小学数学教师的学科专业知识及其拓展1.docx
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小学数学教师的学科专业知识及其拓展1
小学数学教师的学科专业知识及其拓展
三、小学数学教师的学科专业知识及其拓展
（一）小学数学知识体系中“数与代数”的知识及其拓展
1、小学数学中的“数的认识及其运算”
数的认识
数的运算
数学思考
一上
20以内数的认识
20以内加减法、进位加法
求和应用题
求差应用题
图示加减两步应用题
一下
100以内数的认识
20以内的退位减法
100以内的加法与减法
图文应用题
表格应用题（在练习中）
加减、比多少应用题
二上
100以内的加法和减法
表内乘法
几个几的乘法应用题
求一个数的几倍的
二下
万以内数的认识
表内除法
整百、整千数加减法
万以内数的加法和减法
（一）
解决问题
三上
分数的初步认识
万以内数的加法和减法
（二）
有余数的除法
多位数乘一位数
分数的简单计算
有余数除法的应用题
巩固两步应用题
三下
小数的初步认识
除数是一位数的除法
两位数乘两位数
简单的小数加减法
巩固除法应用题
连乘应用题
解决问题
四上
大数的认识
三位数乘两位数
除数是两位数的除法
速度问题
四下
小数的意义和性质
四则运算
运算定律
小数的加法和减法
相应的两三步应用题
五上
循环小数
小数乘法
小数除法
解决问题
每一种方程对应一种应用题
五下
因数和倍数
分数的意义和性质
分数的加法和减法
分数两三步应用题
六上
倒数的认识
百分数
分数乘法
分数除法
解决问题
按比例分配
用百分数解决问题
六下
负数
用比例解决问题
关于数的认识的知识要点：
（1）整数
十进制计数法：
一（个）、十、百、千、万……都叫做计数单位。
其中“一”是计数的基本单位。
10个1是10，10个10是100……每相邻两个计数单位之间的进率都是十。
这种计数方法叫做十进制计数法
整数的读法：
从高位一级一级读，读出级名（亿、万），每级末尾0都不读。
其他数位一个或连续几个0都只读一个“零”。
整数的写法：
从高位一级一级写，哪一位一个单位也没有就写0。
四舍五入法：
求近似数，看要求近似到哪一位数，再看其后一位的数是几，比5小就舍去，是5或大于5舍去尾数向前一位进1。
这种求近似数的方法就叫做四舍五入法。
整数大小的比较：
位数多的数较大，数位相同最高位上数大的就大，最高位相同比看第二位较大就大，以此类推。
（2）小数
小数表示：
把整数1平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……这些分数可以用小数表示。
如1/10记作0.1,6/100记作0.06。
小数计数：
小数点右边第一位叫十分位，计数单位是十分之一（0.1）；第二位叫百分位，计数单位是百分之一（0.01）……小数部分最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。
小数部分有几个数位，就叫做几位小数。
如0.56是两位小数，4.067是三位小数。
数位顺序表：
整数部分
小
数
点
小数部分
…
亿级
万级
个级
数位
…
千亿位
百亿位
十亿位
亿
位
千万位
百万位
十万位
万
位
千位
百位
十位
个
位
·
十分位
百分位
千分位
…
计数单位
…
千亿
百亿
十亿
亿
千万
百万
十万
万
千
百
十
一
（个）
十分之一
百分之一
千分之一
…
小数的读法：
整数部分整数读，小数点读点，小数部分顺序读。
小数的写法：
小数点写在个位右下角。
小数的性质：
小数末尾添0去0大小不变。
化简
小数点位置移动引起大小变化：
右移扩大左缩小，1十2百3千倍。
小数大小比较：
整数部分大就大；整数相同看十分位大就大；以此类推。
（3）分数和百分数
①分数和百分数的意义
分数的意义：
把单位“ 1” 平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫做分数。
在分数里，表示把单位“ 1” 平均分成多少份的数，叫做分数的分母；表示取了多少份的数，叫做分数的分子；其中的一份，叫做分数单位。
百分数的意义：
表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。
也叫百分率或百分比。
百分数通常不写成分数的形式，而用特定的“%”来表示。
百分数一般只表示两个数量关系之间的倍数关系，后面不能带单位名称。
百分数表示两个数量之间的倍比关系，它的后面不能写计量单位。
