图
象
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
1
1
-4
-2
0
2
4
6
-4
-2
0
2
4
6
-1
-1
（1）定义域：
R
性
（2）值域：
（0，+∞）
质（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数
指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．
1．比较大小
例1已知函数f（x）x2bxc满足f（1x）f（1x），且f（0）3，则f（bx）与
f（cx）的大小关系是_____．
分析：
先求b，c的值再比较大小，要注意bx，cx的取值是否在同一单调区间
内．
解：
∵f（1x）
f（1x），
∴函数f（x）的对称轴是x
1．
故b2
，又f（0）
3，∴c
3．
∴函数
f（x）在
∞，1上递减，在1，∞上递增．
若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f（3x）≥f（2x）；
若x0，则3x2x1，∴f（3x）f（2x）．
综上可得f（3x）≥f（2x），即f（cx）≥f（bx）．
评注：
①比较大小的常用方法有：
作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．
2．求解有关指数不等式
例2已知（a2
2a
5）3x
（a2
2a5）1x，则x的取值范围是___________．
分析：
利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．
解：
∵a2
2a
5（a1）2
4≥41，
∴函数y
（a2
2a
5）x在（∞，∞）上是增函数，
∴3x1
x，解得x
1．∴x的取值范围是
1，∞．
4
4
评注：
利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．
3．求定义域及值域问题
例3
求函数y
16x2的定义域和值域．
解：
由题意可得1
6x
2≥0，即6x2≤1，
∴x
2≤0，故x≤2
．∴函数f（x）的定义域是
∞，2．
令t
6x2，则y
1
t，
又∵x≤2，∴x
2≤0．∴06x2≤1，即0t≤1．
∴0≤1t1，即0≤y1．
∴函数的值域是01，．
评注：
利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．
4．最值问题
例4函数ya2x2ax1（a0且a1）在区间[11]，上有最大值14，则a的值
是_______．
分析：
令t
ax可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后
t的取值
范围．
解：
令
t
ax，则
t
0，函数
y
a2x
2ax
1可化为
y
（t1）2
2，其对称轴为
t
1．
∴当a
1时，∵
x
11，，
∴1≤ax≤a，即1≤t≤a．
aa
∴当t
a时，
ymax
（a
1）2
2
14．
解得a
3或a
5（舍去）；
当0a
1时，∵x
11，，
∴a≤ax≤1，即a≤t≤1，
a
a
1时，ymax
1
2
∴t
1
2
14，
a
a
解得a
1或a
1（舍去），∴a的值是3或1．
3
5
3
评注：
利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：
换元法，整体代入等．
5．解指数方程
例5解方程3x2
32
x
80．
解：
原方程可化为
9（3x）2
803x
90，令t
3x（t
0），上述方程可化为
9t2
80t90，解得t
9
或t
1
（舍去），∴3x
9
，∴x
2，经检验原方程的
9
解是x2．
评注：
解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．
6．图象变换及应用问题
例6为了得到函数y93x
5的图象，可以把函数y
3x的图象（
）．
A．向左平移9个单位长度，再向上平移
5个单位长度
B．向右平移9个单位长度，再向下平移
5个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移
5个单位长度
D．向右平移2个单位长度，再向下平移
5个单位长度
分析：
注意先将函数y
93x
5转化为t
3x2
5，再利用图象的平移规律进
行判断．
解：
∵y93x
53x2
5，∴把函数y
3x的图象向左平移2个单位长度，
再向上平移5个单位长度，可得到函数y9
3x
5的图象，故选（C）．
评注：
用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：
平移、伸缩、对称等．
习题
1、比较下列各组数的大小：
（1）若
，比较
与
；
（2）若
，比较
与
；
（3）若
，比较
与
；
（）若
，且
，比较a与b；
4
a与b．
（）若
，且
，比较
5
解：
（1）由，故，此时函数为减函数．由，
故．
（2）由，故．又，故．从而．
而
（3）由
．
，因
，故
．又
，故
．从
（4）应有
．又因
．因若
，故
，则
．从而
．又
，故
，这与已知
，这样
矛盾．
（5）应有
．又因
．因若
，且
，则
，故
．又
．从而
，故
，这样有
，这与已知
矛盾．
小结：
比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．
2，曲线
则
分别是指数函数
与1的大小关系是（）.
