中学数学教学中要注意数学的适度形式化(2).docx

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中学数学教学中要注意数学的适度形式化

摘要：

适度形式化是《课标》的基本理念之一，已成为数学教育中的一条重要教学原则，也是高考所追求的考查目标之一.传统数学考试过分强调和依赖形式化的考查，过度追求形式化，造成学生过分地着眼于形式和机械化的操作，很大程度上弱化了学生对数学本质的理解.适度形式化考查体现为：

把握形式化的“度”，做到形式与本质的统一，实现直观与抽象的结合，凸显形式化与非形式化的和谐.本文主要是从对数学形式化的理解、对数学教育中数学形式化的认识、数学形式化存在的问题及在数学教学中对数学适度形式化提出的认识和相关建议这样几方面展开的.

关键词：

数学形式化适度数学教学建议

形式化是数学的本质特征之一,就连最简单的2+3也已经具有显著的形式化特点.《普通高中数学课程标准（实验）》把“强调本质，注意适度形式化”作为课程的基本理念之一.我国的数学教育历程和现实已经显示出，把握数学教育中数学形式化的适度性是一项有颇具难度的工作.要有效地改进这项工作,必须首先对数学教育中数学形式化及其存在的问题有较为清楚的认识.

1对数学形式化的理解

第一，数学形式与数学形式化不是一个概念.也可以说数学形式化是一种用符号或符号的方法或技术来改进数学表达，对数学语言、理论进行整理、修正、转化和组织的过程.这种整理、修正、转化和组织的成果只是表达数学内容本质的一种形式,我们可以把它称之为形式化的表达.但表达数学内容本质的形式可以是多种的，它未必是符号化的.事实上，数学中大量存在用其他语言形式或思维形式来表达数学本质的现象，如借助日常文字语言、图形来表达数学，以及对数学内容本质的心理表征等.数学的表现方式,大都是形式化的思想材料.

第二,数学离不开形式化.辩证唯物主义认为,任何事物都有形式和内容两个侧面，都是形式和内容的统一体.数学科学中的形式除了符合上述普遍意义的内容与形式的关系以外，还有其特殊之处，这是因为数学的形式所反应的内容是“思想材料”，思想材料具有的含义隐性、高度概括的特点，需要这种含义精确、高度抽象、简洁的符号化表达.考察数学发展史，这种符号化表达促进数学发展的例子屡见不鲜.因此,可以说，没有数学的形式化就没有数学的发展.数学的研究对象是形式化的思想材料，整个数学是一个形式化的思想体系.所以，形式化早已成为数学的本质特征之一.

第三，数学形式化是一个过程.是一个“用日益有效的符号或符号法来改进语言表达”的过程，是对“语言的整理、修正和转化的过程”.是“数学化”过程的有机组成部分.

第四，应该从更广泛的意义上理解数学的形式化.一方面，数学形式化不仅是指概念符号化、命题公式化、推理演算化.它包括对所有具体（相对而言）内容、对象、结构模式、过程、方法（包括解题方法）进行数学的提炼、概括，并使具体上升为一般的过程和结果的数学表达，也包括对理论体系的不断提炼、组织和整理.例如，徐利治先生就从解决问题的方法中提炼出“映射反演原则”，并用符号RMI表示.另一方面，应该拓展“符号化”的含义，应该把使用数学名词术语表达数学内容都看作数学形式化，至少是一定层次上的数学化.

第五，数学形式化是有不同层次之分的，相对应地，作为数学形式化的结果也有不同的程度之分.事实上，从产生数学知识的“原材料”（指数学知识产生的生活背景和实践经验），到零碎的数学知识，再到实体的公理系统，进而到形式公理系统,是一个数学化程度不断提高的过程，也是形式化程度逐步提高的过程.具体到每个阶段，人们都在寻找合适的形式来表达数学化不同阶段的相应内容本质，人们熟知的函数概念便是一个很好的例子——从“变量”说，到“映射”说，再到“关系”说.这是一个逐步地摆脱数学对象的直观和具体内容，使之趋向于更高的抽象程度的过程，同时也是符号化表达“气味”愈来愈浓的过程.也就是说，在数学科学发展进程中的不同阶段上，就体现出了数学形式化的不同层次.

