中考压轴题分类之分类讨论经典题型11页docx.docx
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2019-2020年中考压轴题分类之分类讨论(经典题型11页)
如果一个命题的题设或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可
能出现的各种情况分门别类地加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫
做分类讨论法。
它是一种比较重要的解题方法,也是近年来中考命题的热点内容之一;要用
分类讨论法解答的数学题目,往往具有较强的逻辑性、综合性和探索性,既能全面考查学生
的数学能力又能考查学生的思维能力,分类讨论问题充满了数学辨证思想,它是逻辑划分思
想在解决数学问题时的具体运用。
在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异,分各种不同情况予以考查.这种分
类思考的方法是一种重要的数学思想方法,同时也是一种解题策略.
分类是按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法,掌
握分类的方法,领会其实质,对于加深基础知识的理解.提高分析问题、解决问题的能力是
十分重要的.正确的分类必须是周全的,既不重复、也不遗漏.
分类的原则:
(1)分类中的每一部分是相互独立的;
(2)一次分类按一个标准;(3)
分类讨论应逐级有序进行.(4)以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型
初中数学中的分类讨论问题往往是不容易掌握好的一类问题,碰到此类问题常常是不
知道要进行分类讨论或者知道了要分类讨论而无从入手,造成解答此类问题时得分率偏低,
分类讨论问题主要有:
1、代数类:
代数有绝对值、方程及根的定义,分式、根式方程、方案策划、函数的定
义以及点(坐标未给定)所在象限等;函数定义域变化;函数图象未给出;函数对称性(反
比例函数的图象,二次函数)
2、几何类:
几何有各种图形的位置关系,未明确对应关系的全等或相似的可能对应情
况等;
3、综合类:
代数与几何分类情况的综合运用.
一、代数类专练
例1.
代数式a
b
ab的所有可能的值有(
)
|a|
|b|
|ab|
A.2个B.3个C.4个D.无数个
例2:
化简:
|x-1|+|x-2|
例3:
代数式a
b
ab的所有可能的值有(
)
|a|
|b||ab|
A.2个
B.3
个
C.4个
D.无数个
例4.一次函数ykxb,当3x1时,对应的y值为1x9,则kb的值是
()。
A.14B.6C.4或21D.6或14
3
例5已知一次函数yx33与x轴、y轴的交点分别为A、B,试在x轴上找
一点P,使△PAB为等腰三角形。
例6.为了鼓励城市周边的农民的种菜的积极性,某公司计划新建将其中售给农民种菜.该公司建设温室所筹资金不少于209.6
A,B两种温室
万元,但不超过210.2
80栋,
万元.且
所筹资金全部用于新建温室.两种温室的成本和出售价如下表:
A型B型
成本(万元
/栋)
2.5
2.8
出售价(万元
/栋)
3.1
3.5
(1)这两种温室有几种设计方案?
(2)根据市场调查,每栋A型温室的售价不会改变,每栋B型温室的售价可降低m万元(0
<m<0.7)且所建的两种温室可全部售出.为了减轻菜农负担,试问采用什么方案建设温室
可使利润最少.
例7.如图,把一张长10cm,宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).
(1)要使长方体盒子的底面积为48cm2,那么剪去的正方形的边长为多少?
(2)你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况?
如果有,请你求出最
大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由;
(3)如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大
小的矩形,然后折合成一个有盖的长方体盒子,是否有侧面积最大的情况;如果有,请你求
出最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由.
二、几何类专练
1、若等腰三角形中有一个角等于
50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为(
)
A.50°
B.80°
C.65°或
50°
D.50°或
80°
2、某等腰三角形的两条边长分别为
3cm和
6cm,则它的周长为(
)
A.9cmB.12cmC.15cmD.12cm或15cm
3、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=6cm,AB=8cm,BC=14cm.动点P、Q
都从点C出发,点P沿C→B方向做匀速运动,点Q沿C→D→A方向做匀速运动,当P、Q
其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.
(1)求CD的长;
(2)若点P以1cm/s速度运动,点
Q以22cm/s的速度运动,连接BQ、PQ,设△BQP面积
2
t(s),求S与t的函数关系式,并写出
t的取值范围;
为S(cm),点P、Q运动的时间为
(3)若点P的速度仍是1cm/s,点Q的速度为acm/s,要使在运动过程中出现
PQ∥DC,请
你直接写出a的取值范围.
4、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=900,BC=16,DC=12,AD=21,动点P从D
出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动,动点Q从点C出发,经线段CB
上以每秒1个单位长度的速度向点B运动,点P、Q分别从D、C同时出发,当点Q运动到点
B时,点P随之停止运动。
设运动时间为秒。
⑴设△BPQ的面积为S,求S与之间的函数关系式。
⑵当为何值时,以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?
5、
(1)如图1,在△ABC中,点D.E.Q分别在ABACBC上,且DE∥边长,AQ交DE于点P,
求证:
错误!
未找到引用源。
DP
=错误!
未找到引用源。
PE
;
BQ
QC
(2)如图,△ABC中,∠BAC=90°,正方形
DEFG的四个顶点在△
ABC的边上,连接
AG,AF
分别交DE于M,N两点.
①如图2,若AB=AC=1,直接写出MN的长;
2
②如图3,求证:
MN=DM?
EN.
