东北三省三校届高三第二次联合模拟考试理科数学试题含答案解析.docx
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东北三省三校届高三第二次联合模拟考试理科数学试题含答案解析
哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学
2021年高三第二次联合模拟考试
理科数学
2021.4
D.6
注齋事项:
1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上.
2・回答第I卷时,选出每小题答案后，用铅筆把答题卡上对应题目的答案标号涂黑•如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号•写在本试卷上无致
3.回答第n卷肘，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
第I卷（选择题共60分）
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
】.定义集合运算zA^B=R|z=矽样EA.yeB},设4=（1,2|tB={1,2,3},则集合4"的所有元素之和为
A.16B.18C.14D.8
2■复数z=z-^-（其中•为虚数单位）,则z・£=
Z-I
C.5
3.割补法在我国古代数学著作中称为“出人相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足,是数量的平均思想在几何上的体现如图，揭示了刘徽推导三角形面叔公式的方法，在三角形4肌?
内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率
a•+b4
4.已知a=2^tb=lo&2,c=1。
盼寺，则a,b,c的大小关系为
A..a>b>cB.a>c>6C.c>a>6D.c>b>a
5.已知下列四个命题，其中真命题的个数为
1空间三条互相平行的直线a#,c,都与直线d相交，则«,6,c三条直线共面；
2^宜线m丄平面a,宜线彫/平面a,则m丄叭
鉀面aC平面"宜线m,直线a〃平面©宜线必平面0,则
④垂直于同一个平面的两个平面互相平行.
A.1B.2C・3D.4
6•双曲线C：
4-^=1（。
>0）的左、右焦点分别为F\、F“P是双曲线（:
上一点，ao
“2丄工轴，伽乙卩片凡=扌■，则双曲线的渐近线方程为
7•如图所示，流程图所给的程序运行结果为S=840,那么判断框中所填入的关于k的条件是
A・kv5?
B.k<4?
CMV3?
DM<2?
&已知/（兀）是定义域为人的奇函数次1+%）=/（!
-«）,当0W宠W1时,/（为）xZ-1JIJ2A./（x）=1-厂2B./（x）二e"2
C./（x）=1-c-'1D./（E二e…-1
9•若函数/&）=sin（如+羽（0JV3）的图象向右平移警个长度单位
后关于点&,0）对称，则/⑺在卜羌”］上的最小值为
A.-lB.4C.-224
10.已知直线讥厂。
与圆x2+/=4交于两点,0为坐标原点，|刃+刃|=存|0才-函则实数a的值为
A.±2B.工匹C.±7TD.W
11•已知4、E是球0的球面上两点tAB=2,过4B作互相垂直的两个平面截球得到园0｛和圆Q,若Z-AO.B=9O\Z_AO2B=60。
则球的表面积为
A.5ttB.10ttC・15ttD・20p
12.已知函数/&）=e-\g（x）若心）=g（n）成立，则n-皿的最小值为
A.l+!
n2B.ln2
C.21n2D.In2-1
第II卷（非选择题共90分）
2.填空题:
本题共4小题,每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上.
13-sin200cosl0<>-cosl6003inl0°=
14•在一次跳绳比赛中,35名运动员在一分钟内跳绳个数的茎叶图，如图所示，若将运动员按跳绳个数由少到多编为i~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，把7人跳绳个数由少到多排成
一列,第一个人跳绳个数是133,则第5个人跳绳个数是
15.在ZUBC中，内角A,BtC所对的边分别为a,b,c,已知ZUBC的面积为/15,6-c=2,cosA=寺，贝!
）a的值为•
6在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程G：
血讪=+/=1,老师问同学们:
你想到了什么?
能得到哪些结论?
下面是四位同学的回答：
甲：
曲线G关于y对称；乙：
曲线C?
关于原点对称；
丙:
曲线G与坐标轴在第一象限围成的图形面积S,丁:
曲线C2与坐标轴在第一象限围成的图形面积$<亍;
四位同学回答正确的有（选填“甲、乙、丙、丁”）•
三、解答题:
共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（一）必考题：
共60分.
17.（本小题满分12分）
已知公比大于1的等比数列匕」的前6项和为126,且他亠3,2®成等差数列.
（I）求数列｛a」的通项公式①；
（II）若数列卩」满足®=b-十108^5^2且aeAT）,且如二1,
证明:
数列｛*■｝的的几项和人<2.
1&（本小题满分12分）
新冠疫悄爆发以来，在党和政府的领导下,社区工作人员做了大莹的工作，为总结工作中的经验和不足，设计了一份调查问卷，满分100分，随机发给100名男性居民和100名女性居民，分数
统计如下:
（I）求这100位男性居民评分的均值丘和方差于；
（n）已知男性居民评分x服从正态分布n（t）心用歹表示&用$2表示,
求P（67.8（ID）若规定评分小于70分为不满意,评分大于等于70分为满意,能否有99%的把握认为居民
是否满意与性别有关?
