高中数学直线与圆的位置关系章末评估验收 新人教A版选修41.docx
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高中数学直线与圆的位置关系章末评估验收新人教A版选修41
【金版学案】2016-2017学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系章末评估验收新人教A版选修4-1
（时间：
120分钟 满分：
150分）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．给出下列命题：
①任一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
②
任一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；
③任一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；
④任一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．
其中真命题有（ ）
A．1个 B．3个 C．2个 D．4个
解析：
①③正确；②④错误．
答案：
C
2．在⊙O中，∠AOB＝84°，则弦AB所对的圆周角是（ ）
A．42°B．138°
C．84°D．42°或138°
解析：
弦AB所对的弧的度数为84°或276°，故其所对的圆周角为42°或138°.
答案：
D
3．等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝4cm，若以A为圆心，2cm为半径的圆与BC相切，则∠BAC的度数为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
解析：
由题意知△ABC底边上的高为2cm，
腰AB＝AC＝4cm.
所以∠B＝∠C＝30°，
所以∠BAC＝120°.
答案：
D
4．如图所示，一圆内切于四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为（ ）
A．50B．52C．54D．56
解析：
由切线长定理知CD＋AB＝AD＋BC，
因为AB＋CD＝26，所以AB＋BC＋CD＋AD＝52.
答案：
B
5．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，且AC，BD交于点P，则此图形中一定相似的三角形有（ ）
A．4对B．3对C．2对D．1对
解析：
△APD∽△BPC，△APB∽△DPC.
答案：
C
6．如图所示，在⊙O中，弦AB的长等于半径，E为BA的延长线上一点，∠BCD＝80°，则∠ACD的度数是（ ）
A．60°B．50°C．45°D．30°
解析：
连接OB（如图），则∠AOB＝60°.
因为∠BCD＝80°，
∠ACB＝∠AOB＝30°，
所以∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝80°－30°＝50°.
答案：
B
7．如图所示，PA切⊙O于点A，PC交⊙O于点B，C，若PA＝5，PB＝BC，则PC的长是（ ）
A．10B．5C．5D．5
解析：
设PB＝x.由切割线定理得PA2＝PB·PC，
即25＝x·2x，解得x＝.
所以PC＝2x＝5.
答案：
C
8．如图所示，点P为弦AB上一点，连接OP，过点P作PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP＝4，PB＝2，则PC的长是（ ）
A.B．2C．2D．3
解析：
延长CP交⊙O于D（如图），
因为PC⊥OP，
所以PC＝PD，
又因为AP·PB＝PC·PD，
所以AP·PB＝PC2，即PC2＝4×2，
所以PC＝2.
答案：
C
9．如图所示，PAB，PDC是⊙O的割线，连接AD，BC，若PD∶PB＝1∶4，AD＝2，则BC的长是（ ）
A．4B．5C．6D．8
解析：
由四边形ABCD为⊙O的内接四边形可得∠PAD＝∠C，∠PDA＝∠B.
所以△PAD∽△PCB.
所以＝＝.
又AD＝2，
所以BC＝8.
答案：
D
10．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以BC上一点O为圆心作圆O与AB相切于E，与AC相切于C，又与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为（ ）
A．1B.C.D.
解析：
连接OE（如图），则OE⊥AB，
因为∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
所以△OBE∽△ABC，AB＝5，
所以＝＝，
即＝，所以OE＝，
所以BD＝BC－2OE＝3－2×＝.
答案：
C
11．如图所示，已知△ABC的∠BAC的平分线与BC相交于点D，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，若EB＝8，EC＝2，则ED＝（ ）
A．2B.C．4D．5
解析：
根据切割线定理可得
∠ABC＝∠EAC.
因为线段AD为∠BAC的角平分线，
所以∠BAD＝∠DAC.
又∠ADE＝∠ABC＋∠BAD，
∠EA
D＝∠CAE＋∠DAC，则可以得到∠ADE＝∠EAD，即△ADE为等腰三角形，则有DE＝AE.
在△ACE和△ABE中，
因为∠EAC＝∠ABC且∠AEC＝∠AEB，
所以△CAE∽△ABE，则有＝⇒AE＝4，
即DE＝AE＝4.
答案：
C
12．如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，BC与以AD为直径的圆O相切于点E，AB＝9，CD＝4，则四边形ABCD
的面积为（ ）
A．78B．65C．45D．37
解析：
设⊙O与AB交于F，分别连接OE，DF，则DF＝BC，如图所示，根据切线的性质可得OE⊥BC，所以OE∥AB∥CD，
因为O是AD的中点，
所以OE＝（AB＋CD）＝（4＋9）＝，
由题意知AF＝AB－CD＝5，
在Rt△ADF中，
DF＝＝＝12.
所以S四边形ABCD＝（AB＋CD）·DF＝×13×12＝78.
答案：
A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的线上）
13．如图所示，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则＝________．
解析：
如图所示，连接CD，则CD⊥AB，由题意知△BCD∽△CAD，所以＝＝，
所以＝，①
又CD2＝AD·BD，②
所以＝，即＝.
答案：
14．如图所示，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．
解析：
设BE＝a，则AF＝4a，FB＝2a.
因为AF·FB＝DF·FC，所以8a2＝2，
所以a＝.所以AF＝2，FB＝1，BE＝，
所以AE＝.
又因为CE为圆的切线，
所以CE2＝EB·EA＝×＝.
