人教版24章圆导学案.docx

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人教版24章圆导学案

《24.1.1圆》导学案NO：

34

一、自主学习

1.填空：

在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转_____，另一个端点A所形成的图形叫做___。

记作____，读作____，固定端点O叫做________，线段OA叫_____。

2、从集合的角度认识圆，圆是_________________的集合。

在圆上的点到圆心的距离都等于_____，到圆心的距离等于_____的点都在圆上。

“圆”指的是_______，即旋转时所形成的那条封闭曲线，而不是指包括圆心在内的整个“圆面”。

3．以点A为圆心，可以画______个圆；以已知线段AB的长为半径可以画______个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画____个圆．

点拨精讲：

确定圆的两个要素：

圆心（定点）和半径（定长）．圆心确定圆的_______，半径确定圆的________．

4．到定点O的距离为5的点的集合是以____为圆心，____为半径的圆．圆的半径相等，两条半径可能构成_______.

5、如图1，AB是⊙O的直径，OC是半径，若∠ABC=60°，则∠CAB的大小___

6、阅读教材.

（1）弦：

连接圆上任意两点的______叫做弦；经过圆心的弦叫做________

（2）弧：

圆上任意两点间的_____叫做弧；圆的任一直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧叫做____；大于半圆的弧叫做____；小于半圆的弧叫____。

（3）直径与弦有怎样的关系？

劣弧和优弧怎么表示？

（4）如图，在⊙O中，直径是______，

弦有__________，劣弧有_________，

优弧有_____

（5）等圆：

能够________的两个圆叫做等圆；它们实质是_____相等_____不同的两个圆。

等弧：

在同圆或等圆中，能够_________的弧叫做等弧。

它们实质是_____相等_____不同的弧。

同圆实质是_____相等_____相同的圆。

同心圆实质_____相同_____不同的两个圆

7、下列命题：

①直径是弦；②半径确定了，圆就确定了；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④长度相等的弧是等弧；⑤弦是直径。

其中错误的说法有_______个。

二、合作探究

1、如图2，AB是⊙O的直径，点C、D

在⊙O上，∠BOC=110°，AD∥OC，

则∠AOD=_____度

2、如图3，CD是⊙O的直径，

∠EOD=78°，点A为DC延长线上

的一点，AE交⊙O于点B，且

AB=OC，求∠A的度数。

（连接OB构造等腰三角形）

3、如图，AB、AC为⊙O的弦，连接

CO、BO并延长分别交AB、AC于点E、F,∠B=∠C。

求证：

CE=BF

4、已知点P到⊙O的最长距离为6，最短距离为2，则⊙O的半径是__________

点拨精讲：

这里分点在圆外和点在圆内两种情况．

四、达标检测

1、判断：

①直径是弦，弦是直径（）②半圆是弧，弧是半圆（）③优弧一定大于劣弧（）

④半径相等的圆是等圆（）

2、⊙O的半径为3cm，则它的弦长d的取值范围是_____．

点拨精讲：

_________是圆中最长的弦．

3.⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是____．

点拨精讲：

用半径相等构造等腰三角形是常用数学模型．

4、如图4，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于E、F，AE=BF。

试说明线段OE与OF的数量关系。

5．如图，点A，B，C，D都在⊙O上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？

n个点呢？

6．

（1）在图中，画出⊙O的两条直径；

（2）依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．练习3题。

点拨精讲：

思考：

矩形的四个顶点一定共圆吗？

7．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远点距离为10cm，则这个圆的半径是___________．

8．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC的中点，若AC＝10cm，求OD的长．（圆心O是直径AB的中点．）

《24.1.2垂直于弦的直径》导学案NO：

35

一、自主学习

1、用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么?

（想一想）由此你能得到什么结论？

圆是______图形，任何一条________________都是圆的对称轴，圆有______条对称轴。

圆的直径是圆的对称轴吗？

它也是____对称图形，对称中心为____．

2、阅读教材，总结垂径定理及其推论。

（1）垂径定理：

垂直于弦的直径_______弦，并且平分_________________。

如图，①AB经过圆心O且与圆交于A，

B两点；②AB⊥CD交CD于E，那么可以推出：

③CE＝DE；④

＝

；⑤

＝

.

