高等数学同济第六版上册期末复习题含答案.docx
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高等数学同济第六版上册期末复习题含答案
※高等数学上册期末复习
一.填空题
1.
2.曲线
的拐点是
3.设
在
处可导且
则
4.曲线
在
处的切线方程为
5.曲线
有垂直渐近线
和水平渐近线
6.设
可导，
，则
#7.
8.若
，则
9.若
收敛，则
的范围是
#10.
11.设
，则
#12.设
的一个原函数是
，则
13.设
，则
#14.过点
且切线斜率为
的曲线方程为
15.已知函数
，则当
时，函数
是无穷小；当
时，函数
在
处连续，否则
为函数的第
（一）类间断点。
16.已知
，则
17.当
时，
与
是等价无穷小，则
#18.
是连续函数，则
19.
在
上连续，且
，则
提示：
，移项便得。
#20.
，则
，
21.
，则
提示：
22.曲线
在点
处的切线平行于直线
，则
#23.设
，则
24.
的水平渐近线是
25.函数
的导数为
26.
#27.
28.广义积分
29.
的积分曲线中过
的那条曲线的方程______
#30.设
为曲线
与
及
轴所围成的面积，则
31.
32.曲线
的全部渐近线为
#33.曲线
与
所围图形绕
轴旋转一周所成的旋转体体积
34.点
到平面
的距离为
35.设向量
，则当
时，
；当
。
本题不作要求36.空间曲线
在
平面上的投影曲线方程为
37.设
，则
38.设向量
，则
在
上的投影为
39.已知向量
和向量
共线，则
40.设平行四边形二边为向量
，则其面积为
41.设点
，向量
的方向余弦为
，
，则
点坐标为
本题不作要求42.曲线
绕
轴旋转一周所得的旋转曲面方程为
43.设
且
，则
44.设
=
#45.
二.选择题
1.设
，则
的值为（）
#2.设
，在
处（）
连续，不可导
连续，可导
可导，导数不连续
为间断点
3.曲线
在
处的切线与
轴正方向的夹角为（）
4.设
在
上连续，
内可导，
，则至少存在一点
，有
#5.若
，则
（）
无实根
有唯一实根
三个单实根
重根
#6.函数
在
处取得极大值，则（）
或不存在
7.设
的导函数为
，则
的一个原函数为（）
#8.设
则
（）
9.设
连续，
，则
（）
10.下列广义积分收敛的是（）
#11
（）
发散
12.下列函数中在区间
上不满足拉格朗日定理条件的是（）
13.求由曲线
直线
所围图形的面积为（）
#14.若
，则
（）
15.点
关于坐标原点的对称点是（）
16.向量
与向量
的位置关系是（）
共面
平行
垂直
斜交
17.设平面方程为
，其中
均不为零，则平面（）
平行于
轴
平行于
轴
经过
轴
经过
轴
18.设直线方程为
且
，则直线（）
过原点
平行于
轴
垂直于
轴
平行于
轴
19.直线
和平面
的位置关系为（）
斜交
垂直
平行
直线在平面上
20.已知
，则在
处（B）
.
导数存在且
.
取极大值
.
取极小值
.
导数不存在
三.计算题
#1.
#2.
3.
4.
#5.
6.求
=1
解：
一）原式
，
二）原式
。
7.设
为连续函数，计算
8.
9.
10.
11.设
，求
#12.设
，求
13.设
在
上连续，求积分
提示：
原式
14.
15.设
，其中
可导，且
，求
#16.
17.
提示：
原式
18.
发散19.
20.
21.
22.
23.
#24.
25.
26.设
，求
27.
28.
29.
#30.
#31.已知
的一个原函数为
，求
32.
#33.
#34.
35.
本题不作要求36.已知
为连续函数，令
试讨论
在
处的连续性与可微性。
#37.设
在
上可导，且满足
，证必存在一点
，使
。
#38.设
在
上连续，单调减且取正值，证：
对于满足
的任何
有
。
39.设
在
上连续，单调不减且
，试证：
在
上连续且单调不减。
（
）
40.
#41.设
，求
。
42.
43.
44.设
在
上连续，且对
，求
#45.
46.
47.设向量
，向量
满足
，且
求向量
。
48.1）求过
轴和点
的平面方程，
2）求过三点
的平面方程。
49.求过点
且垂直于平面
的平面方程。
50.求过点
且通过直线
的平面方程。
51.求与平面
平行且与三坐标所构成的四面体体积为
的平面方程。
52.求过点
且与直线
平行的直线方程。
53.求点
在平面
上的投影。
54.求过直线
且与平面
成
角的平面方程。
本题不作要求55.若动点到坐标原点的距离等于它到平面
的距离，该动点轨迹表示何种曲面？
旋转曲面
四.列表讨论函数
的单调区间、极值及曲线的凹凸区间、拐点、渐近线。
#五.设
，求
在
内的表达式。
六.设
在
内连续，证明
。
七..设
1.试求
绕
轴旋转得旋转体体积
；
绕
轴旋转得旋转体体积
；
2.问当
为何值时
得最大值？
并求该最值。
，
，
，
八.已知
，求
。
提示：
，
九.设
与
相交于第一象限（如图）。
1.求使得两个阴影区域面积相等的常数
；
2.在1的情况下，求区域
绕
轴旋转的旋转体体积。
提示：
，
，又
，
，
。
#十.设
，证：
。
提示：
设
，
十一.设直线
与直线
及
所围成的梯形面积为
，求
，使这块面积绕
轴旋转所得体积最小。
提示：
，
时，体积最小
#十二.求抛物线
在
内的一条切线，使它与两坐标轴和抛物线
所围图形的面积最小。
提示：
切线
，
，
所求切线为
十三.求通过直线
与平面
的交点，且与平面
垂直相交的直线方程。
十四.证明
在区间
内有唯一的实根。
提示：
令
，再证唯一性。
本题不作要求十五.设
可导，且
，证：
十六.设
满足
求
。
十七.证：
连续，
，并求
。
十八.求
的最大、小值。
十九.已知
求
。
二十.已知
求
。
二十一.设
求
。
二十二.
求
。
二十三.1）设
在
上连续，在
内可导，且
，证：
。
2）设
，证：
。
提示：
#3）设
，且
，证：
4）设
且严格单调增加，证：
。
5）设
在
上可导，且
，证：
。
二十四.设
在
上连续，在
内可导，且
，证明：
一个
，使得
。
证：
在
内
，由
可知，
在
内不能恒正或负，由于
的连续性可知
在
内必有零点。
若能证明零点有两个以上，则可由罗尔定理可得证。
反证：
若
是
的唯一零点，则当
就恒正或负，于是
，
而
，矛盾，
所以
在
内至少有两个零点，由罗尔定理便得证。
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