成数：
几成就是十分之几。
②分数的种类
按照分子、分母和整数部分的不同情况，可以分成：
真分数、假分数、带分数
③分数和除法的关系及分数的基本性质
除法是一种运算，有运算符号；分数是一种数。
因此，一般应叙述为被除数相当于分子，而不能说成被除数就是分子。
由于分数和除法有密切的关系，根据除法中“商不变”的性质可得出分数的基本性质。
分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质，它是约分和通分的依据。
④约分和通分
分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。
把一个分数化成同它相等但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
约分的方法：
用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
通分的方法：
先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
⑤倒数
乘积是1的两个数互为倒数。
求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。
1的倒数是1，0没有倒数。
⑥分数的大小比较
分母相同的分数，分子大的那个分数就大。
分子相同的分数，分母小的那个分数就大。
分母和分子都不同的分数，通常是先通分，转化成通分母的分数，再比较大小。
如果被比较的分数是带分数，先要比较它们的整数部分，整数部分大的那个带分数就大；如果整数部分相同，再比较它们的分数部分，分数部分大的那个带分数就大。
⑦百分数与折数、成数的互化：
例如：
三折就是30％，七五折就是75％，成数就是十分之几，如一成就是10%，则六成五就是65%。
⑧纳税和利息：
税率：
应纳税额与各种收入的比率。
利率：
利息与本金的百分率。
由银行规定按年或按月计算。
利息的计算公式：
利息=本金×利率×时间
⑨百分数与分数的区别主要有以下三点：
意义不同。
百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。
”它只能表示两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量。
如：
可以说1米是5米的20％，不可以说“一段绳子长为20％米。
”因此，百分数后面不能带单位名称。
分数是“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样一份或几份的数”。
分数不仅可以表示两数之间的倍数关系，如：
甲数是3，乙数是4，甲数是乙数的?
；还可以表示一定的数量。
应用范围不同。
百分数在生产、工作和生活中，常用于调查、统计、分析与比较。
而分数常常是在测量、计算中，得不到整数结果时使用。
书写形式不同。
百分数通常不写成分数形式，而采用百分号“％”来表示。
如：
百分之四十五，写作：
45％；百分数的分母固定为100，因此，不论百分数的分子、分母之间有多少个公约数，都不约分；百分数的分子可以是自然数，也可以是小数。
而分数的分子只能是自然数，它的表示形式有：
真分数、假分数、带分数，计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数，是假分数的要化成带分数。
（4）数的整除
①整除的意义
整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）
除尽的意义甲数除以乙数，所得的商是整数或有限小数而余数也为0时，我们就说甲数能被乙数除尽，（或者说乙数能除尽甲数）这里的甲数、乙数可以是自然数，也可以是小数（乙数不能为0）。
②约数和倍数
如果数a能被数b整除，a就叫b的倍数，b就叫a的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的是它本身，它没有最大的倍数。
③奇数和偶数
能被2整除的数叫偶数。
例如：
0、2、4、6、8、10……注：
0也是偶数2、不能被2整除的数叫奇数。
例如：
1、3、5、7、9……
④整除的特征
能被2整除的数的特征：
个位上是0、2、4、6、8。
能被5整除的数的特征：
个位上是0或5。
能被3整除的数的特征：
一个数的各个数位上的数之和能被3整除，这个数就能被3整除。
⑤质数和合数
在正整数集合里分为质数、合数和1。
一个数只有1和它本身两个约数，这个数叫做质数（素数）。
