北师大版八年级上第一章勾股定理练习题分节练习带答案解析.docx
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北师大版八年级上第一章勾股定理练习题分节练习带答案解析
第一章勾股定理分节练习
第1节探索勾股定理
一、求边长问题•
★★★
题型一：
已知直角三角形的两边，求第三边
1、【基础题】求出下列两个直角三角形中x和y边的长度.
8
、【基础题】
（1）求斜边长为17cm,—条直角边长为15cm的直角三角形的面积.
（2）已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是
、【综合I】已知一个等腰三角形的两腰长为5cm，底边长6cm，求这个等腰三角形的面积
、【综合I】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米,
只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）
A.8米B.10米C.12米D.14米
、【综合I】强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，求旗杆折断之前有多咼
m的半圆形，一个长、宽、高分
、【综合n】如图，某储藏室入口的截面是一个半径为别是m、1m、m的箱子能放进储藏室吗
题型二：
用“勾股定理+方程”来求边长
2、【综合n】一个直角三角形的斜边为20cm,且两直角边的长度比为3:
4,求两直角边的长
【综合n】如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多
1米，当他把绳子的下端拉开5米后，下端刚好接触地面，求旗杆AC的高度.
、【综合n】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问趣，这个问题的意思是：
1尺，如果把这根芦苇
【提高题】（2011年北京市竞赛题）两张大小相同的纸片，每张都分成7个大小相同的矩形，放置如图所示,
重合的顶点记作A,顶点C在另一张纸的分隔线上，若BC=J28，则AB的长是
如左下图，有一个边长是10尺的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边中点的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少
、【综合I】如右上图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干图形，使它
们的面积之和等于最大正方形1的面积，尝试给出两种方案•
、【综合I】如左下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,
2
则正方形A,B,C,D的面积之和为cm.
、【综合题】如右上图2，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3,
则图中阴影部分的面积为（）•
99
（A）9（B）3（C）（D-
42
三、证明问题
6、【综合川】1876年，美国总统加菲尔德利用右图验证了勾股定理，你能利用左下图验证勾股定理吗说一说这个方
法和本节的探索方法的联系
&【提高题】如图，AD是厶ABC的中线，证明：
AB2+AC2=2（AD2+CD2）
第2节一定是直角三角形吗
、【综合I】如左下图，6个三角形分别标号，哪些三角形是直角三角形，哪些不是，请说明理由
、【综合I】如右上图，在正方形ABCD中，AB=4,AE=2,DF=1，图中有几个直角三角形，说明理由
10、【基础题】下列各组中，不能构成直角三角形三边长度的是（）
（D）9，40，41
（A）9，12，15（B）15，32，39（C）16，30，34
、【基础题】
（1）如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗
（2）下表中第一列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的2倍、3倍、4倍、10倍还是勾股数吗任意正
整数倍呢说说你的理由。
2倍
3倍
4倍
10倍
3,4，5
5，12，13
10，24，26
8，15，17
7，24，25
99
99
99
99
的值取3）
、【提高题】给你一根长绳子，没有其他工具，你能方便地得到一个直角吗
第三节勾股定理的应用
11、【综合I】如左下图，有一个圆柱，高是
12cm，底面半径是3cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃
到上底面与A点相对的B点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少（
到达A点的正上方B点，问所建梯子最短需多长
的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是多少
离出发点有多远
求这块草坪的面积•
、【综合I】如右上图，在四边形ABCD中,AA4cm,CD=3cm,AD丄CD,AB=12cm,BC=13cm,
求四边形ABCD的面积.
16、【综合川】如图，Rt△ABC中，AB=9,BC=6,ZB=90°,将厶ABC折叠，使点A与BC的中点D重合,
折痕为MN贝V线段BN的长为（）
55
A.B.C.4D.5
32
的长度h（cm）的取值范围是
那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米你能估计出装修工人买的木条至少是多少米吗
〔，△ABC的顶点都在小正方形的顶点,
18、【综合I】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是
、【综合I】如图，小方格是边长为1的正方形，求ABCD勺面积.
[7
—
L
\
r
\
/
A、B、C均在顶点上，则/BAC=
19、【提高题】如右上图，是由5个边长相同的小正方形组成的十字,
第一章勾股定理分节练习【答案】
第1节探索勾股定理
、求边长问题.★★★
题型一：
已知直角三角形的两边，求第三边
1、【答案】x=10,y=12【总结】知道直角三角形的两边，可以求出第三边，这是勾股定理最常见的应用，
也是基本的题型。
“3、4、5”，“6、&10”和“5、12、13”等常见勾股数最好记住。
、【答案】
（1）面积是60cm2;
（2）第三边长的平方是7或25.
