机器人学蔡自兴课后习题答案.docx
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机器人学蔡自兴课后习题答案
其余的比较简单，大家可以自己考虑。
3.坐标系｛B｝的位置变化如下：
初始时，坐标系｛A｝与｛B｝重合，让坐标系｛B｝绕ZB轴旋转角；然后再绕XB旋转角。
给出把对矢量BP的描述变为对AP描述的旋转矩阵。
解：
坐标系｛B｝相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变换顺序为依次右乘。
对AP描述有APBATBP；
其中ABTRot（z,）Rot（x,）。
9.图2-10a示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。
要求把它们重新摆放在图2-10b所示位置。
（1）用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。
（2）作图说明每个从右至左的变换序列。
（3）作图说明每个从左至右的变换序列。
解：
（1）方法1:
如图建立两个坐标系｛o1x1y1z1｝、｛o2x2y2z2｝，与2个楔块相固联。
图1：
楔块坐标系建立（方法1）
对楔块1进行的变换矩阵为：
T1Rot（y,90）Rot（z,90）；
对楔块2进行的变换矩阵为：
T2Trans（3,0,4）Rot（z,90o）02TRot（x,90o）Rot（z,180o）；
1
0
0
0
00
1
0
5
其中02T
20
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
2
1
0
0
0
1
0
0
0
所以：
T1
；T2
10
1
0
02
0
1
0
4
0
0
0
1
0
0
0
1
对楔块2的变换步骤：
①绕自身坐标系X轴旋转90；
②绕新形成的坐标系的Z轴旋转180；
③绕定系的Z轴旋转90；
④沿定系的各轴平移（3,0,4）
方法2：
如图建立两个坐标系{o1x1y1z1}、{o2x2y2z2}与参考坐标系重合，两坐标系与2个楔块相固联
对楔块1进行的变换矩阵为：
T1Rot（y,90）Rot（z,90）；
对楔块2进行的变换矩阵为：
T2Trans（2,0,9）Trans（4,0,0）Rot（y,90o）Rot（x,180o）Rot（z,90o）；
0
0
1
0
0
0
1
2
1
0
0
0
1
0
0
0
所以：
T1
；T2
10
1
0
02
0
1
0
9
0
0
0
1
0
0
0
1
备注：
当建立的相对坐标系位置不同时，到达理想位置的变换矩阵不同。
（2）、（3）略。
2.图3-11给出一个3自由度机械手的机构。
轴1和轴2垂直。
试求其运动方程式解：
方法1建模：
如图3建立各连杆的坐标系
图3：
机械手的坐标系建立
根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表1。
表1：
机械手的连杆参数
连杆
i
ai
di
i
1
90o
L1
0
1
2
0
L2
0
2
3
0
0
0
3
该3自由度机械手的变换矩阵：
T3A1A2A3；
c1
0
s1
L1c1
c2
s2
0
L2c2
s1
0
c1
L1s1
s2
c2
0
L2s2
A11
；A2
10
1
0
0
20
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表2
表2：
机械手的连杆参数
连杆
i1
ai1
di
i
1
0
0
0
1
2
90o
L1
0
2
L2
平行。
图中所示关节均处于零位。
各关节转角的正向均由箭头示出。
指定本机械手各连杆的坐标系，然后求各变换矩阵0T1，1T2和2T3。
解：
对于末端执行器而言，因为单独指定了末端执行器的坐标系，则要确定末端执行器与最后一个坐标系之间的变换关系。
方法1建模：
按照方法1进行各连杆的坐标系建立，建立方法见图5
图5：
机械手的坐标系建立
连杆3的坐标系与末端执行器的坐标系相重合。
机械手的D-H参数值见表3
表3：
机械手的连杆参数
连杆
i
ai
di
i
1
90o
0
L1L2
1
2
0
L3
0
2
3
0
L4
0
3
末端执行器
0
0
0
4
注：
关节变量12340。
将表3中的参数带入得到各变换矩阵分别为：
1
0
0
0
1
0
0L3
T1
0
0
1
L0L；1T2
0
1
0
0
0
1
0
L1L22
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0L4
1
0
0
0
2
0
1
00
30
1
0
0
2T3
；3T末
0
0
10
末0
0
1
0
0
0
01
0
0
0
1
方法2建模：
按照方法2进行各连杆的坐标系建立，
建立方法见图
6
。
图6：
机械手的坐标系建立
3自由度机械手的D-H参数值见表4。
表4：
机械手的连杆参数
连杆
i1
ai1
di
i
1
0
0
L1L2
1
2
90o
0
0
2
3
0
L3
0
3
末端执行器
0
L4
0
4
注：
关节变量12340。
将表4中的参数带入得到各变换矩阵分别为：
100
0
1
0
0
0
0
010
0
1
0
0
1
0
0T1
；
1T2
；
001
L1L2
0
1
0
0
000
1
0
0
0
1
100
L3
1
0
0
L4
2
010
0
3
0
1
0
0
2T3
3T末
001
0
0
0
1
0
000
1
0
0
0
1
01
0
4
1.已知坐标系{C}对基座标系的变换为：
C
00
1
3
；对于基座标系的微分
10
0
0
00
0
1
平移分量分别为沿X轴移动0.5，沿Y轴移动0，沿Z轴移动1；微分旋转分量分别为0.1，0.2和0。
（1）求相应的微分变换；
（2）求对应于坐标系{C}的等效微分平移与旋转。
解：
（1）对基座标系的微分平移：
d[0.5,0,1]T；对基座标系的微分旋转：
[0.1,0.2,0]T；
0
0
0.2
0.5
0
0
0.1
0
0.2
0.1
0
1；
0
0
0
0
0.2
0
0
0.5
0.1
0
0
0
相应的微分变换：
dcc
0
0.2
0.1
0.5
0
0
0
0
（2）由相对变换C可知n、o、a、
p，
dxn（（p）d）0.5；cdyo
（（
p）d）
c
0.5；cdza（（p）d）0
cc
xn0；yo
0.1；c
za0.2
对应于坐标系{C}的等效微分平移：
cd[0.5;0.5;0]；微分旋转：
c
[0;0.1;0.2]。
2.试求图3.11所示的三自由度机械手的雅可比矩阵，所用坐标系位于夹手末
端上，其姿态与第三关节的姿态一样。
解:
设第3个连杆长度为L3。
1）使用方法1建模，末端执行器的坐标系与连杆3的坐标系重合，使用微分变换法。
图7：
机械手的坐标系建立
表5：
D-H参数表
连杆
i
ai
di
i
1
o
90o
L1
0
1
2
0
L2
0
2
3
0
0
0
3
c（2
3）
s（2
3）0
L2c2
c3
s3
0
0
s（2
3）
c（2
3）0
L2s2；2T
s3
c3
0
0
3T3E；
0
0
1
0；T3
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
由上式求得雅可比矩阵：
L2s3
0
0
L2c3
0
0
T0
0
0
TJ
0
0
0
0
0
0
0
1
1
2）使用方法2建模，使用微分变换法。
图8：
机械手的坐标系建立
表6：
D-H参数表
连杆
i1
ai1
di
i
1
0
0
0
1
2
90o
L1
0
2
3
0
L2
0
3
c（
23）
s（
23）
0
L1L2c2
c3
s3
0
L2
0
0
1
0；2T3
s3
c3
0
0
s（
23）
c（
23）
0
L2s2
0
0
1
0；
0
0
0
1
0
0
0
1
由上式求得雅可比矩阵：
0L2s30
0L2c30
TJ
L1L2c2s（23）
c（23）
00
11
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