质数有无穷多个。
一个数除了1和它本身外，还有别的约数，这个数叫做合数。
合数有无穷多个。
1既不是质数，也不是合数。
自然数按约数的个数可分为：
质数、合数
自然数按能否被2整除分为：
奇数、偶数
⑥分解质因数
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。
例如：
18=3×3×2，3和2叫做18的质因数。
把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法来分解质因数。
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。
其中最大的一个叫这几个数的最大公因数。
公因数只有1的两个数，叫做互质数。
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。
其中最大的一个叫这几个数的最大公倍数。
特殊情况下几个数的最大公约数和最小公倍数。
（1）如果几个数中，较大数是较小数的倍数，较小数是较大数的约数，则较大数是它们的最小公倍数，较小数是它们的最大公约数。
（2）如果几个数两两互质，则它们的最大公约数是1，小公倍数是这几个数连乘的积。
⑦奇数和偶数的运算性质
相邻两个自然数之和是奇数，之积是偶数。
奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数；
奇数-奇数=偶数，奇数-偶数=奇数，偶数-奇数=奇数，偶数-偶数=偶数；
奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数。
关于数的四则运算的知识要点：
（1）四则运算的法则
加法：
整数和小数：
相同数位对齐，从低位加起，满十进一。
同分母分数：
分母不变，分子相加；异分母分数：
先通分，再相加
减法：
整数和小数：
相同数位对齐，从低位减起，哪一位不够减，退一当十再减。
同分母分数：
分母不变，分子相减；异分母分数：
先通分，再相减
乘法：
整数和小数：
用乘数每一位上的数去乘被乘数，用哪一位上的数去乘，得数的末位就和哪一位对起，最后把积相加，因数是小数的，积的小数位数与两位因数的小数位数相同。
分数：
分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
能约分的先约分，结果要化简
除法：
整数和小数：
除数有几位，先看被除数的前几位，（不够就多看一位），除到被除数的哪一位，商就写到哪一位上。
除数是小数是，先化成整数再除，商中的小数点与被除数的小数点对齐b、甲数除以乙数（0除外），等于甲数除以乙数的倒数
（2）运算定律
加法交换律a＋b=b＋a
结合律（a＋b）＋c=a＋（b＋c）
减法性质a－b－c=a－（b＋c）
a－（b－c）=a－b＋c
乘法交换律a×b=b×a
结合律（a×b）×c=a×（b×c）
分配律（a＋b）×c=a×c＋b×c
除法性质a÷（b×c）=a÷b÷c
a÷（b÷c）=a÷b×c
（a＋b）÷c=a÷c＋b÷c
（a－b）÷c=a÷c－b÷c
商不变性质m≠0 a÷b=（a×m）÷（b×m）=（a÷m）÷（b÷m）
积的变化规律：
在乘法中，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数。
推广：
一个因数扩大A倍，另一个因数扩大B倍，积扩大AB倍。
一个因数缩小A倍，另一个因数缩小B倍，积缩小AB倍。
商不变规律：
在除法中，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。
推广：
被除数扩大（或缩小）A倍，除数不变，商也扩大（或缩小）A倍。
被除数不变，除数扩大（或缩小）A倍，商反而缩小（或扩大）A倍。
利用积的变化规律和商不变规律性质可以使一些计算简便。
但在有余数的除法中要注意余数。
如：
8500÷200= 可以把被除数、除数同时缩小100倍来除，即85÷2=42（余1），商不变，但此时的余数1是被缩小100被后的，所以还原成原来的余数应该是100，即8500÷200=42……100。
关于简易方程的知识要点：
（1）用字母表示数
用字母表示数是代数的基本特点。
既简单明了，又能表达数量关系的一般规律。
用字母表示数的注意事项：
①数字与字母、字母和字母相乘时，乘号可以简写成“·“或省略不写。
数与数相乘，乘号不能省略。
②当1和任何字母相乘时，“1” 省略不写。