6、如图
(1),△ABC与△EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,AB=AC=EF=9,∠BAC=∠DEF=90o,
固定△ABC,将△DEF绕点A顺时针旋转,当DF边与AB边重合时,旋转中止.现不考虑旋
转开始和结束时重合的情况,设DE,DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G,H点,如图
(2)
A(D)
F
A(D)
F
B
()
B
G
C
H
CE
E
图
(1)
图
(2)
(1)问:
始终与△AGC相似的三角形有
及
;
(2)设CG=x,BH=y,求y关于x的函数关系式(只要求根据图
(2)的情形说明理由)
(3)问:
当x为何值时,△AGH是等腰三角形.
7、如图,在四边形ABCD中,∠BAC=∠ACD=90°,∠B=∠D.
(1)求证:
四边形ABCD是平行四边形;
(2)若AB=3cm,BC=5cm,AE=
1
1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动
AB,点P从B点出发,以
3
至A点停止,则从运动开始经过多少时间,△BEP为等腰三角形?
8、数学课上,李老师出示了如下框中的题目.
在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在
CB的延长线上,且ED=EC,如图.试确定线
段AE与DB的大小关系,并说明理由.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况?
探索结论
当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与的DB大小关系.请你直接写出结论:
AEDB(填“>”,“<”或“=”).
(2)特例启发,解答題目
解:
题目中,AE与DB的大小关系是:
AEDB(填“>”,“<”或“=”).理由如下:
如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F,(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).
9、如图①,在矩形ABCD中,将矩形折叠,使点
B落在边AD(含端点)上,落点记为
E,这
时折痕与边BC或者边CD(含端点)交于点
F,然后展开铺平,则以
B、E、F为顶点的
△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”.
(1)由“折痕三角形”的定义可知,矩形
的任意一个“折痕△
”一定是一个
ABCD
BEF
_________三角形;
(2)如图②,在矩形
中,
=2,
=4.当它的“折痕△”的顶点
E
位于边
AD
ABCD
AB
BC
BEF
的中点时,画出这个“折痕△BEF”,并求出点F的坐标;
(3)如图③,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4.该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”?
若存在,说明理由,并求出此时点E的坐标;若不存在,为什么?
10、如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=2错误!
未找到引用源。
,点O是AB的中点,点
P在
AB的延长线上,且BP=3.一动点E从O点出发,以每秒
1个单位长度的速度沿
OA匀速运动,
到达
A
点后,立即以原速度沿
返回;另一动点
F
从
P
点发发,以每秒
1个单位长度的速
AO
度沿射线
匀速运动,点
、
F
同时出发,当两点相遇时停止运动,在点
、
F
的运动过程
PA
E
E
中,以EF为边作等边△EFG,使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧.设运动的时间为
t秒
(t≥0).
(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时,求运动时间t的值;
(2)在整个运动过程中,设等边△
EFG和矩形
ABCD重叠部分的面积为
S,请直接写出
S与
t
之间的函数关系式和相应的自变量
t
的取值范围;
(3)设
EG与矩形
ABCD的对角线
AC的交点为
H,是否存在这样的
t,使△
AOH是等腰三角
形?
若存大,求出对应的
t
的值;若不存在,请说明理由.
DC
AEOBFP
11、如图,在平面直角坐标系中,直线
错误!
未找到引用源。
分别交x轴,y轴于
,
B
两
A
点,点
C
为
的中点,点
D
在第二象限,且四边形
为矩形.
OB
AOCD
(1)直接写出点
A,B的坐标,并求直线
AB与
CD交点的坐标;
(2)动点
P从点
C出发,沿线段
CD以每秒
1个单位长度的速度向终点
D运动;同时,动
点M从点
A出发,沿线段
AB以每秒错误!
未找到引用源。
个单位长度的速度向终点
B
运动,过点
P作PH⊥OA,垂足为
H,连接
MP,MH.设点
P的运动时间为
t秒.
①若△MPH与矩形
AOCD重合部分的面积为
1,求
t
的值;
②点
Q是点
B关于点
A的对称点,问
BP+PH+HQ是否有最小值,如果有,求出相应的点
P
的坐标;如果没有,请说明理由.
12、已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD.BC于点E.F,
垂足为O.
(1)如图1,连接AF.CE.求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长;
(2)如图2,动点P.Q分别从A.C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,
①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,当A.C.P.Q
四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.
②若点P.Q的运动路程分别为a.b(单位:
cm,ab≠0),已知A.C.P.Q四点为顶点的
四边形是平行四边形,求a与b满足的数量关系式.
13、如图,直线y=﹣2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,将△OAB绕点O逆时针方向旋
转90°后得到△OCD.
(1)填空:
点C的坐标是(,),点D的坐标是(,);
(2)设直线CD与AB交于点M,求线段BM的长;
(3)在y轴上是否存在点P,使得△BMP是等腰三角形?
若存在,请求出所有满足条件的点
P的坐标;若不存在,请说明理由.
14.如图所示,在平行四边形ABCD中,AD4cm,
∠A=60°,BD⊥AD,一动点P从A出发,以每秒1cm的速度沿A
动,过点P作直线PM,使PM⊥AD.
(1)当点P运动2秒时,设直线PM与AD相交于点E,求△APE
BC的路线匀速运
的面积;
(2)当点P运动2秒时,另一动点Q也从A出发沿A
的路线运动,且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动,在
每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN,使QN//PM.设点
BC
BC上以
Q运动的时间为
t秒(0≤t≤10),
直线
PM与
QN截平行四边形
ABCD所得图形的面积为
2
Scm.
①求
S关于
t
的函数关系式;②(附加题)求
S的最大值
.