,3,1），（3,3,2），（3,3,3）}.

延伸探究　

本例

（2）中“任取两件”改为连续取两次，且每次取出后又放回，此时样本空间又是什么？

解　如图，

所以样本空间为Ω4＝{（a1，a1），（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b1），（a2，b2），（b1，a1），（b1，a2），（b1，b1），（b1，b2），（b2，a1），（b2，a2），（b2，b1），（b2，b2）}.

反思感悟　写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法

（1）列举法：

适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏.

（2）列表法：

适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏.

（3）树状图法：

适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步（两步及两步以上）完成的结果可以用树状图进行列举.

跟踪训练1　写出下列试验的样本空间：

（1）随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况；

（2）从一批产品中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况.

解　

（1）如图，

设甲、乙、丙、丁分别为1,2,3,4，

所以样本空间Ω1＝{（1,2,3,4），（1,2,4,3），（1,3,2,4），（1,3,4,2），（1,4,2,3），（1,4,3,2），（2,1,3,4），（2,1,4,3），（2,3,1,4），（2,3,4,1），（2,4,1,3），（2,4,3,1），（3,1,2,4），（3,1,4,2），（3,2,1,4），（3,2,4,1），（3,4,1,2），（3,4,2,1），（4,1,2,3），（4,1,3,2），（4,2,1,3），（4,2,3,1），（4,3,1,2），（4,3,2,1）}.

（2）设正品为H，次品为T，

样本空间Ω2＝{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}.

二、随机事件的表示

例2　试验E：

甲、乙两人玩出拳游戏（锤子、剪刀、布），观察甲、乙出拳的情况.

设事件A表示随机事件“甲乙平局”；

事件B表示随机事件“甲赢得游戏”；

事件C表示随机事件“乙不输”.

试用集合表示事件A，B，C.

解　设锤子为w1，剪刀为w2，布为w3，用（i，j）表示游戏的结果，其中i表示甲出的拳，j表示乙出的拳，则样本空间E＝{（w1，w1），（w1，w2），（w1，w3），（w2，w1），（w2，w2），（w2，w3），（w3，w1），（w3，w2），（w3，w3）}.

因为事件A表示随机事件“甲乙平局”，

则满足要求的样本点共有3个：

（w1，w1），（w2，w2），（w3，w3），

∴事件A＝{（w1，w1），（w2，w2），（w3，w3）}.

事件B表示“甲赢得游戏”，

则满足要求的样本点共有3个：

（w1，w2），（w2，w3），（w3，w1），

∴事件B＝{（w1，w2），（w2，w3），（w3，w1）}.

因为事件C表示“乙不输”，

则满足要求的样本点共有6个，

（w1，w1），（w2，w2），（w3，w3），（w2，w1），（w1，w3），（w3，w2），

∴事件C＝{（w1，w1），（w2，w2），（w3，w3），（w1，w3），（w2，w1），（w3，w2）}.

反思感悟　对于随机事件的表示，应先列出所有的样本点，然后，确定随机事件中含有哪些样本点，这些样本点作为元素表示的集合即为所求.

跟踪训练2　如图，从正方形ABCD的四个顶点及其中心O这5个点中，任取两点观察取点的情况，设事件M为“这两点的距离不大于该正方形的边长”，试用样本点表示事件M.

解　M＝{AB，AO，AD，BC，BO，CD，CO，DO}.

三、随机事件的含义

例3　在试验E：

“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义：

（1）事件A＝{（1,3），（2,3），（3,3），（4,3），（5,3），（6,3）}；

（2）事件B＝{（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），（3,3）}；

（3）事件C＝{（1,3），（3,1），（4,2），（2,4），（3,5），（5,3），（4,6），（6,4）}.

解　

（1）事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3.

（2）事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6.

（3）事件C的所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数差的绝对值为2的样本点都在C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2.

反思感悟　解答此类题目，应先理解事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定随机事件的含义.

跟踪训练3　柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚.指出下列随机事件的含义.

（1）M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；

（2）N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；

（3）P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}.

解　

（1）事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”.

（2）事件N的含义是“从3双不同鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”.