③数字和字母相乘时，将数字写在字母前面。
（2）含有字母的式子及求值
求含有字母的式子的值或利用公式求值，应注意书写格式
（3）等式与方程
表示相等关系的式子叫等式。
含有未知数的等式叫方程。
判断一个式子是不是方程应具备两个条件：
一是含有未知数；二是等式。
所以，方程一定是等式，但等式不一定是方程。
（4）方程的解和解方程
使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。
求方程的解的过程叫解方程。
在列方程解文字题时，如果题中要求的未知数已经用字母表示，解答时就不需要写设，否则首先演将所求的未知数设为x。
（5）解方程的方法
①直接运用四则运算中各部分之间的关系去解。
如x-8=12
加数+加数=和 一个加数=和－另一个加数
被减数－减数=差 减数=被减数－差 被减数=差＋减数
被乘数×乘数=积 一个因数=积÷另一个因数
被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=除数×商
②先把含有未知数x的项看作一个数，然后再解。
如3x+20=41
先把3x看作一个数，然后再解。
③按四则运算顺序先计算，使方程变形，然后再解。
如2.5×4-x=4.2，
要先求出2.5×4的积，使方程变形为10-x=4.2，然后再解。
④利用运算定律或性质，使方程变形，然后再解。
如：
２.２x＋７.８x＝２０
先利用运算定律或性质使方程变形为（２.２＋７.８）x＝２０，然后计算括号里面使方程变形为１０x＝２０，最后再解。
2、小学数学中数的结构；
零
自然数
正整数
负整数
整数
正分数
有理数
分数
负分数
无理数：
无限不循环小数。
如π，
等
实数
有限小数和无限循环小数都能化为分数。
在自然数的基础上负数概念引进后，“整数集”完整地形成了，并使“加法、减法、乘法”在整数集内永远实施。
在自然数的基础上分数概念的引进，首先形成了“非负理数集”，使除法（0不作除数）在这个数集内永远实施；再引进负数后，有理数集就完整地形成，使“加、减、乘、除”四则运算在有理数集内永远实施。
也可理解为：
加法和乘法的实施使“非0自然数集”扩充为“自然数集”；再实施减法，使“自然数集”扩充为“整数集”，也即“负整数”加入；又再实施除法（0不作除数），使“整数集”扩充为“有理数集”，也即“分数”的加入。
3、小学数学中对于数及其运算的几点深入理解
（1）对“自然数”的理解——0为什么规定为自然数
上世纪90年代以前人们习惯的自然数不包括0，1993年《中华人民共和国国家标准》颁布，规定了0属于自然数。
因为，自然数有三大功能，一是基数，二是序数，三是能加法和乘法运算。
缺少了0就不完善了。
在基数上，0表示没有，是“空集”这个有限集合的元素个数；在顺序上，有时当着起点，如尺子的0厘米；在加乘运算上，如果没有0的自然数，不能运算。
在小学数学中所指的整数就是自然数。
（2）对于分数的理解
小学数学中分数的定义是：
把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数。
因此，分数的分子、分母都是非0自然数，并且分母不能是1。
在小学数学中，像0/3，2/1，0.1/3，4/0.2等的数都不是分数。
但是，有时在计算中会出现分子是0的分数，就叫零分数，或分母是1的分数是整数。
所以，分数补充定义：
当分数m/n的n=1时,m/n=m/1=m；当分数m/n的m=0时，m/n=0/n=0。
另一方面，在过去的小学数学里，有繁分数这个概念，可把0.1/3或4/0.2等看成是繁分数。
繁分数可化成整数或分数。
（3）分数和小数的关系
任何一个分数都可化为小数，即是化成有限小数或无限循环小数。
但是，并非任何小数都能化成分子、分母都是整数的分数，如无限不循环小数不能化成分数。
（4）关于0为什么不能做除数
整数除法定义：
如果bq=a，那么a÷b=q。
这说明除法是乘法的逆运算，已知积和一个因数，求另一个因数。
当a=0，b≠0时，∵b•0=0，∴0÷b=0。
如果除数b=0，那么：
①当被除数a不为零时，由于任何数乘0都不可能等于a，所以a÷0的商是不存在的；②当被除数a为零时，因为任何数乘0都等于0，所以a÷b的商是不能确定的。
因此，规定除法中，除数不能为零。
（5）对小学数学整除性的理解
①因数和倍数。
小学数学是在非0整数（自然数）范围内研究因数和倍数的。
在小学数学中的非0自然里，a×b=c,a和b都是c的因数，c是a和b的倍数；