（2）推论：

平分弦（不是直径）的直径______于弦，并且______弦所对的两条弧。

为什么这里的“弦不是直径”？

3、拓展：

若一条直线满足下列五个条件中的任意两个，一定能得出其他三个吗？

①经过圆心，②垂直于弦（非直径），③平分弦，④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧（请与同学交流你的体会）。

4、下列命题正确的是______A、弦的垂线平分弦所对的弧B、平分弦的直径垂直于这条弦C、过弦的中点的直线必过圆心D、垂直于弦的直径平分这条弦

5．

（1）在⊙O中，直径为10cm，圆心O到AB的距离为3cm，则弦AB的长为_____．

（2）在⊙O中，直径为10cm，弦AB的长为8cm，则圆心O到AB的距离为______．（3）⊙O的半径OA＝5cm，弦AB＝8cm，点C是AB的中点，则OC的长为____．

点拨精讲：

圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．通常连接半径构造直角三角形

6、如上图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，则下列结论不一定成立的是_______

A、∠EOC=∠EODB、CE=DE

C、OE=BED、

7、某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧？

），

其跨度为24米，拱的半径为13米，

则拱高为多少米？

（连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．）

8．如图，线段AB与⊙O交于C，D两点，且OA＝OB.求证：

AC＝BD.

证明：

作OE⊥AB于E.则____＝DE.

∵OA＝OB，OE⊥AB，

∴AE＝_____，

∴AE－____＝_____－DE.

即AC＝BD.点拨：

过圆心作垂线是圆中常用辅助线．

9．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：

AC＝BD.

证明：

过点O作OE⊥AB于点E.

则_____＝BE，CE＝____.

∴____－CE＝BE－_____.

即AC＝BD.点拨：

过圆心作垂径．

10．已知⊙O的直径是50cm，⊙O的两条平行弦

AB＝40cm，CD＝48cm，求弦AB与CD之间的距离．

解：

过点O作直线OE⊥AB于点E，直线OE与CD交于点F.由AB∥CD，则OF⊥CD.

（1）当AB，CD在点O两侧时，如图①.连接AO，CO，则AO=CO=___cm，AE=______=____cm.，

CF=______=____cm由勾股定理知OE=_____=____cm，

OF＝_________=____cm

∴EF=OE＋OF=___cm）．即AB与CD之间距离为___cm.

（2）当AB，CD在点O同侧时，如图②，连接AO，CO.则AO＝CO＝25cm，AE＝20cm，CF＝24cm.

由勾股定理知OE＝15cm，OF＝7cm.

∴EF＝____－____＝_____（cm）．

即AB与CD之间距离为______cm.

由

（1）

（2）知AB与CD之间的距离为____cm或______cm.

二、合作探究

1、点P是⊙O内一点，OP=3cm，⊙O的半径为5cm，则经过点P的最短弦长______，最长弦长_______

2．⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为____，最大值为____．

3．弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这个弓形所在的圆的半径为____cm.

4、如图2的⊙O中，弦AB⊥AC于A，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，AB=8cm，AC=6cm。

则⊙O的半径OA长______

5．在直径是20cm的⊙O中，∠AOB的度数是60°，那么弦AB的弦心距是____cm.

6、如图8，⊙O的直径为10cm，弦AB的长为8cm，点P为弦AB上一动点，若OP的长度为整数，则满足条件的点P有______个

7、如图4，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，AE=2，BE=6，∠DEB=30°，求CD的长。