（3）事件P的含义是“从3双不同鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”.

1.下列事件是必然事件的是（　　）

A.从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签

B.函数y＝logax（a>0且a≠1）为增函数

C.平行于同一条直线的两条直线平行

D.随机选取一个实数x，得2x<0

答案　C

解析　A.是随机事件，5张标签都可能被取到；B.是随机事件，当a>1时，函数y＝logax为增函数，当00.

2.集合A＝{2,3}，B＝{1,2,4}，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有基本事件的个数为（　　）

A.8B.9C.12D.11

答案　D

解析　从A，B中各任意取一个数，可构成12,21,22,24,42,13,31,23,32,34,43，共11个.

3.元旦期间，小东和爸爸、妈妈外出旅游，一家三口随机站成一排，则小东恰好站在中间的站法种数为（　　）

A.2B.3C.4D.5

答案　A

4.抛掷3枚硬币，试验的样本点用（x，y，z）表示，集合M表示“既有正面朝上，也有反面朝上”，则M＝_________________________________________________________________.

答案　{（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正）}

解析　试验的样本空间为Ω＝{（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正），（反反反）}，则M＝{（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正）}.

5.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M＝{（2,6），（3,5），（4,4），（5,3），（6,2）}，则事件M的含义是________________________________________________________________________.

答案　抛骰子两次，向上点数之和为8

1.知识清单：

（1）随机试验.

（2）样本空间.

（3）随机事件.

2.方法归纳：

列表法、树状图法.

3.常见误区：

在列举样本点时要按照一定的顺序，要做到不重、不漏.

1.下列事件中不可能事件的个数为（　　）

①抛一石块下落；

②如果a>b，那么a－b>0；

③没有水分，种子能发芽；

④某电话机在1分钟内收到2次呼叫；

⑤在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化.

A.1B.2C.3D.4

答案　B

解析　①②是必然事件，④是随机事件，③⑤是不可能事件.

2.试验E：

“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（　　）

A.{10,11，…，99}B.{1,2，…，18}

C.{0,1，…，18}D.{1,2，…，10}

答案　B

解析　由题意可知，该试验的样本空间为{1,2，…，18}.

3.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，观察选出的2人，设事件M为“甲被选中”，则事件M含有的样本点个数为（　　）

A.2B.4C.6D.8

答案　B

解析　设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，则M＝{甲乙，甲丙，甲丁，甲戊}，∴M含有4个样本点.

4.从5人中选出2人担任正、副班长，则样本点个数为（　　）

A.10B.15C.20D.25

答案　C

解析　把5人分别记为A，B，C，D，E，用x表示正班长，y表示副班长，则样本点用（x，y）表示，∴Ω＝{（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，A），（B，C），（B，D），（B，E），（C，A），（C，B），（C，D），（C，E），（D，A），（D，B），（D，C），（D，E），（E，A），（E，B），（E，C），（E，D）}，故共有20个样本点.

5.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，观察抽得的2张数字，设抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数为事件Q，则事件Q含有的样本点个数为（　　）

A.8B.10C.11D.15

答案　B

解析　如下表所示，表中点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数.

1

2

3

4

5

1

（1,1）

（1,2）

（1,3）

（1,4）

（1,5）

2

（2,1）

（2,2）

（2,3）

（2,4）

（2,5）

3

（3,1）

（3,2）

（3,3）

（3,4）

（3,5）

4

（4,1）

（4,2）

（4,3）

（4,4）

（4,5）

5

（5,1）

（5,2）

（5,3）

（5,4）

（5,5）

则Q＝{（2,1），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2），（4,3），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4）}.

所以Q中含有10个样本点.

6.已知A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，从A，B中各取一个元素分别作点的横坐标和纵坐标，则该试验的样本空间Ω为__________________________________________.

答案　{（－1,1），（－1,2），（0,1），（0,2），（1,1），（1,2）}

7.从100个同类产品中（其中2个次品）任取3个.

①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少有一个次品；⑥至少有一个正品.

其中必然事件是________，不可能事件是________，随机事件是________.

