因此原方程的解为xJ丈1=0.090525
迭代法收敛速度由定理I的⑺式出,乙或I0O）|在［%］上越小，迭代法收敛就越快
（9）
若存在实数^n1和c>0满足lim£^LL—Q
2°°課"i
则称迭代法P阶收敛，当p=1时称为线性收敛丿＞1时
称为超线性收敛，p=2时称为平方收敛
显然'p越尢收敛速度也就越快
那么，如何确定P,从而确定收敛阶呢?
如果迭代函数0（工）在精确解X*处充分光滑,即处处可导
将0（对在兀*作Taylor^开，有
0（兀）=0（巧+0（巧（兀-x*）_巧2+...
如果0（兀*）=0'（疋）=…=^＞（；?
_1）（X*）=0而nxo
0（X）=0（才9+-—（x-x*）77+•••
P!
，伙Too）
即迭代法无+1=0（无）的收敛阶是卩
定理3•如果迭代法迭代函数0⑴在根x*附近满足:
（1）©⑴存在p阶导数切连续；
（2）0（巧=0〃（巧=•••=037（屮）=0,
而（p{p\x^乂0
则迭代法忑+i=©（忑）的收敛阶是p
用迭代法求解方程2x3-x-l=0
解:
本题迭代函数有两种构造形式
⑴x=2x3—l=（pY（x），迭代法发散.
X=q兀；'=02（兀/可验调0‘2（X）|<1,Xe[0,1]
迭代法收敛.
1.Newton迭代公式建立
将f（x）在点Xn作Taylor展开：
f"（X）
/（x）=/（xJ+/7xJ（x-xJ+^^（x-xh）2+..
/（x）«/（XH）+/,（XM）（X-XH）——Taylor展开线性化fM=o近似于faj+fajgxAo
（1）
从⑴解出X,记为Xn+1,贝!
|
（n=0,1,...）
（2）
广（对显然是f（x）=O的同解方程，故其迭代函数为
cp（x）=X—
广（切
“）（广心0）
在躯尸）的根x*的某个邻域朋兀一⑷＜（兀）在X才的邻域R内，对任意初值兀0，应用公式
（2）来解方程的方法就称为牛顿迭代法。
它是解代数方程和超越方程的有效方法之
2.Newton迭代法的几何意义
用于㈢在&处的切线
y=f（Xn）+f'（Xn）（X~Xn）
与X轴（y=0）的交点X,作为下一个迭代点召+1，
Newton迭代法又称切线法.
4.Newton迭代法收敛定理
定理设后*）二0,/6*）工0，且在X的邻域
±『存在,连续,则可得
（1）Newton迭代公式在单根情况下至少2阶收敛;
证：
将/⑴在占处作2阶Taylor展开拼将解涉代入
Q=f（x^）=f（xn）+ff（xn）（兀*-旺巴"（兀*-兀畀）2
注意到J在占及兀*之间，及Hmxn=x^，故
11H—>00
注意到J在及疋之间，及lim^n，故
H—>00
畑-打
f"（^„）
->
r（x）
,2一
2广（g
2广（门
=r>o（二阶收敛）若厂（兀升0
[=0（大于二阶收敛）若/"（X）=0
所以，Newton法至少二阶收敛.L—（^+1-/）_f"（x*）
例3.设兀*是方程/（兀）=0的加（＞2）重根，证明迭代法
证明：
因为八是方程/（兀）=0的加重根，故
f（x）=（x-x*）wg（x）且g（〃）^0zm>2
所以广⑴=加（X7*）"jg（x）+（x-X*）"'g'（x）
__fM_=x氏一x*）"g（xQ
Xk+1~Xk广（耳）k加（耳7*）"5（耳）+（“7*）"'g'（“）
=x（母一x*）g（®）
k吨（“）+（“-Og'（“）
1
m>2时」>0"定乂1
m
该迭代法对m（>2）重根是线性收敛的
例4.设/⑷=0,且广（°）丰0,证明迭代法
嫌+17-召诧至少是平方收敛的
fM
注意例4与例3的迭代法是相同的，两例有何区别?
