傅里叶变换性质证明.docx

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傅里叶变换性质证明

傅里叶变换的性质

2.6.1线性

　　若信号

和

的傅里叶变换别离为

和

，

　　则对于任意的常数a和b，有

　　将其推广，若

则

　　其中

为常数，n为正整数。

　　由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.

　　显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章咱们已经明白了，线性有两个含义：

均匀性和叠加性。

均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即

叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和

2.6.2反褶与共轭性

　　设f（t）的傅里叶变换为

，下面咱们来讨论信号反褶、共轭和既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。

（1）反褶

　　f（-t）是f（t）的反褶，其傅里叶变换为

（2）共轭

　　（3）既反褶又共轭

本性质还可利用前两条性质来证明：

　设g（t）=f（-t），h（t）=g*（t），则

       在上面三条性质的证明中，并无专门指明f（t）是实函数仍是复函数，因此,不管f（t）为实信号仍是复信号，其傅里叶变换都知足下面三条性质

2.6.3奇偶虚实性

　　已知f（t）的傅里叶变换为。

在一样情形下，是复函数，因此能够把它表示成模与相位或实部与虚部两部份，即

　　依照概念，上式还能够写成

　　下面依照f（t）的虚实性来讨论F（）的虚实性。

（1）f（t）为实函数

　　对比式（2-33）与（2-34），由FT的唯一性可得

　　（）f（t）是实的偶函数，即f（t）=f（-t）

　　X（

）的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故

　　这时X（

）=0，于是

　　可见，若f（t）是实偶函数，则F（）也是实偶函数，即

左侧反褶，右边共轭

　　（）f（t）是实的奇函数，即-f（t）=f（-t）

　　R（

）的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故

　　这时R（

）=0，于是

　　可见，若f（t）是实奇函数，则F（

）是虚奇函数，即

左侧反褶，右边共轭

有了上面这两条性质，下面咱们来看看一样实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，终归不清楚，或说是没有必要关切信号的奇偶特性）的FT频谱特点。

2.6.4对称性

　　傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变换的对称性质。

若已知

　　　　　F（

）=F[f（t）]

则有

　　　　　F[f（t）]=2лf（-

）

　　证明：

因为

　　将变量t与互换，再将2乘过来，得

　　上式右边是傅里叶正变换定义式，被变换函数是F（t）

　　因此

　　　　　　　　F[F（t）]=2лf（-

）

　　若f（t）为偶信号，即f（t）=f（-t），则有

　　　　　　　　F[F（t）]=2f（

）

　　从上式能够看出，当f（t）为偶信号时，频域和时域的对称性完全成立――即f（t）的频谱是F（

），F（t）的频谱为f（

）。

　　若f（t）为奇信号，即f（t）=-f（-t），则有

　　　　　　　　F[F（t）]=-2f（

）

　　利用FT的对称性，咱们能够很方便地一些信号的傅里叶变换。

下面咱们举些例子来讲明这一点。

2.6.5尺度变换

　　若F[f（t）]=F（

），则

　　这里a是非零的实常数。

　　下面利用FT的概念及积分的性质，分a>0和a<0两种情形来证明傅里叶变换的尺度变换特性。

　　证明：

因为

　　令at=x，

　　当a>0时

　　当a<0时　

　　上述两种情形可综合成如下表达式：

　　由上可见，若信号f（t）在时域上紧缩到原先的1/a倍，则其频谱在频域上将展宽a倍，同时其幅度减小到原先的1/a。

　　尺度变换性质表明，在时域中信号的紧缩对应于频域中信号频带的扩展，反之，信号的时域扩展对应于频域的紧缩。

关于a=-1的特殊情形，它说明信号在时域中沿纵轴反褶等效于在频域中频谱也沿纵轴反褶。

　　对傅里叶变换的尺度变换特性最通俗的说明能够采纳生活中的实例来讲明，在录音带快放时，其放音速度比原磁带的录制速度要快，这就相当于信号在时刻上受到了紧缩，于是其频谱就扩展，因此听起来就会感觉到声音发尖，即频率提高了。

反之，当慢放时，放音的速度比原先速度要慢，听起来就会感觉到声音浑厚，即低频比原先丰硕了（频域紧缩）。

2.6.6时刻平移（延时）

　　下面进行证明

　　证明：

上式右边的积分项为傅里叶变换定义式，

　　于是能够取得

　　同理可以得到

2.6.7　时域微分

　　若F[f（t）]=F（

），则

　　证明：

因为

，两边对t求导，可得

　　因此　　

　　同理，能够推出

　　由上可见，在时域中f（t）对t取n阶导数等效于在频域中f（t）的频谱F（

）乘以（j）n.下面举一个简单的应用例子。

若已知单位阶跃信号u（t）的傅里叶变换，可利用此定理求出（t）的FT

2.6.8频域微分

　　若F[f（t）]=F（

），则

　　证明：

因为

，两边别离对

求导，可得

　　因此

2.6.9时域积分

可见，这与利用符号函数求得的结果一致。

2.6.10频域积分

　　若F[f（t）]=F（

），则有

2.6.11时域卷积定理

2.6.12频域卷积定理

　　与时域卷积定理类似，

　　证明方式同时域卷积定理，在那个地址不在重复，同窗们可自己证明。

　　由上可见，两个时刻函数频谱的卷积等效于两个时刻函数的乘积。

或说，两个时刻函数乘积的频谱等于各个函数频谱乘积乘以1/2。

　　显然，时域与频域卷积定理是对称的，这是由傅里叶变换的对称性决定的。

2.6.13　帕斯瓦尔定理

　　前面咱们在讲信号分解时，提及帕斯瓦尔定理。

下面咱们来研究一下该定理在FT中的具体表现形式。

　　若F[f（t）]=F（

），则

　　这确实是帕斯瓦尔定理在傅里叶变换中表现，它表明了信号的能量在时域与频域是守恒的。

下面利用FT的概念和性质，推导信号能量的求解。

　　式中

是信号f（t）的总能量，

为信号f（t）的能量谱密度。

　　帕斯瓦尔定理表明，那个总能量既能够按每单位时刻的能量|f（t）|2在整个时刻内积分计算出来，也能够按单位频率内的能量

/2在整个频率范围内积分来取得。

　　此定理也能够如下证明。

由相关性定理可得

　　取t=0，即得帕斯瓦尔定理。