和
的图象,
（
分析:
首先可以根据指数函数单调性,确定
在轴右侧令
对应的函数值
由小到大依次为,故应选.
小结:
这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第
（1）题是
由数到形的转化,第
（2）题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.
求最值
3，求下列函数的定义域与值域.
1
（1）y＝2x3;
（2）y
＝4x+2x+1+1.
1
1
解：
（1）∵x-3≠0，∴y＝2x3的定义域为｛x｜x∈R且x≠3｝.又∵
≠
x
3
1
0，∴2x3≠1，
1
∴y＝2x3的值域为｛y｜y>0且y≠1｝.
（2）y＝4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x>0,∴y＝4x+2x+1+1＝（2x）2+2·2x+1＝
x2
（2+1）>1.
∴y＝4x+2x+1+1的值域为｛y｜y>1｝.
4，已知-1≤x≤2,求函数f（x）=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值
解：
设t=3x,因为-1≤x≤2，所以1
t9，且f（x）=g（t）=-（t-3）
2+12,故当t=3
3
即x=1时，f（x）取最大值12，当t=9
即x=2时f（x）取最小值-24。
5、设，求函数
分析：
注意到
的最大值和最小值．
，设，则原来的函数成为
，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值．
解：
设，由知，
，函数成为，，对称轴
，故函数最小值为，因端点较距对称
轴远，故函数的最大值为．
．（
分）已知函数
y
a
2x
2a
x
1（a
1）
在区间[－1,1]上的最大值是
14，求a
69
的值.
．解：
ya
2x
2x
1（
a
1），换元为
yt
2
1
ta
），对称轴为t
1
.
a
2t1（
a
当a
1，t
a，即x=1时取最大值，略
解得a=3（a=
－5舍去）
7．已知函数
（1）求的最小值；
（
（2）若
且
）
，
求的取值范围．
．解：
（1），当即
时，
有最小值为
（2）
，解得
当
时，
；
当
时，
．
8（10分）
（1）已知f（x）
3x
2
m是奇函数，求常数m的值；
1
（2）画出函数y|3x
1|的图象，并利用图象回答：
k为何值时，方程|3Ｘ－
１｜＝k无
解？
有一解？
有两解？
解：
（1）常数m=1
（2）当k<0时，直线y=k与函数y|3x1|的图象无交点,即方程无解;
当k=0或k1时,直线y=k与函数y|3x1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解;
当0两解。
9．若函数是奇函数，求的值．
．解：
为奇函数，，
即，
则，
10.已知9x-10.3x+9≤0，求函数y=
（1）x-1-4·
（1）x+2的最大值和最小值
42
解：
由已知得（3x）2-10·3x+9≤0得（3x-9）（3x-1）≤0
∴1≤3x≤9故0≤x≤2
而y=
（1）x-1-4·
（1）x+2=4·
（1）2x-4·
（1）x+2
4
2
2
2
令t=
（1）x（1
t1）
24
则y=f（t）=4t2-4t+2=4（t-1）2+1
2
当t=1即x=1时，ymin=1
2
当t=1即x=0时，ymax=2
11．已知，求函数的值域．
解：
由得，即，解之得，
于是，即，故所求函数的值域为
x22x2
12.（9分）求函数y2的定义域，值域和单调区间定义域为R值域（0，8〕。
（3）在（-∞，1〕上是增函数在〔1，+∞）上是减函数。
x23x2
13求函数y＝1的单调区间.
