第九章-常微分方程的数值解法.ppt

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1,第九章常微分方程数值解法,第一节Euler方法,第三节单步法的收敛性和稳定性,第二节Runge-Kutta方法,上一页下一页返回,2,上一页下一页返回,本章介绍求解微分方程数值解的基本思想和方法.,含有自变量、未知函数和它的一阶导数和高阶导数的方程.,常微分方程,它是描述运动、变化规律的重要数学方法之一，分为两类：

1.初值问题即给出未知函数及导数在初始点的值；,2.边值问题即给出未知函数及（或）它的某些导数在区间两个端点的值。

3,考虑一阶常微分方程的初值问题:

只要f（x,y）在a,bR1上连续，且关于y满足Lipschitz条件，即存在与x,y无关的常数L使对任意定义在a,b上的y1（x）和y2（x）都成立，则上述问题解存在唯一解。

所谓数值解法就是要计算出初值问题的解函数y（x）在一系列离散点a=x0x1xN=b上的近似值：

y0,y1,yN.,节点间距为步长，,通常采用等距节点，即取hi=h（常数）。

yn称为问题的数值解.,数值解所满足的离散方程统称为差分格式.,上一页下一页返回,4,第一节欧拉方法,一、欧拉公式,令yn为y（xn）的近似值，将上式代入（*）式可得,此式称为欧拉（Euler）公式.,为Euler方法的局部截断误差.,上一页下一页返回,5,例1用欧拉公式解初值问题,解：

取步长h=0.1,欧拉公式的具体形式为：

依次计算可得,y3，y4，y5，y6，y7，y8，y9，y10,上一页下一页返回,6,其部分结果见下表,可见Euler方法的计算结果精度不太高。

上一页下一页返回,7,欧拉公式的几何意义：

几何意义：

用折线近似代替方程的解曲线,因而也称Euler方法为折线法.,上一页下一页返回,8,二、后退的欧拉公式,也用一阶差商逼近导数,令yn+1为y（xn+1）的近似值，则可得,称为后退Euler公式,已知yn时,必须通过解方程才能求出yn1,这样的公式称为隐式公式,而Euler公式为显式公式.,Euler公式和后退Euler公式都是由yn去计算yn+1，因此，称它们为单步法。

上一页下一页返回,9,显然,p越大,精度越高.,三、局部截断误差与方法的阶,Euler方法的精度,其中：

上一页下一页返回,10,所以，Euler方法具有1阶精度。

将,在点,处一阶Taylor展开,上一页下一页返回,11,所以，后退的Euler方法也具有1阶精度。

隐式Euler方法的精度,上一页下一页返回,12,显、隐式两种算法的平均,欧拉公式的改进,其局部误差为：

此公式具有2阶精度.,称平均公式或梯形公式,梯形公式可由下迭代式计算：

其中迭代初值是Euler公式提供.,上一页下一页返回,13,四、改进的欧拉公式,注：

此法亦称为预测-校正法。

可以证明该算法具有2阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。

它的精度高于显式欧拉法。

上一页下一页返回,14,为了便于编程,常将改进的欧拉公式写为：

上一页下一页返回,15,例2用改进的欧拉法解例1中的初值问题.,解：

取步长h=0.1,改进欧拉法的具体形式为,具体计算过程如下,上一页下一页返回,16,依次计算可得,y3，y4，y5，y6，y7，y8，y9，y10,其部分结果见下表,上一页下一页返回,17,例3对下面的初值问题,解

（1）取步长h=0.1,欧拉方法的具体公式为,

（2）取步长h=0.1,改进的欧拉方法的具体公式为,取步长h=0.1，分别用Euler方法、改进的Euler方法求数值解。

上一页下一页返回,18,计算结果见下表,上一页下一页返回,19,第二节龙格-库塔法,基本思想,考察改进的欧拉法，可以将其改写为：

斜率一定取k1k2的平均值吗？

步长一定是一个h吗？

只要能对平均斜率提供一种近似算法,就能得到一种对应的差分格式.,上一页下一页返回,20,例如取m个点的斜率构造如下形式的公式,该公式称为m级龙格库塔（Runge-Kutta）公式,简称R-K公式.,求解：

只需将公式的局部截断误差在xn点进行Taylor展开,令其前面尽可能多的项为0,便可导出ai，bij，ci所满足的方程组,即可从中求出这些系数.,上一页下一页返回,21,以m=2的情形为例说明建立R-K公式的方法.,其局部截断误差为：

上一页下一页返回,22,因此有：

而对于h3，若将k2的Taylor展开式多取一项,会发现h3项的系数不可能为0.,而对于上式有无穷多个解,它的每一组解都给出了一个局部截断误差为的二级R-K公式,即二阶R-K公式.,这里有个未知数，个方程。

3,2,上一页下一页返回,23,常用的标准四阶RK公式（经典R-K方法）,最常用的四阶标准RK公式（经典R-K方法）为：

上一页下一页返回,24,例用四阶标准R-K公式解初值问题,解：

取h=0.2，四阶标准R-K法的具体格式如下:

上一页下一页返回,25,已知,上一页下一页返回,26,至少具有四位有效数字.,比较:

上节用改进的Euler公式计算,取h=0.1，最多具有四位有效数字。

上一页下一页返回,27,改进的Euler公式每前进一步只要计算两次f值,而4阶R-K公式每前进一步要计算四次f值,但改进的Euler法的步长比4阶R-K法的小一半,两者计算总量差不多.,而4阶R-K法的效果要比改进的Euler法好.,由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。

对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步长h取小。

上一页下一页返回,28,第三节单步法的收敛性与稳定性,收敛性/*Convergency*/,例：

就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。

解：

该问题的精确解为,欧拉公式为,对任意固定的x=xi=ih，有,上一页下一页返回,29,稳定性/*Stability*/,例：

考察初值问题在区间0,0.5上的解。

分别用欧拉法、隐式欧拉法和改进的欧拉格式计算数值解。

1.00002.00004.00008.00001.60001013.2000101,1.00002.50001016.25001021.56251023.90631039.7656104,1.00002.50006.25001.56261013.90631019.7656101,1.00004.97871022.47881031.23411046.14421063.0590107,Whatiswrong?

!

上一页下一页返回,30,一般分析时为简单起见，只考虑试验方程,常数l0，可以是复数,当步长取为h时，将某算法应用于上式，并假设在初值产生误差，则若此误差以后逐步衰减，就称该算法相对于z=lh绝对稳定，z的全体构成绝对稳定区域。

我们称算法A比算法B稳定，就是指A的绝对稳定区域比B的大。

上一页下一页返回,31,例：

考察隐式欧拉法,可见绝对稳定区域为：

注：

一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。

上一页下一页返回,32,一些单步法的绝对稳定区间见下表,Euler方法改进的Euler方法三阶R-K法四阶R-K法隐式Euler法梯形法,-2z0-2z0-2.51z0-2.785z0-z0-l0,上一页下一页返回,33,解：

由上表知道，四阶R-K法的绝对稳定区间是-2.785z0，,即：

当h2.785时，四阶R-K方法才稳定。

故，当h=1，2时，四阶R-K方法的计算结果稳定，h=4的时候，结果不稳定。

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