8．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，

若AE＝9，BE＝1，求CD的长

9、如图5，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，CD=2

，BD=

，求AB的长。

5、如图8，在⊙O中的弦AC=AB=5,BC=8，则⊙O的直径为多少？

《24.1.3弧、弦、圆心角》导学案

一、自主学习

1、阅读教材83页到84页例4前的内容，然后填空：

（1）圆心角的概念：

顶点在_______的角叫做圆心角。

（2）圆是________对称图形，它的对称中心是_____。

（3）圆绕圆心旋转___________，都能与原来的图形重合，这叫圆的旋转不变性。

（4）定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________。

（5）推广：

在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也_____。

（6）思考“如果不是在同圆或等圆中，

上面的关系还成立吗？

”。

2．在⊙O中，AB，CD是两条弦，

（1）如果AB=CD，那么____=

，∠_____=∠____；

（2）如果

＝

，那么___＝CD，∠___＝∠_____；

（3）如果∠AOB＝∠COD，那么____＝CD，____＝

．

3、判断（正确的画√，错误的画×）

A、相等的圆心角所对的弦长相等（）

B、相等的弧所对的弦长相等（）

C、等弦所对的弧相等（）

D、等弧所对的圆心角相等（）

4.如图1，AB为⊙O的直径，

CD=BC=DA，则∠BCD的度数是_____.

5.如图2，⊙O中，AD=BC，

求证：

AB=CD

证明：

∵AD＝BC，

∴_____＝

，

∴___＋__=

＋___，即

=

.

6．如图，在⊙O中，

＝

，∠ACB＝75°，求∠BAC的度数．

7．如图，AB，CD是⊙O的弦，且AB与CD不平行，M，N分别是AB，CD的中点，AB＝CD，那么∠AMN与∠CNM的大小关系是什么？

为什么？

解：

∠AMN＝∠CNM.连接OA,OC.

∵AB＝CD，M，N为AB，CD中点，

∴OM⊥___，ON⊥____，

___=BM=____=DN

∴∠_____＝∠____=90°，

∴Rt△CNO≌Rt△_____.

∴____＝_____，

∴∠OMN＝∠ONM，

∴∠____－∠OMN＝∠_____－∠ONM.

即∠AMN＝∠CNM.

点拨：

同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等．

2．如图所示，CD为⊙O的弦，在CD上截取CE＝DF，连接OE，OF，它们的延长线交⊙O于点A，B.

（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；

（2）求证：

＝

.

解：

（1）△OEF为等腰三角形．

理由：

过点O作OG⊥CD于点G，

则_____＝____.∵CE＝DF，

∴____－CE＝_____－DF.

∴EG＝FG.∵OG⊥CD，

∴_____为线段_____的垂直平分线．

∴OE＝OF，

∴△OEF为等腰三角形．

（2）证明：

连接AC，BD.由

（1）知OE＝OF，

又∵OA＝OB，

∴_____＝______，∠____＝∠_____

∵∠CEA＝∠OEF，∠DFB＝∠OFE，

∴∠CEA＝∠DFB.

∴△_____≌△_____，∴____＝BD，∴

＝

.

点拨：

证弧等可证弦等或圆心角等，你能用圆心角证明吗

3．已知：

如图，AB是⊙O的直径，M，N是AO，BO

的中点．CM⊥AB，DN⊥AB，分别与圆交于C，D点．

求证：

＝

.（连接OC，OD）

证明：

连接OC，OD.

∵M，N为AO，BO中点，AO=BO

∴_____＝____=AM＝BN.

∵____________________，

∴________________________.

∴Rt△CMO≌Rt△DNO.

∴∠_______＝∠_______，

∴

＝

.

二、合作探究

1、如图3，⊙O中，弦AB、CD交于E且AB=CD,连接AD、BC，则下列结论正确的有___个①

②AD=BC③∠ADB=∠CBD④∠A=∠C⑤AE=CE

2．⊙O中，一条弦AB所对的劣弧为圆周的

，则弦AB所对的圆心角为____．

3、⊙O的半径为4cm，弦AB对的圆心角∠AOB=120°，则弦AB的长度是_______

4．在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1，则弦AB所对的圆心角的度数为_______．

5、如图，AD是⊙O的直径，AB＝AC，∠CAB＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．（半径相等除外）

（1）____________________；

（2）______________________

（3）____________________.