2对数学教育中数学形式化的认识

2.1数学形式化是数学教育中的一项重要内容

如前所述，形式化是数学的本质特征之一，数学中知识大多以符号或术语的方式表现，所以学习数学必然要学习数学形式化.社会也要求人们学会并使用数学语言，数学语言（符号系统）现在已成为通用的语言.以准确、简明、抽象著称的数学语言正越来越多地进入人们的日常生活.而且用符号术语来表示事物对象及其关系的意识和能力，即符号化的意识和能力在任何需要一定思考投入的工作领域中都是必需的，而学习数学形式化的过程显然是培养这方面能力的极好机会.

2.2数学形式化是一个复杂的渐进过程

一方面，从纵向看,随着学习的不断深入，数学形式化的层次在不断提高.以最简单的数的学习为例，最初，我们以语音的形式来表达数，进一步是用数字符号,再进一步是用字母；从整数形式到分数形式,再到统一形式的有理数和实数.另一方面，从横向看，同一形式在不同阶段中，其内容本质会不断丰富.如数“3”从最初的表示三个、第三这样的离散量到表示度量结果的连续量；从表示具体量到表示比率等等.也就是说，一方面表达数学内容本质的符号的抽象化程度在不断提高，另一方面同一形式所表示的内容是动态变化的，是一个不断丰富的过程，也就是说同一符号在不同阶段其含义是在发展变化的.这也就意味着在数学学习过程中,数学内容本质与符号形式表达之间的发展变化是纵横交错的，形式符号与内容本质之间不是简单的一一对应关系.这就容易导致学习者在对表达形式的认识与内容本质的理解之间常常会存在很大的距离.更何况,数学形式化的对象又是多种多样，从而导致了学习过程中数学形式化的方式、途径、心理历程的多种多样.

2.3新课程理念：

“强调本质，注意适度形式化”

2.3.1对“强调本质.注意适度形式化”的理解

首先，虽然数学教育不可避免地要涉及数学形式化，但我们更注重对数学内容本质的理解，促进学生建立数学内容本质与形式之间的有机联系是我们追求的重点.

其次,充分重视学生生活背景和实践经验在建构数学形式中的作用.从数学历史的演进过程来看，数学家们创造出严格的数学形式化的理论是以前期的非严格数学形式化为直接或间接基础的，而非严格形式化的数学的最终渊源是客观现实中的真实背景.弗赖登塔尔（HansFreudenthal）指出：

“数学的根源在于普通常识”，“我相信在教育中更值得推荐的是，应从普通常识的概念开始.在任何情况下，这种信仰或多或少地被发自本能的数学发展的事实所支持着.”因此在教育过程中应重视使用相关的生活背景和实践经验.

第三，学习的不同阶段应该有相适应的数学形式化的层次.从上述讨论中我们已明确：

无论是从数学科学的发展还是就学生的学习过程而言,数学形式化本身具有层次性发展特点,教育中的数学类似于“生长中的数学”，是作为进一步学习基础的适度的形式化，而不同于作为完整数学理论体系的最终形式化，要与学生的学习进程相适应,不能急于求成.在局部环节上，在给出形式化表达之前应该让学生有一个充分的心理酝酿过程；在各阶段上,要与学生心理发展水平相适应,建立内容本质与表达形式之间的有机联系，要充分考虑到与学生的认知发展水平和已有的知识经验相适应.

第四，把握适度的形式化表达.虽然数学中知识大多以符号或术语的方式表现，学习形式化表达是数学学习的一项基本要求”，但术语与符号化不是数学内容本质的仅有的表达方式.从现有的数学成果而言,形式化的公理系统便是最高层次的形式化成果，这种纯符号体系表达的“精品数学”是少数数学家们所追求的理想结果,我们大多数人所认识和需要的都是“中间状态”、一定层次形式化的数学

第五，要兼顾其他基础知识、基本技能和各种能力的发展.虽然数学形式化在数学教育中具有相当重要的地位，但形式化只是数学化的有机组成部分，数学的形式化不是数学教育的最主要的目标，我们的主要目标是促进学生全面发展.