答案　⑥　④　①②③⑤

解析　从100个产品（其中2个次品）中取3个可能结果是“三个全是正品”“两个正品一个次品”“一个正品两个次品”.

8.从2,3,8,9中任取两个不同数字，分别记为a，b，用（a，b）表示该试验的样本点，则事件“logab为整数”可表示为________________.

答案　{（2,8），（3,9）}

解析　只有log28＝3，log39＝2为整数.

9.某商场举行购物抽奖的促销活动，规定每位顾客从装有编号分别为0,1,2,3四个小球（除编号不同外，其他完全相同）的抽奖箱中，每次取出一个球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球的编号的和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖.

（1）写出试验的样本空间Ω；

（2）设随机事件A为“抽中三等奖”，随机事件B为“抽中奖”，试用集合表示事件A和B.

解　

（1）Ω＝{（0,0），（0,1），（0,2），（0,3），（1,0），（1,1），（1,2），（1,3），（2,0），（2,1），（2,2），（2,3），（3,0），（3,1），（3,2），（3,3）}.

（2）A＝{（1,3），（2,2），（3,1），（0,3），（1,2），（2,1），（3,0）}，

B＝{（1,3），（2,2），（3,1），（0,3），（1,2），（2,1），（3,0），（2,3），（3,2），（3,3）}.

10.某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：

一年级

二年级

三年级

男同学

A

B

C

女同学

X

Y

Z

现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）.

（1）写出该试验的样本空间Ω；

（2）设事件M为“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学，试用集合表示M.

解　

（1）Ω＝{AB，AC，AX，AY，AZ，BC，BX，BY，BZ，CX，CY，CZ，XY，XZ，YZ}.

（2）M＝{AY，AZ，BX，BZ，CX，CY}.

11.（多选）给出关于满足AB的非空集合A，B的四个命题，其中正确的命题是（　　）

A.若任取x∈A，则x∈B是必然事件

B.若任取x∉A，则x∈B是不可能事件

C.若任取x∈B，则x∈A是随机事件

D.若任取x∉B，则x∉A是必然事件

答案　ACD

12.将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a，b，设事件M为“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”，则事件M中含有样本点的个数为（　　）

A.6B.17C.19D.21

答案　C

解析　将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，

∵方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，

∴Δ＝b2－4a≥0，

则M＝{（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,4），（3,5），（3,6），（4,4），（4,5），（4,6），（5,5），（5,6），（6,5），（6,6）}，共含19个样本点.

13.一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前一定能摸出红球，则k的最小值为（　　）

A.10B.15C.16D.17

答案　C

解析　摸完黑球和白球共需15次，则第16次一定能摸出红球.

14.写出下列试验的样本空间：

（1）甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果（包括平局）________________；

（2）从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________________.

答案　

（1）Ω＝{胜，平，负}　

（2）Ω＝{0,1,2,3,4}

解析　

（1）对于甲队来说，有胜、平、负三种结果.

（2）从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0,1,2,3,4，不能再有其他结果.

15.将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取1个，观察取到的小正方体的情况，则事件B为“从小正方体中任取1个，恰有两面涂有颜色”，那么事件B含有________个样本点.

答案　12

解析　每条棱的中间位置上有一个是两个面涂有颜色的小正方体，共12个.

16.汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性.如图所示，三个汉字可以看成轴对称图形.

小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏，规则如下：

将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字（如“土”“土”构成“圭”），则小敏获胜，否则小慧获胜.

（1）写出该试验的样本空间Ω；

（2）设小敏获胜为事件A，试用样本点表示A.

解　

（1）每次游戏时，所有可能出现的结果如下表所示：

第二张卡片

第一张卡片

土

口

木

土

（土，土）

（土，口）

（土，木）

口

（口，土）

（口，口）

（口，木）

木

（木，土）

（木，口）

（木，木）

∴Ω＝{（土，土），（土，口），（土，木），（口，土），（口，口），（口，木），（木，土），（木，口），（木，木）}.

（2）能组成上下结构的汉字的样本为（土，土），（口，口），（木，口），（口，木）.

∴A＝{（土，土），（口，口），（木，口），（口，木）}.