3
分析这是复合函数求单调区间的问题
u
u＝x2-3x+2，其中y＝1
u
可设y＝1
为减函数
3
3
∴u＝x2-3x+2
的减区间就是原函数的增区间（即减减→增）
u＝x2-3x+2
的增区间就是原函数的减区间（即减、增→减）
1
u
解：
设y＝
u＝x2-3x+2,y
关于u递减，
3
当x∈（-∞，3）时，u为减函数，
2
∴y关于x为增函数；当x∈［3，+∞）时，u为增函数，y关于x为减函数.
2
14，已知函数f（x）＝ax
1
（a>0且a≠1）.
ax
1
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）讨论f（x）的奇偶性；（3）讨论f（x）的单调
性.
解：
（1）
易得f（x）的定义域为｛x｜x∈R｝.
设y＝a
x
1,解得ax＝-
y
1①∵ax>0当且仅当-
y
1>0时，方程①有解.
x
a
1
y
1
y
1
解-y1>0得-1
∴f（x）的值域为｛y｜-1＜y＜1}.
（2）∵f（-x）＝aa
x
1＝
1
a
x
x
x
＝-f（x）
且定义域为R，∴f（x）是奇函数.
1
1
a
（3）f（x）＝（ax
1）2＝1-
2
1
.
ax
1
ax
1°当a>1时，∵ax+1为增函数，且ax+1>0.
x2
2
＝a
x
1为增函数.2°当0∴
为减函数，从而f（x）
＝1-
a
x
x
a
1
1a
1
似地可得f（x）＝ax
1为减函数.
ax
1
15、已知函数f（x）=a－
2
（a∈R），
2x
1
（1）求证：
对任何a∈R，f（x）为增函数．
（2）若f（x）为奇函数时，求a的值。
（1）证明：
设x1＜x2
f
（2）－f（x1）=
2（2x2
2x1）
＞0
x
2x1）（1
2x2
）
（1
故对任何a∈R，f（x）为增函数．
（2）xR，又f（x）为奇函数
f（0）
0得到a
1
0。
即a
1
16、定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期为
2，且
x（0,1）时，f（x）
2x
4x
1
（1）求f（x）在[－1，1]上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性；
（3）当
为何值时，方程f（x）=
在x[
1,1]上有实数解.
解
（1）∵x∈R上的奇函数
∴f（0）
0
又∵2为最小正周期
∴f
（1）
f（2
1）
f（
1）
f
（1）
0
设x∈（－1，0），则－x∈（0，
1），f（
x）
2
x
2x
f（x）
4x
1
4x
1
∴f（x）
2x
4x
1
2x
x
（-1,0）
x1
x2
xx2x2
x22x1
（
x
1设
f（x
）f（x）
（2
2）（2
2
）
1
2
2）4
01
2
（4x1
1）（4x2
1）
f（x）
0
x
{-1,0,1}
2x
x
x
x
2
x
x
2
=4x
1
（2
（0,1）
）（1
2
1
）
0
2
（4x1
1）（4x2
1）
∴在（0，1）上为减函数。
（3）∵f（x）在（0，1）上为减函数。
∴f
（1）
f（x）
f（0）
即f（x）
（2,1）
5
2
同理f（x）在（－1，0）时，f（x）
（
1,
2）
2
5
又f（
1）
f（0）
f
（1）
0
∴当
（
1,
2）（2,1）或0时
2
5
5
2
f（x）
在[－1，1]内有实数解。
函数y＝a｜x｜（a>1）的图像是（）
分析本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想.
解法1：
（分类讨论）：
ax
（x
0）,
去绝对值，可得y＝
（x
0）.
（1）x
a
又a>1，由指数函数图像易知，应选
B.
解法2：
因为y＝a｜x｜是偶函数，又a>1，所以当x≥0时，y＝ax是增函数；x＜0时，y＝a-x是减函数.
∴应选B.
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