2.3.2新课程所作的努力

新课程为了促进学生对数学内容本质的理解，建立内容本质与形式表达之间的有机联系，使数学形式化过程适应学生的学习心理，并在建构数学形式化认知结构的同时,获得全面发展，在“强调本质，注意适度形式化”方面作出了努力.例如，调整了某些知识的编排体系.《普通高中数学课程标准（实验）》一改传统高中数学课程中微积分的设计思路——“极限一连续一导数一导数应用（主要研究函数性质）一不定积分一定积分”，而是以“瞬时速度一变化率一导数一导数应用（研究函数性质、社会生活背景的应用）一定积分”为设计主线,不以一般的极限理论作为基础,而是直接从变化率引入导数，其目的在于避开形式化极限概念给学生学习带来的困难,突出导数概念的本质.再如，改变了某些教学内容的重点.在传统的统计教学内容中，突出的是形式化的统计量，学生学得较多的是统计量的计算，而忽视了用统计方法处理问题的意识、能力的培养；新课程则强调以实际问题来引起学生解决问题的意向，让学生经历收集数据、整理数据、分析数据、从数据中获取信息作出判断的过程，从而获得解决问题的经验，提高解决问题的能力.还有，强调尊重个人的知识经验在建构知识中的作用，重视情境，坚持把普通常识作为形式化数学的基础，在教材中出现了大量的生活情境性题材.淡化了用统一形式表达数学结论，提倡多种形式表达数学内容.强调引导学生开展数学活动，让学生经历“数学化”的过程，等等.

3数学形式化存在的问题

以上两部分对数学形式化的讨论中已经显现出，在数学教育中贯彻“强调本质，注意适度形式化”理念,不是一项轻而易举的工作.尽管有许多人一直在努力，但仍然存在许多方面的问题.有教材方面的原因，也有教师实施课程方面的原因.以下是笔者注意到的几个方面.

3.1侧重于获得数学结论，忽视对内容本质的理解

例如，追求快速获得知识结论,新知识建构的思维通道狭窄.教学中虽然也重视理解，为学生搭建联系新旧知识的“桥梁”，但通常只引导学生从单一的线索来联系新旧知识，教师“牵引着”学生的思路，而且更多地考虑新旧知识之间的逻辑联系，而忽视从学生学习心理角度建立联系，没有发挥学生的经验背景和主动性在数学形式化过程中的作用，没有给学生充分数学活动、数学思考、经历数学化的机会.又如，没有充分利用情境材料.虽然也有利用情境的意识和行动，但常常是匆匆呈现情境，在学生还没闹明白情境中所隐含的数学内容时，教师就急不可待地向学生推出形式化的数学内容.有的甚至认为利用情境是“效率低下”，干脆不用.而通常数学认知的建构过程中需要经历首先理解情境，再从情境中发现“数学常识”，然后经过思考建构新的数学知识的过程.再如，过分强调形式化结论的记｝乙.笔者了解到,有不少初中教师把让学生背定义、公式、定理作为一项经常性的作业.笔者的意思不是不可以让学生背定义，而是这项工作很容易让学生以为背了定义、公式、定理就是掌握了数学内容.

3.2偏重显性数学内容的形式化，忽视隐性内容的形式化

重视相对显性的概念、规则、知识结构体系的形式化,而忽略相对隐性的解决问题的模式建构.从非负有理数集到有理数集，加减运算的扩充包括运算意义的扩充和运算法则的扩充两部分，但某种七年级上册数学课本里，“有理数及其运算”一章，“有理数加法”“有理数减法”两个小节中，几乎所有内容都是围绕导出运算法则展开的，没有一处明确指出对运算意义的扩充，这就导致教师在课堂教学中也忽略了对运算意义教学,对运算意义没有充分理解就不可能利用相应的运算模式去解决现实问题.又如,重视显性的处理问题的程序性知识技能的学习，而忽略相对隐藏隐性的思想方法的提炼概括.笔者在近期深人课堂听课、并与任课教师的交流中了解到，在列方程解应用题的首次课中，教师就把重点放在“寻找等量关系”、“归纳解题步骤”上,而没有引导学生去体会这种解应用题的方法思路的特别之外以及与算术解法不同——将未知量用字母表示之后，未知量与已知就具有同等地位，因而在列式中不必区分已知数与未知数，然后，只要从不同的角度对同一量作出表达，就可以得到方程,下一步的工作只要按程序解方程，再根据具体问题作出答案，而算术解法则必须用已知量的运算结果来表示未知量.

3.3在形式化的进程中蜘踢不前

一种现象是过度情境化，回避形式