所以CE＝.
答案：
15．在射线OA上取一点P，使OP＝4cm，以P为圆心作直径为4cm的圆，若⊙P与射线OB有两个交点，则锐角∠AOB的取值范围为________．
解析：
当OB与圆相切时，∠AOB＝，
故当OB与圆有两个交点时，
0≤∠AOB<.
答案：
16．如图所示，AB是⊙O的直径，CB切⊙O于点B，CD切⊙O于点D，交BA的延长线于点E，若ED＝，∠ADE＝30°，则△BDC的外接圆的直径为________．
解析：
连接OD（如图），
则∠ODB＝∠OBD＝∠ADE＝30°，
所以∠AOD＝∠ODB＋∠OBD＝60°，
所以△AOD是正三角形．
因为CB，CD均与圆相切，
所以∠ODC＝∠OBC＝90°，
所以O，B，C，D四点共圆，
所以∠C＝∠AOD＝60°，
从而∠E＝90°－60°＝30°，
由题意可证得△EAD≌△DOB，
所以BD＝DE＝.由正弦定理知△BCD的外接圆直径2R＝＝＝2.
答案：
2
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，点O为AB上一点，以O为圆心的半径切AC于点E，交AB于点D.AC＝12，BC＝9，求AD的长．
解：
连接OE（如图）．
因
为E为切点，所以OE⊥AC.
所以O
E∥BC.所以△AEO∽△ACB.
设AD＝x，⊙O半径为r，
则＝，即＝.①
又AB＝AD＋BD，即15＝x＋2r.②
由①②可得x＝.所以AD的长为.
18.（本小题满分12分）如图所示，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.
（1）求证：
AP是⊙O的切线；
（2）求PD的长．
（1）证明：
连接OA，因为∠B＝60°，
所以∠AOC＝2∠B＝120°，
因为OA＝OC，
所以∠ACP＝∠CAO＝30°，
所以∠AOP＝60°，
又因为AP＝AC.
所以∠P＝∠ACP＝30°，
所以∠OAP＝90°，
即OA⊥AP，所以AP是⊙O的切线．
（2）解：
CD是⊙O的直径，连接AD，
所以∠CAD＝90°，
所以AD＝AC·tan30°＝.
因为∠ADC＝∠B＝60°，
所以∠PAD＝∠ADC－∠P＝30°，
所以∠P＝∠PAD，所以PD＝AD＝.
19.（本小题满分12分）如图所示，已知AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，求证：
AB是以CD为直径的圆的切线．
证明：
连接AE，OE，作EF⊥AB于F（如图），
因为CD切⊙O于E，
所以OE⊥CD.
因为AC⊥CD，
BD⊥CD，
所以AC∥OE∥BD.
因为AO＝OB，所以CE＝ED.
又因为OA＝OE，所以∠1＝∠3.
因为AC∥OE，所以∠2＝∠3.
所以∠1＝∠2.所以EF＝CE.
所以AB是以CD
为直径的圆的切线．
20.（本小题满分12分）如图所示，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C，D两点，交圆O于E，F两点，过点D作HD⊥AD，交直线AF于H点．
（1）求证：
B，D，H，F四点共圆；
（2
）若AC＝2，AF＝2，求△BDF外接圆的半径．
（1）证明：
因为AB为圆O的一条直径，
所以BF⊥FH.
又DH⊥BD，故B，D，H，F四点在以BH为直径的圆上．
所以B，D，H，F四点共圆．
（2）解：
因为AH与圆B相切于点F，
由切割线定理得AF2＝AC·AD，
即
（2）2＝2·AD，AD＝4.
所以BD＝（AD－AC）＝1，
BF＝BD＝1.
又△AFB∽△ADH，
则＝，得DH＝.
连接BH，由
（1）可知BH为△BDF外接圆的直径．
BH＝＝，
故△BDF的外接圆半径为.
21．（本小题满分12分）如图所示，E是圆O内两弦AB和CD的交点，过AD延长线上一点F作圆O的切线FG，G为切点，已知EF＝FG.求证：
（1）△DEF∽△EAF；
（2）EF∥CB.
证明：
（1）由切割线定理得
FG2＝FA·FD.
又EF＝FG，所以EF2＝FA·FD，
即＝.
因为∠EFA＝∠DFE，
所以△DEF∽△EAF.
（2）由
（1）得∠FED＝∠FAE.
因为∠FAE＝∠DAB＝∠DCB
，
所以∠FED＝∠BCD，所以EF∥CB.
22.（本小题满分12分）如图所示，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB的延长线上且有∠BAP＝∠BDA.
（1）求证：
AP为半圆O的切线．
（2）当其他条件不变时，再添加一个什么条件后，BD2＝BE·BC成立？
请说明理由．
（1）证明：
因为∠BAP＝∠BDA，
∠BDA＝∠BCA，
所以∠BAP＝∠BCA.
因为AC是半圆O的直径，
所以∠ABC＝90°.
所以∠BCA＋∠BAC＝90°.
所以∠BAP＋∠BAC＝90°，
即PA⊥AC.
因为AC是半圆O的直径，
所以AP
为半圆O的切线．
（2）解：
当＝时，
BD2＝BE·
BC成立，理由如下：
连接DC（如图），
因为＝，
所以∠BDA＝∠BCD.
又因为∠DBE＝∠CBD，
所以△BDE∽△BCD.
所以＝.
所以BD2＝BE·BC.
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