高二数学专题训练定积分.docx
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高二数学专题训练定积分
曲边梯形的面积与定积分
【知识网络】
1.了解定积分的实际背景。
2.
初步了解定积分的概念，并能根据定积分的意义计算简单的定积分。
【典型例题】
A可用定积分表示为
11.
dx
x
1xpdx
）
1x
o（n）Pdx
（）
（3）求由y二ex,x=2,y=1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为
（）
A.:
0,e2:
B.:
0,2]C.[1,2:
D.:
0,1:
（4）由y=cosx及x轴围成的介于0与2n之间的平面图形的面积，利用定积分应表达
为.
（5）计算p1-x2dx=。
[例2]①利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正是负？
3n0丄
（1）J04sinxdx；
（2）J』exdx;（3）Jflnxdx.
3
②利用定积分的几何意义，比较下列定积分的大小.
11213
0xdx,0xdx,0xdx。
［例3］计算下列定积分:
4
⑵,^（x3）dx;
11
（1）.^（-x1）dx；
3
23
（4）/dx。
y
y
y
y
y
b
a
x
O
-
2
X
-
⑷
（
⑶
⑵
（
）
1
C
A
D
（
）
2
（
）
3
（
）
4
C
5
1
'tdt
ax
2x
A.0
B。
2o
2
y=（x-1）2-1
i
0dX
1（x3
2
y=x
2兀
（3）0'cosxdx;
【课内练习】
0
11
0
132
J（x+tanx+xsinx）dx=
tanxx2sinx）dx
032
C.2丄（xtanxxsinx）dx
32
D。
2o|xtanxxsinx|dx
D。
x-I-x1dx
111
和式」丄1当+R时，无限趋近于一个常数A，则A用定积分可表
n+1n+22n
［例4］利用定积分表示图中四个图形的面积:
F列定积分值为
1的是
1
Bo0（x1）dx
b
设连续函数f（x）>0，则当avb时，定积分.f（x）dx的符号a
A.一定是正的B.当0C.一定是负的D.当0由直线y=x,y--XV，及x轴所围成平面图形的面积为
11
A..0G-y）-ydyB。
『（-x+1）-xdx
y=x2
aa
示为。
6.曲线y=x2,x=o,y=1，所围成的图形的面积可用定积分表示为.
7.计算曲边三角形的面积的过程大致为：
分割；以直代曲；作和；逼近。
试用该方法计算由直线x=0，x=1，y=0和曲线y=x2所围成的曲边三角形的面积。
（下列公式可供使用:
12+22+…+n2=】n（n1）（2n1））
6
&求由曲线y=x1与x=1,x=3,y=0所围的图形的面积
9.计算ff（x）dx，其中，f（x）=[2x，O'x*1,扫[5,1兰x兰2.
F（x）=kx（k是正的常数，x是伸长量），
10•弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力求弹簧从平衡位置拉长b所做的功。
曲边梯形的面积与定积分
A组
a
1.若f（x）是［_a,a］上的连续偶函数，贝yf（x）dx二
■j.a
0
A.［af（x）dx
0a
C.2JJ（x）dxD.0f（x）dx
置为
3.
由直线y=x,y=_x・1，及X轴所围成平面图形的面积为
1
B.J-x1-xdx
D.x-丨-x•1dx
h（x）0a:
:
:
x:
:
:
b,bc
4.设f（x）且h（x）dx=A,g（x）dx=B，给出下列结论:
g（x）v0,bEx1A>0；
2B>0;
c
3f（x）dx=AB;
a
c
④If（x）|dx=A-B。
a
其中所有正确的结论有。
5.设函数f（x）的图象与直线x=a,x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在［a,b］上的
面积。
已知函数
y=sinnx在［0,
兀*2
—］（n€N）上的面积为一。
nn
①y=sin3x在［0,
2二
—］上的面积为
3
ji
4■:
②y=sin（3x
兀）+1在［—,
］上的面积为。
3
3
6.求由曲线y=1-x与x=0,x=3,y=0所围的图形的面积。
7.试根据定积分的定义说明下列两个事实：
1cf（x）dx=cf（x）dx;
"a"a
bbb
2J（f（x）+g（x））dx=Jf（x）dx+〕g（x）dx。
aaa
&物体按规律x=4t（m）作直线运动，设介质的阻力与速度成正比，且速度等于10（m/s）
时阻力为2（N），求物体从x=0到x=2阻力所做的功的积分表达式.
曲边梯形的面积与定积分
2.
b
（|f（x）|dx,|ff（x）dx|的大小关系为a■a
bbb
|f（x）dx|>|f（x）|dx>f（x）dx
bbb
|f（x）|dx>|f（x）dx|>f（x）dx
a'a-a
C.
bbb
|f（x）|dx=|f（x）dx|=f（x）dxa・a-a
bbb
a|f（x）|dx=|af（x）dx|>af（x）dx
其中所有正确命题的序号为
5.给出下列定积分:
0
②_.sinxdx
23
④1xdx
TL
①。
张inxdx
2
3J3xdx
其中为负值的有。
6.求由曲线y=2x3,y=1,y=2,x=0所围图形的面积。
7.计算：
彳.4-x2dx。
^_2
&试问下面的结论是否成立？
若函数f（x）在区间［a,b］上是单调增函数，则
b
f（a）（b「a）乞f（x）dx辽f（b）（b「a）。
ya
若成立，请证明之；若不成立，请说明理由。
参考答案
曲边梯形的面积与定积分
5
［例3］⑴一；
2
[例4]
（1）
45
（2）；（3）0；（4）0。
2
a2
xdx；
（2）S
220222
二/dx；（3）s=.]（x-1）—1]dx-.0[（x-1）-1]dx；
b
dx.
a
曲边梯形的面积与定积分
A组
1.Co
2.B。
Co
①③④。
42
①—；②no
33
3
―:
-O
2
定积分的定义实质反映了计算的过程，也就是：
分割；以直代曲；作和；逼近。
可尝试用这四步进行说明或证明。
F表示
变力作功公式中，F（x）是用x表示的，而此题中只有x对t的关系式，故首先将出来.
依题意得：
F=kv,但这不是x的函数，应将v用x表示.
•••v=x/=8t，而t=型,F（x^8J-=-^45、45
另外，此题F是与物体运动方向相反的，.W\xdx.
匕5
Ao
Bo
Ao
②④⑤。
②③。
3
—o
4
2n。
提示：
问题即求上半圆的面积。
3.
4.
5.
6.
7.
&
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
&
结论成立。
说明可按照定积分的定义进行。
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