【总结】
（1）求面积的问题一般转化为求边长问题.
（2）没有指明哪条边是直角边或斜边，要分情况讨论
、【答案】面积是12cm2
勾股定理匚等播三角彫的性质
tavti作底边上的高，根押等圈三角能三绒合一和勾嚴定谨求出斋，再代入ffiws式求鯛即可.
（解咅1如图，作底边0C上的高机，
则ABwHcruBD=yS=3cni（■:
AD叮曲］—占Q气昇一3卜山1儿三驚旳的面穆为：
i-X5X4=12cm2.
【点诈2那题利用等腰三殆形“三线合一"年出庭边上朗高，再根据勾股走理不岀高的长度,
作高恂產直甬三角花是歸極的关箧.
、【答案】B
【解析】如图，设大树高为AB=10m小树高为CD=4m过c点作CE!
AB于E,贝UEBDC是矩形，连接AC,
•••EB=4mEC=8mAE=AB-EB=10-4=6m在Rt△AEC中，AC枷护十肚
【总结】所以通过构造直角三角形，就可以用勾股定理来求某些线段的长。
、【答案】24米
、【答案】能放进储藏室.
【解析】
'/BD^OD^=OB^
DQ3gL22
U£）2^0.3Ei=1.44
27Z）2=L.O8
;,Z7P^L041二能放厚进
类型二：
用“勾股定理+方程”来求边长.
2、【答案】两直角边的长为12cm和16cm.【解析】设两直角边分别为3x和4x，根据勾股定理可列方程
（3x）2+（4x）2=202,•••9x2+16x2=400,二25x2=400,二x2=16,二x=4,二两直角边的长为12cm
和16cm.【总结】“方程”加“勾股定理”是求边长的重要方法，知道直角三角形一边的长，以及另外两边的
关系，就可以用此方法
【答案】旗杆AC的高度为12米【解析】解设AC=x,AB=x+1，可用勾股定理列方程求出X=12
、【答案】水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺.
【解普】解：
设水滦占匚为龙兄，则芦苇长.3为（x+1）尺,根据勾匪走理加十AC2得:
厚（学）2=（x+i）
解弹=K=12»
芦苇的长度=x+l=12^1=13（尺），
辔；水迪藤吃尺，芦苇长13尺.
【答案】CD的长为3cm.
【解析】设CD长为xcm，由折叠得△ACD^AAED
•AE=AC=6cm，/AED=ZC=90°,DE=CD=xcm.
在Rt△ABC中,AC=6cm,BC=8cm,
•AB=:
aC+bC='6+8=10（cm）.
EB=AB-AE=10—6=4（cm）,BD=BC-CD=（8—x）cm,在Rt△DEB中，由勾股定理得DE+BE=DB.
222
•x+4=（8—x），解得x=3.
•CD的长为3cm.
【答案】AB=72
【解析】
爾；设每亍小矩莊的贡CTlAB=AC=7x>®RtAACD*iCD2=AC2-AD2，即CD亠（7x）'-13s^?
在Rt△寸匚D中,BC2=CD2-bED2'
即|282^13x2+xZ，
-'■齐上=2，
網得x二戸
-*-AB=7s=?
j2.
战答累为：
tJL
【总结】还是属于题型二的范畴，但是需要用两次勾股定理
类型三：
“方程+等面积”求直角三角形斜边上的高
3、【答案】选（D
【解析】根据勾股定理，可知此直角三角形斜边是13,设斜边上的高为h，利用等面积法可得方程
-13h=-512，得h=60
2213
二、面积问题•★
4、【答案】A的面积是625,B的面积是144.
【总结】⑤根据勾股定理，以斜边为边的正方形的面积等于以两个直角边为边的正方形的面积之和
、【答案】3、4的面积和等于1的面积；7、8、9、10的面积和也等于1的面积。
、【答案】49cm2【答案】选D5、【答案】S1+S2+S3+S4=4
三、证明问题
6、【解析】
图中梯畛的斑飆，一方面可以写戌：
iCa+b）（a+b>J%）2\
另一方面可以写亦■i-at+^-ab+i：
2.