证明：
令
则0（兀）=
'［广［广（0『
所以0⑷
由定理2该迭代法至少是平方收敛的
1'【纠t皿迭代法前特征
•Newton迭代公式是一种特殊的不动点迭代，其迭代矩阵为：
（p（x）=X-
广⑴
•Newton迭代是局部线性化方法，它在单根附近具有较高的收敛速度.
•方法有效前提:
/（忑）H°
5・Newton迭代法的应用开方公式
对于给定正数c应用牛顿迭代法解二次方程
兀2_c—0
可导出求开方值坨的计算公式
1（C）
忑+1=卞兀+—
设Xk是忑的某个近似值，则c/耳自然也是一个近似值，上式表明，它们两者的算术平均值将是更好的近似值。
定理开方公式对于任意给定的初值观＞0均为平方收敛。
牛顿迭代法的优缺点
优点：
在单根附近，牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精
确解。
计算函数值外还要计算微商值；
3•选定的初值要接近方程的解，否则有可能得
不到收敛的结果;
牛顿迭代法的改进
缺点克服：
1.局部线性收敛……改进公式或加速
或弦截法
3•初值近似问题——二分法求初值或”下山算法”
方法一•若已知重数m（m>1）,则利用m构造新的迭代公式:
此时，©（%）=%—加诜寺0（%）=°，至少2阶收敛.不实用：
m往往不确定.
方法二取F（x）=，再对函数F（x）用Newton迭代/W
FM=xMZfgFg—k[/（xj]2-/（xj/\xj
此时,X*为F（x）的单根，所以是2阶收敛.但要用到二阶导数.
6.Newton法的改进（II）
广（耳）
Newton迭代法
需要求每个迭代点处的导数/也）
复杂!
用％。
近似替代广（忑）中的无，得
/（忑）广（兀。
）
这种格式称为简化Newton迭代法
精度稍低
如果用数值导数代替/U）
/（忑）—了（耳1）
xk~xk-l
则Newton迭代法变为
fg
fg—fgJ
这种格式称为弦截法
收敛阶约为1・61
例4用简化Newton法和弦截法解下面方程的根，并和
g迭代法比较亠3兀+1=0
Ml
蹑（k）=x3-3x+lf\x）=3x2-3
由简化Newton法
V_V—/（忑）_¥Xk-3忑+1k+1~k玩h
由弦截法x_x
AZr+l—入k
/（"）
由Newton迭代法忑+i=忑—广（工）
x：
-3兀£+1
3x1-3
简化Newton法迭代11次
弦截法迭代5次
简化Newton法
Xq=0.5
Xj=0.3333333333x2=0.3497942387兀3=0.3468683325x4=0.3473702799x5=0.3472836048x6=0.3472985550x7=0.3472959759心二0.3472964208x9=0.3472963440勺0=0.3472963572Xjj=0.3472963553
由弦截法
兀0=0.5;勺=0.4;
兀2=0.3430962343兀3=0.3473897274x4=0.3472965093兀5=0.3472963553兀°=0.3472963553
要达到精度
由Newton迭代法
x0=0.5;
Xj=0.3333333333x2=0.3472222222£=0.3472963532与=0.3472963553
，迭代法的局部收敛性
无论哪种迭代法：
Newton迭代法简化Newton法弦截法
是否收敛均与初值的位置有关.
例：
f（x）=arctan（x）=0,精确解x*=0
用Newton迭代法求解:
S+i=xk-arctan-（1+^）
6.Newton法的改进（III）:
牛顿下山法
一般地说，牛顿法的收敛性依赖于初值入的选取，如果
*
兀0偏离兀较远，则牛顿法可能发散。
为了防止发散，通常对迭代过程再附加一项要求，即保证
函数值单调下降:
|/（耳+1）|<|/（"）|
满足这项要求的算法称为下山法。
牛顿下山法采用以下迭代公式:
其中0v251称为下山因子。
111
几的选取方式按A=的顺序
直到〃（檢+）<1/仇）i成立为止
牛顿下山法只有线性收敛.