6、如图5，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，交AD、BC于E、F，延长BA交⊙A于G。

求证：

7、如图6，A、B、C为⊙O上三点，且弧AB=弧BC=弧CA，连接AB、BC、CA，若AB=10cm，

求⊙O的半径。

三、拓展提高如图，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，M，N分别是AB、CD的中点，PM=PN，求证：

AB=CD

《24.1.4圆周角》导学案NO：

37

二、自主学习

1、圆周角定义：

顶点在______，并且两边都与圆_______的角，叫做圆周角。

练习：

下列图中的角是圆周角的有__________

2、阅读教材，上完成第

（2）、（3）种情况的证明。

3、归纳圆周角定理：

一条弧所对的圆周角____它所对的圆心角的_______

4、阅读教材，归纳圆周角定理的两个推论

（1）同弧或等弧所对的_____角,所对的_____角相等。

（2）半圆（或直径）所对的圆周角是_____，90°的圆周角所对的弦是______

5．如图，点A，B，C，D在圆周上，

∠A＝65°，则∠D的度数是____．

6．如图，已知∠BOC＝100°，点A为优弧

上一点，则∠BAC的度数____．

7、找出图中相等的圆周角：

__________

__________________________________

8、阅读教材完成下面的填空：

（1）若一个多边形的_______都在同一个圆上，这个多边形叫______________，这个圆叫多边形的_______。

（2）圆内接四边形的对角_______

9、

（1）图1中，AC是直径，B、D在⊙O上，

若∠BOC=56°，则∠A=____，∠D=____。

（2）在图2中，AB是⊙O的直径，∠BAC=40°，

则∠ADC=____

（3）对角互补的四边形，四个顶点一定在_______上。

（4）在图3中，∠A=70°，∠B=85°，则∠C=______，∠ADE=________。

在图4中，点O是圆心，若∠AOC=80°，则∠ABC=______

10.如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．

解：

∵AB为直径，∴∠_____＝∠______=90°.

∴BC＝__________＝__________=______（cm）．

∵CD平分∠ACB，∴∠_____＝∠BCD，

∴____＝BD.

∴△ABD为________三角形，

∴___________________________，

∴AD＝______cm，BD＝_______cm.

11．OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC.求证：

∠ACB＝2∠BAC.

证明：

∵∠AOB是劣弧

所对的圆心角，

∠ACB是劣弧

所对的圆周角，

∴∠______＝2∠_______

同理∠_____＝2∠______，

∵∠AOB＝2∠BOC，

∴∠ACB＝2∠BAC.

二、合作探究

1、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB＝___．

2．如图所示，在⊙O中，∠AOB＝100°，C为优弧AB的中点，∠CAB=_____度．

3、如图5，AB是⊙O的直径，点C是

⊙O上一点，点P在BA的延长线上，且AP=AC，∠P=21°，则∠BOC的度数____

4．如图所示，已知AB是⊙O的直径，∠BAC＝32°，D是AC的中点，那么∠DAC是____度.

5．如图，在⊙O中，∠CBD=30°,∠BDC=20°,∠A=__°

6、如图6，⊙O的直径AB=2cm，

∠CBD=30°,则弦CD长______

7、如图7，在⊙O中，AD=DC，∠CAB

=30°，AC=2

，求AD的长。

8、如图所示，OA为⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，若OD＝5cm，求BE的长。

9、如图8，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AD的延长线交⊙O于点E，过E作弦EF，使EF=AC，求证：

