角平分线的性质.docx

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角平分线的性质

个性化辅导教案提纲

教师：

学生：

时间：

2011年05月日段

学科：

数学

年级：

初一

课题名称：

角平分线的性质

授课目的与考点分析：

1.掌握角平分线的性质.

2．灵活运用角平分线的性质.

授课内容

一、合作交流探究新知

探究ⅰ

1、想一想：

下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？

教师活动：

播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC的方法．

学生活动：

观看多媒体课件，讨论操作原理．

[生1]要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．

[生2]∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．

[生3]我们看看条件够不够．

所以△ABC≌△ADC（SSS）．

所以∠CAD=∠CAB．

即射线AC就是∠DAB的平分线．

[生4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的．

2、试一试：

老师再提出问题：

通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．

（完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）

讨论结果展示：

作已知角的平分线的方法：

已知：

∠AOB．

求作：

∠AOB的平分线．

作法：

（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．

（2）分别以M、N为圆心，大于

MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．

（3）作射线OC，射线OC即为所求．

（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．

点拨：

1．在上面作法的第二步中，去掉“大于

MN的长”这个条件行吗？

2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？

（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）

学生讨论结果总结：

1．去掉“大于

MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．

2．若分别以M、N为圆心，大于

MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．

3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．

4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．

探究ⅱ：

做一做1

[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？

把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？

[生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．

[师]你的叙述太精彩了．这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题．

做一做2

角平分线的性质：

已知角的平分线，能推出什么样的结论．

操作：

1．折出如图所示的折痕PD、PE（使第一条折痕为斜边）．

2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．

画一画：

按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？

拿出两名同学的画图，请大家评一评，以达明确概念的目的．

[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求．

[生甲]噢，对，我知道了．

[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象．

教师提出问题：

你能叙述所画图形的性质吗？

生回答后，教师进一步引导:

观察操作得到的结论有时并不可靠，你能否用推理的方法验证你的结论呢？

证一证：

引导学生证明角平分线的性质：

分清题设、结论，将文字变成符号并加以证明（学生板演）

已知：

OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E

求证:

PD=PE

证明:

∵ＯC平分∠ＡＯＢ,P是OC上一点（已知）

∴∠DＯP=∠BＯP（角平分线定义）

∵PD⊥OA,PE⊥OB（已知）

∴∠ODP=∠OEP=90°（垂直的定义）

在△OPD和△OPE中

　∠DOP=∠BOP（已证）

　∠ODP=∠OEP（已证）

　　　OP=OP　　（已知）

∴△ADC≌△ABC（ＡＡS）

∴ＰＤ＝ＰＥ（全等三角形对应边相等）

说一说:

引导学生结合图形从文字和符号的角度分别叙述

问题1：

你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？

[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．

问题2：

（出示）

能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．

学生通过讨论作出下列概括：

∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD=PE．

3、角的平分线的性质：

（1）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

（2）用符号语言表示为：

∵∠1=∠2

PD⊥OA，PE⊥OB

∴PD=PE.

二、用一用:

如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：

20000）？

（1）集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？

用哪一个性质可以解决这个问题？

（2）比例尺为1：

20000是什么意思？

（学生以小组为单位讨论，教师可深入到学生中，及时引导）

讨论结果展示：

（1）这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点300米处．

（2）在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：

20000，其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思．作图如下：

第一步：

尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．

第二步：

在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．

总结：

应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．

思考：

反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？

三、角平分线的判定

1.已知：

如图,QD⊥OA，QE⊥OB，

点D、E为垂足，QD＝QE．

求证：

点Q在∠AOB的平分线上．

证明:

∵QD⊥OA，QE⊥OB

　∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）

在Rt△QDO和Rt△QEO中

　QO＝QO（公共边）

QD=QE

∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）

　∴∠QOD＝∠QOE

∴点Q在∠AOB的平分线上

2.角平分线的判定：

（1）到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

（2）用数学语言表示为：

∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．

∴点Q在∠AOB的平分线上．

四、课堂练习

1．填空：

（1）.∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB

∴___________

（________________________________________）

（2）.∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE

∴__________

（________________________________________________）

2.已知:

如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.

求证:

EB=FC.

分析：

根据角平分线的性质得到DE=DF，再根据HL证△BED≌△CFD,从而得到EB=FC.

3、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:

（）

A.一处B.两处

C.三处D.四处

分析:

由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处.即：

A,B,C,D各一处.

4、如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．

求证：

点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：

PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．

证明：

过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．

因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．

所以PD=PE．

同理PE=PF．

所以PD=PE=PF．

即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

五、课堂追踪练习：

1．如图，∠1=∠2，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，下列结论中错误的是（       ）

　　A．PD=PE

　　B．OD=OE

　　C．∠DPO=∠EPO

　　D．PD=OD

2．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列四个结论中正确的个数

是（       ）

　　①AD上任意一点到点C、点B的距离相等；

　　②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；

　　③BD=CD，AD=BC；④∠BDE=∠CDF．

　　A．1             B．2

　　C．3             D．4

3．到△ABC的三条边的距离相等的点是△ABC的（       ）

　　A．三条中线的交点

　　B．三条角平分线的交点

　　C．三条高的交点

　　D．三条边的垂直平分线的交点

4．如图，已知点D、B分别在∠A的两边上，

C是∠A内的一点，且AB=AD，BC=DC，

CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别是E、F．

　　求证：

CE=CF．

5．如图，已知BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB．

　　求证：

D在∠BAC的平分线上．

6．求证：

三角形的三条角平分线相交于一点．

　　证明：

如图，设角平分线AD与BE相交于点O．点O到三边AB、BC、CA的距离分别是d1、d2、d3

7．如图，△ABC中，∠ABC=120º，∠C=26º，且DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF．

　　求∠ADC的度数．

8．如图，△ABC中，BP、CP分别是∠B、∠C的外角平分线．

求证：

（1）点P在∠A的平分线上；

（2）∠BPC=90º−

∠BAC．

六、教后反思：

本节知识的应用主要存在以下问题：

1、对距离把握不到位，点到直线的垂线段长才叫距离;

2、不会直接使用角平分线的性质，而是使用全等将性质再证;

3、采用角平分线性质解题强调三个条件：

两个垂线段，再加角平分线;

强调：

学生还是更多的喜欢采用全等去解题，要试着让学生尽快接受新知识并用新知识去解题.

本次课后作业：

学生对于本次课的评价：

〇特别满意〇满意〇一般〇差

学生签字：

教师评定：

*学生上次作业评价：

〇好〇较好〇一般〇差

*学生本次上课情况评价：

〇好〇较好〇一般〇差

家长签字：