所即a'+b'=c;2■
7、【解析】
证明：
延长ED到G，使DG=DE-连接EF、FG、CG，如囹斫示:
DF=DF
£EDF—ZFDG=90fl，■*■aedf^AgDF（saS>,DG-DE
AEF=FG
乂叮li为制迫kC申豈
BD=DC
BD=DC
£BDE-ACDG-
/.AEDE^ACDG（SAS）
金上眈G
九AB7CG
-ZGCA=180q-2A=180&-90*=S0Q
^RtiFCG中，由勾股定理得：
FG—F±+CG2=Cf5e：
AEF2=FG2^E2^EF2.
【总结】
本题考查勾股定理的应用，关键在于找岀相应的直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方，证明过程中运用到全等三角形的判定和等价替换的方法.
8【解析】
第2节一定是直角三角形吗
9、【答案】符合要求，四边形ABCD勺面积是36.
【網音】解：
TAD列，BD=5?
DOI3,BC=12'
-■-ab2+ad2=bd2-bd2-^c2=k2-
■■-AABD，息BDC是直角三甫羽，
-ZA=9Gfl，ZDBC-9O0，
二这个零件的面稅=厶心珈的面扱+^BDC的面积
=3x4二2+5x12^2・
=6+30*
=36
故这个零件的面和是詐”
、【答案】④号、⑤号是直角三角形，其他都不是•【提示】计算各边长，再用勾股定理逆定理判断•
、【答案】图中有4个直角三角形，分别是厶ABE△BCF△DEF和厶BEF.
10、【答案】选B、【答案】
（1）是；
（2）是.填表略
、【答案】选（B）【解析】
華:
设AB="5x^由题営得AO4x
•，直角三角©ABC的周长为24
、【答案】将绳子对折成12段，然后分别取3段、4段、.■,5x+3）c+4x=24
•.解得：
x=25段作为边长围成一个三角形，则5段的边所对的角是直角
故选B
八（上）第一章勾股定理
第三节勾股定理的应用
、【答案】所建梯子最短需26m.
【解析】上底面存在（或者说“有盖”），则有三种展开方法•
比较以上三种展开方式求得的AB,蚂蚁需要爬行的最短路程是25.
13、【答案】200千米、【答案】13千米
14、【答案】能到达墙的顶端
【解答】解；设这疤梯子能踊到达的懾的最大高度是h米，贝1；根据勾朋定理=J152-9-=1-I米）vh=l2>ll.7
「■—个卡対15米的云梯能餾到达墙的顶端.
、【答案】
（1）24米；
（2）不是，梯子底部在水平方向滑动了8米.
15、【答案】234m2、【答案】36cm2
16、【答案】选C【解析】
分忻*设BNm*.'1；?
-F'ffi的性礙可得-X.根揚中成的定义可得BD=$,在RUABC4根据4U［足理可得关Fn的1仙解方程叩可求解.
解解「lSBN-x,由折桂的性爾可gDN-AN-P-x,
DftBC的中晟
.W=3.
/liRlMBCLP-x'—^3'=（9-x）
解稈X=4.
故线段BN的4,
毗：
C
17、【答案】11WhW12
十-一亠：
二丿方二=.一号百圭二三岸二尸亍、亘一车=：
"予七三.丁7［忏土E丰
t再一根长力Kon的显子,皀+底面直婭力Xm.琶力1_虫茁姑圆fjF”申齊中.
.•#干中隹〒昂辭孟干杯干苦高"昂艺帚言干怀乂粘询卡号/
•当杯齐祓子最短是苇于阪子艳育时.215『a
酢穴怖子飼:
“Ji23+<=^13,'/
.血做信范围是：
（24-13）cm、【答案】能放入电梯内的木条的
RE11ljhshsl2cni.
最大长度大约是米，装修工人买的木条至少是米18、【答案】、【答案】
【解析】
解：
如图：
小方格都是边长为1的正方刊知
・；四边M/EFGH是正方龙,S-EFGH^EF'f^^S*5=25
s-AED=vde■上Ix2=1,
S_UQ^=—*CHbDH--?
X2X4=4»S_BCG-^BGfcGC-iX2X3-3,
■4&
=?
K3-4・5・
3Si£fi^ABCD*s-EFGH_S^AED-S-DCH-s-BCG-s-AFBa，25_1-i_3_4-5-12-5*
19、【答案】45
【解析】连接BC,证明△ABC是等腰直角三角形
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