EF∥AB

10、如图10，⊙O中，AE为⊙O的直径，AD⊥BC，求证：

∠BAE=∠CAD。

11、如图7，△ABC中，AC=BC，以AC为直径的⊙O交AB于E，作△ABC的外角平分线CF交⊙O于F、连接EF，求证：

EF=BC

三、拓展提高

如图，BC是⊙O的直径，点G是圆上任一点，点A为弧BG的中点，AD⊥BC于点D，且交BG于点E，AC与BG交于点F。

（1）求证：

BE=AE=FE；

（2）若∠GBC=30°，BC=12

，求ED的长。

《24.2.1点和圆的位置关系》导学案NO：

39

一、自主学习

1、阅读教材，然后自己画图再填空：

设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点P在圆外

_____，点P在圆上

____，点P在圆内

_____。

2、

（1）⊙O的半径为5cm，点P到⊙O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系是______。

（2）已知点P在⊙O的外部，OP＝5，那么⊙O的半径r满足__________

3、研读教材

（1）经过平面上的一点，可以作_____个圆；经过平面上两个点，可以作_____个圆；经过平面上不在同一直线上三个点A、B、C，可以作_____个圆，经过平面内同一直线上三个点D、E、F可以作圆吗？

______

（2）“不在同一直线上的三点确定一个圆”的条件是____________，“确定”一个圆是指“_______”一个圆。

（3）在练习本上作圆：

过不在同一直线上的三点A、B、C作一个圆（用尺规作图）步骤：

___________________

_______________________________

（4）观察（3）中的图形：

经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫三角形的_________，它的圆心实质是三角形三条边_________的交点，叫三角形的外心；锐角三角形的外心在三角形的_____，直角三角形的外心在三角形的_________，钝角三角形的外心在三角形的______。

4、△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，AC=6，则△ABC的外接圆半径是_______

5、阅读教材“思考”。

（1）证明命题，不从已知推出结论，而是假设命题的结论________，由此经过推理得出______；由矛盾断定所做的______不正确，从而得到原命题成立的这种证题方法叫反证法。

（2）反证法的一般步骤：

（ⅰ）______，即：

假设结论的反面成立；（ⅱ）_______,从假设出发，通过推理论证，得出矛盾；（ⅲ）________，从而肯定原命题的结论成立。

6、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求△ABC的外接圆半径．

解：

连接AO并延长交BC于点D，再连接OB，OC.

∵AB＝AC，

∴∠_____＝∠______.

∵AO＝BO＝CO，∴△ABO≌________

∴∠OAB＝∠OAC.

又∵△ABC为等腰三角形，∴AD⊥BC，

∴BD＝

BC＝______.在Rt△ABD中，

∵AB＝10，∴AD＝___________＝____.

设△ABC的外接圆半径为r.

则在Rt△BOD中，r2＝62＋（8－r）2，

解得r＝

.

即△ABC的外接圆半径为

.

7．如图，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，AD＝4cm.

（1）以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系是怎样的？

（2）若以A点为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？

解：

（1）点B在⊙A___，点C在⊙A____，点D在⊙A___；

（2）第

（2）问中B，C，D三点中至少有一点在圆内，必然是离点A最近的点___在圆内；至少有一点在圆外，必然是离点A最远的点____在圆外．所以半径取值范围:

______.

二、合作探究

1．已知⊙O的半径为5，M为ON的中点，当OM＝3时，N点与⊙O的位置关系是N在⊙O的________部

2、在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，下列各点在⊙O上的是______A、（2，3）

B、（-4，1）C、（-2，-4）D、（3，-4）

3．△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的度数是_________

4、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是_______.

5．如图，⊙O的半径r＝10，圆心O到直线l的距离OD＝6，在直线l上有A，B，C三点，AD＝6，BD＝8，CD＝9，问A，B，C三点与⊙O的位置关系是___________________________

6、如图，线段AB是⊙O的一条弦，点C是优弧AB上的一点（点C不与A、B重合），设∠OAB=

，设∠C=

，

（1）当

=35°时，求

的度数；

（2）猜想

与

之间的关系，并给予证明。

五、拓展提高

设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，若使关于x的方程2x2-2

x+（m-1）=0有实数根，确定点P的位置。

《24.2.2直线与圆的位置关系》导学案NO：

40

一、自主学习

1、先自学教材，填空。

1）．直线和圆有___个公共点时，直线和圆相交，直线叫做圆的____线．2）．直线和圆有__个公共点时，直线和圆相切，直线叫做圆的__线，这个点叫做__点.3）．直线和圆有__个公共点时，直线和圆相离．