例7・求解方程几兀）=二-兀=0,取初值兀o=-0.99丨£一®"$1°一5
解：
1•先用Newton迭代法广（兀）=x1-1
2•用Newton下山法，结果如下
k
k=0
下山因子
Xk
xO=-0.99
fM
fxO=0.666567
k=
1
xl=32.505829
f（x）=11416.4
w=0.5
xl=15.757915
f（x）=1288.5
w=0.25
xl=7.383958
f（x）=126.8
w=0.125
xl=3.196979
f（x）=7.69
w=0.0625
xl=1.103489
f（x）=-0.655
k=
2
x2=4.115071
f（x）=19.1
w=0.5
x2=2.60928
f（x）=3.31
w=0.25
x2=1.85638
f（x）=0.27
k=
3
x3=1.74352
f（x）=0.023
k=
4
x4=1.73216
f（x）=0.00024
k=
5
x5=1.73205
f（x）=0.00000
k=
6
x6=1.73205
f（x）=0.000000
2・/（兀）=0在区间［%］有重根
/（x）=0在区间⑷b］有加重根＞2
因此可令/（兀）=（兀一疋）"g（Q且g（x*）H0
故有/（X*）=广（於）=fg=（疋）=0
且/（"'）（h）H0
对于Newton迭代法斥+i=忑一；；；｛趋于零
此时Newton迭代法可能不收敛
即使广（耳）h0,Newton迭代法也只是线性收敛
由，迭代法Xk+1
至少是二阶收敛
/（忑）
/U）
NumericalValueAnalysis
第6章方程与方程组的迭代解法
Steffensen方法
简单迭代公式的加速
一次得
设乂左是根乂的某个近似值，用迭代公式校正
假设0（瓦+1）=g，贝U有
迭代：
九+1=0（林）
改进：
r-1y__r_7亠丄心_丫）
Ak+l—：
和+11人k—和+1十：
VA^+1入k丿
1-q1-q1-q
简单迭代法的加速方案:
九+1=0X）
+吕一（£?
+1一®）i_q
迭代次数大大减少，总的计算工作量减少,但涉及导数值的计算不便于实际应用。
简单迭代法加速方案的改进:
4〃辰卅加速方案:
<
Xk=Xk+2
（檢+2一忑+1尸耳+2-2耳+1+Xk（®+1一x$Xk+2-2忑+1+Xk
避免了导数值的计算，但需要用两次迭代值进行计算。
定理
设序列｛耳｝线性收敛于X*,
\/k>0,ek=x-xkH0,且
lim=c（o<|（?
|<1）ks乞
则｛耳｝的Aitken序列｛耳｝存在,且
即印比
*一
lim^_Z^L=0
ksX-Xk
快收敛于Xt
Xk
证明：
首先
lim£^±2ks£*
其次
*—
X—Xk
-==c2
kSQQ
9+1匕k
兀+2—2兀+1+兀
=Ck—（勺+1一勺）2
kek+2一2乞+1+ek
*_（加-1）2
所以
X—Xk二]
X—Xkek+2_2ek+[_|_|ks
Steffensen迭代
在Aitken加速法中，只要有三个相邻的点就可以进行家速，即对任意线性收敛序列｛忑｝构建的•现将其与不动点迭代无+i=申（林）方法结合起来：
迭代函数0（兀）迭代初始值兀°迭代序列｛xk｝
族=0（儿）
Steffensen迭代<
£=0丄•…
或写成不动点迭代形式无+严0（无），即
（0（耳）一耳）2
0[0（耳）]-20（耳）+耳
k二0丄•…
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