四点共圆模型.docx

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四点共圆模型

共圆模型

模型1共端点，等线段模型

如图①，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆．

如图②，若OA＝OB＝OC，则A、B、C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上．

如图③，常见结论有：

∠ACB＝

∠AOB，∠BAC＝

∠BOC.

模型分析

∵OA＝OB＝OC.

∴A、B、C三点到点O的距离相等．

∴A、B、C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上．

∵∠ACB是

的圆周角，∠AOB是

的圆心角，

∴∠ACB＝

∠AOB.

同理可证∠BAC＝

∠BOC.

（1）若有共端点的三条线段，可考虑构造辅助圆．

（2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题．

模型实例

如图，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB＝AC，AC＝AD，连接BD．

求证：

∠1＋∠2＝90°.

证明

证法一：

如图①，

∵AB＝AC＝AD．　　∴B、C、D在以A为圆心，AB为半径的⊙A上．　∴∠ABC＝∠2.

在△BAC中，∵∠BAC＋∠ABC＋∠2＝180°,∴2∠1＋2∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝90°.

证法二：

如图②，

∵AB＝AC＝AD．∴∠BAC＝2∠1．∵AB＝AC，

∴B、C、D在以A为圆心，AB为半径的⊙O上．

延长BA与圆A相交于E，连接CE．

∴∠E＝∠1．（同弧所对的圆周角相等．）

∵AE＝AC，∴∠E＝∠ACE.

∵BE为⊙A的直径，∴∠BCE＝90°．

∴∠2＋∠ACE＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.

小猿热搜

1．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，在△ABC的外侧作直线AP，点B与点D关于AP轴对称，连接BD、CD，CD与AP交于点E．求证：

∠1＝∠2．

证明

∵A、D关于AP轴对称，∴AP是BD的垂直平分线．

∴AD＝AB，ED＝EB．又∵AB＝AC.

∴C、B、D在以A为圆心，AB为半径的圆上．

∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD.∴∠2＝2∠EDB.又∵∠1＝2∠CDB.∴∠1＝∠2.

2．己知四边形ABCD，AB∥CD，且AB＝AC＝AD＝a，BC＝b，且2a＞b，求BD的长．

解答

以A为圆心，以a为半径作圆，延长BA交⊙A于E点，连接ED．

∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∠DAE＝∠CDA.∵AC＝AD，

∴∠DCA＝∠CDA.∴∠DAE＝∠CAB.在△CAB和△DAE中．

∴△CAB≌△DAE.∴ED＝BC＝b

∵BE是直径，∴∠EDB＝90°.

在Rt△EDB中，ED＝b，BE＝2a，

∴BD＝

＝

＝

．

模型2直角三角形共斜边模型

模型分析

如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得：

OC=OD=OA=OB，

∴A、B、C、D四点共圆．

（1）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；

（2）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一．

模型实例

例１　如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂线，问：

（1）图中有多少组四点共圆？

（2）求证：

∠ADF＝∠ADE．

解答

（1）６组

①C、D、H、E四点共圆，圆心在CH的中点处；

②D、B、F、H四点共圆，圆心在BH的中点处；

③A、E、H、F四点共圆，圆心在AH的中点处；

④C、B、F、E四点共圆，圆心在BC的中点处；

⑤B、A、E、D四点共圆，圆心在AB的中点处；

⑥C、D、F、A四点共圆，圆心在AC的中点处．

（２）如图，由B、D、H、F四点共圆，得∠ADF=∠1.

同理：

由A、B、D、E四点共圆，得∠ADE=∠１.

∴∠ADF＝∠ADE．

例２　　如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外

角平分线于点F，求证：

FE=DE.

解答

如图，连接DB、DF.

∵四边形ABCD是正方形，且BF是∠CBA的外角平分线，

∴∠CBF=45°，∠DBC=45°，

∴∠DBF=90°．

又∵∠DEF=90°，

∴D、E、B、F四点共圆．

∴∠DFE=∠DBE=45°（同弧所对的圆周角相等）．

∴△DEF是等腰直角三角形．

∴FE=DE．

1.如图，锐角△ABC中，BC.CE是高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F，求证：

证明：

由于Rt△BCE与Rt△BCD共斜边BC，

∴B、C、D、E四点共圆．

∴∠DBC=∠DEG，

同理，Rt∠EDF与Rt△DGE共斜边DE，

∴D、E、F、G四点共圆．

于是∠DEG=∠DFG，

因此，∠DBC=∠DFG．

于是FG∥BC

2.如图，BE.CF为△ABC的高，且交于点H,连接AH并延长交于BC于点D,求证：

AD⊥BC.

3.如图，等边△PQR内接于正方形ABCD,其中点P,Q,R分别在边AD,AB,DC上，M是QR的中点.求证：

不论等边△PQR怎样运动，点M为不动点.

4.如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB,TE⊥AC.求证：

∠AHD=∠AHE.

证明：

（1）∵∠ADT=∠AHT=∠AET=90°，

∴D，E，H在以AT为直径的圆上，

∴∠AHD=∠ATD，∠AHE=∠ATE，

又∵AT是角平分线，TD⊥AB，TE⊥AC，

∴∠ATD=∠ATE，

∴∠AHD=∠AHE．

补充：

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