曲*）
a10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.204
6.635
7.879
10.828
附：
辰a7・2,PS-bVX参考公式疋二n（ad^bc）
z.Xzjx,、八=a+6+c+rf
（a+6）（c+d）（a+c）（2>+d）
19•（本小题满分12分）
已知等腰直角△SA/SA=4^=4,点C刀分别为边SB,SA的中点，沿仞将山仞折起，得到四棱锥S-ABCD，平面SCD丄平面ABCD.
（I）过点D的平面Q〃平面SBC,平面a与棱锥S-ABCD的面相交，在图中画出交线;设平面a与棱SA交于点M,写出器的值（不必说出画法和求值理由）;
（H）求证:
平面SBA丄平面SBC、
20.（本小题满分12分）
已知点M（1,寻）,N卜1,-寻），直线PM.PN的斜率乘积为-壬,P点的轨迹为曲线C.
（I）求曲线C的方程；
（H）设斜率为k的直线交X轴于几交曲线C于儿B两点■是否存在k^lAT\2+1BT\2为定值■若存在，求出的％值;若不存在,请说明理由.
21•（本小题满分12分）
已知函数人“+八-詈（a6R）・
（I）当"2时,求函数/O）的单调区间；
（H）若/（巧在（0,+8）上有且仅有一个极小值点，求a的取值范围.
（二）选考题:
共10分.请考生在第22.23题中任选一题作答•如果多做■則按所做的第一题计分，做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑•本题满分10分.
22.［选修4-4：
坐标系与参数方程］
在平面直角坐标系心中，直线1的参数方程为『=3'为参数），曲线G的参数方程为
1/=—y3t
严==?
+严080（0为参数），以该宜角坐标系的原点0为极点样轴的非负半轴为极轴建立极坐ly=2smp
标系，曲线C?
的极坐标方程为p=-2$啜.
（I）分别求曲线C｝的极坐标方程和曲线G的直角坐标方程；
（U）设宜线z交曲线C］于0,4两点,交曲线G于0/两点■求（AB\.
23•［选修4-5；不等式选讲］
已知fS）=|%+2|-|x-1I
（I）解不等式/U）w刁
（H）设/G）的最大值为如果正实数机严满足m+2n求纟+丄的最小值，
mn
三校联考（二模）理科数学参考答案2021.4.7
一.选择题：
ACACCCBACDDD
二•填空题：
1
13.—14.14515.416.甲、乙.丙
2
三.解答题：
17.解：
（I）设等比数列｛al（｝的公比为＞1）,前〃项和为彳・
则643=4^+2為，整理得今2-3g+2=0,解得q=l《舍）或q=22
5；=虫？
=63a严126,解得国=2・「•％=2r,（/?
eN*）
2—1
（II）力》2时，
即b厂=z贝9
KK
b2-bt=2
经检验，当力=1时，^=1符合上式•:
也=巴J
18解：
（切由频率分布表可知:
-55x3+65x12+75x72+85x8+95x575（10
4分（每个2分）
（2）由一直和
（1）可知：
X:
N（75,52）
Qcr=^=7F=>/52^7.2
・•・P（67.8vXv89・4）=P（“-
=-x0.6827+^x0.9545=0.8186
22
・・・P（67・88分
（3）由已知条件可得：
2x2列联表如下：
不满意
男性
85
15
100
女性
80
20
100
165
35
200
10分
f200x（85x20-80x15）2200“
•:
R==u0.866
100x100x165x35231
Q"0.866<6.63511分
没有99%的把握认为是否满意与性别有关.
・12分
4分
19.
MSt=1MA
⑵证明:
TOC分别为以$8中点
•••CDHAB
/AS丄M
••・CD1SD
面SCDD面MCDYD
SDA.CD
SDu而SCQ
•・•SD丄5U5CD
•••CD、ADu[^4BCD
•••SD丄CD、SDJAD
乂TCZ）丄Q
•••2MDCQS三条棱两两互相垂直
如图所示分别以射线IMQCQS的方向为兀跆z轴正方向建立空间宜角坐标系D-xyz
1&AD=CD=1*则班lQO）,C（0」,0）,S（0,ai）』（120）
：
・2=（1,2-1）,AB-（0,2,0）,CB=（1,1,0）
设平面S/fB.平面SBC的法向虽分别为弘=（不』佰）°=（£小后）
2分
12分
•W卜爺法土，
・・•平面购丄平面SBC
20
（1）设P点坐标为（x,y）f则褊“
4
33
m丄x-lx+14
（2）设A（x,y）设直线AB为“片+”代入3x2+4尸=12得（3m2+4）y2+6mny+3/-12=0
A=36加％2-4（3/?
_12X3M+4）=48（3"+4-X）>o6分
|N7f+|〃7f=（ml+1）（X+疔）=（m2+1XU*2），-2y必]
»（存+1）[（-^-）2-2^^]=6血-4M+4（3肿+4）]
3/m+43m+4（3力+4）
10分
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