从数的整理除性来看，0能被任何非0自然数整除，故0是任何非0自然数整除的倍数，任何非0自然数也都是0的因数，所以在研究因数和倍数时，把0包括在内就没有什么实际意义，因此，小学数学中的0不作为因数、倍数的研究范围。
（学习负数后，一个数的倍数可以是负整数）
因0不能当除数，任何整数都不是0的倍数，故0没有倍数。
②奇数和偶数。
小学数学是在自然数中定义奇数和偶数的，所以0是偶数。
奇数性质：
两个奇数的和或差是偶数；两个奇数的积是奇数；一奇一偶的和或差是奇数；一奇一偶的积是偶数。
偶数性质：
两偶的和、差、积是偶数。
在自然数中，最小的偶数的0，最小的奇数的1。
数扩充到全体整数时，就没有最小的整数，也没有最小的奇数（偶数）。
人教版五下P22练习题11﹡奇数与偶数的和是奇数还是偶数？
奇数与奇数的和是奇数还是偶数？
偶数与偶数的和呢？
（设奇数为2n-1，n∈N，设偶数为2n-1，n∈N，可以证明）
③质数和合数
一个数除了1和它本身外，还有其他的因数，这样的数叫合数，合数至少有3个因数。
一个数除了1和它本身外，不再有别的因数，这样的数叫质数，质数都有2个因数。
0虽然能被1整除，但不能被它本身整除（0÷0无意义），故O不是质数也不是合数。
1不是质数也不是合数。
（6）为什么要引进负数？
一是人们在生产生活中经常会遇到各种相反意义的量，二是使减法运算永远可以实施。
负数的引进，是中国古代数学家对数学的一个巨大贡献。
在《九章算术》中，除了引进正负数的概念外，还完整地记载了正负数的运算法则，实际上是正负数加减法的运算法则。
如负数出现在方程的系数和常数项中，把“卖（收入钱）”作为正，则“买（付出钱）”作为负，把“余钱”作为正，则“不足钱”作为负。
刘徽第一次给出了正负区分正负数的方法。
他说：
“正算赤，负算黑；否则以邪正为异”意思是说，用红色的小棍摆出的数表示正数，用黑色的小棍摆出的数表示负数；也可以用斜摆的小棍表示负数，用正摆的小棍表示正数。
在国外，负数出现得很晚，直至公元1150年（比《九章算术》成书晚l千多年），印度人巴土卡洛首先提到了负数，而且在公元17世纪以前，许多数学家一直采取不承认的态度。
如法国大数学家韦达，尽管在代数方面作出了巨大贡献，但他在解方程时却极力回避负数，并把负根统统舍去。
有许多数学家由于把零看作“没有”，他们不能理解比“没有”还要“少”的现象，因而认为负数是“荒谬的”。
直到17世纪，笛卡儿创立了坐标系，负数获得了几何解释和实际意义，才逐渐得到了公认。
从上面可以看出，负数的引进，是我国古代数学家贡献给世界数学的一份宝贵财富。
（7）对近似数和近似值的理解
与实际数相接近的数称为近似数。
如海南省人口860万，是个近似数。
近似等于精确值的数值称为近似值。
如除法运算时，求到某一位数上四舍五入所得的数值，是商的近似值。
近似数和近似值不是一回事的。
（8）关于估算（从二上P31开始有“加减法估算”）。
小学数学的估算有三类；一是对大数目的估算，如254×196大约是多少？
；二是对日常口算、笔算的验算；三是对日常生活中一些最简单的推算，如100万张纸有多厚？
对大数目的估算：
通常用四舍五入方法保留最高位或次高位，用“凑整”的方法口算出近似数。
如上式254×196可看成大约250×200=50000。
具有现实生活背景的估算问题：
依据实际情况而定，有时估大些或估小些。
如某人要去商店买热水瓶29元，水壶44元，水杯24元，他需要大约带多少钱？
（9）为什么要规定“先乘除后加减”？
对于这个问题，我们分两层来谈。
第一层先谈谈规定运算顺序的必要性，第二层再谈谈为什么要规定“先乘除后加减”。
（1）规定运算顺序的必要性。
先举两个例子予以说明。
例1小勇买了一块橡皮，价18分，又买了3支铅笔，每支12分，一共多少钱？
综合算式18＋12×3
=18＋36
=54（分）=5角4分
根据题意，这道题先算乘法后算加法是合情合理的。
例2小春有18分钱，小敏有12分钱，小冬的钱数是他们俩人钱数之和的3倍，问小冬有多少钱？
解答这道题的时候应该先求出小春与小敏两人钱数之和，即求出（18＋12=）30分，然后再求出30分的3倍，即（30×3=）90分。
得出小冬有钱90分。
这样的解答层次，也就是说先算加法，后算乘法是符合题意的，是合情合理的。
使我们看出，在日常生活中需要先算乘法的与需要先算加法的事例都不少。
如果永远用分步式计算的话就不必规定运算顺序了。
只因为列出综合式，就得规定出前后的顺序。
（2）为什么要规定先乘除而后加减呢？
应该从法则的定义说起，乘法是相同数连加的简便算法，除法是乘法的逆运算，除法也可以看作是相同数的连减。
就以加法和乘法来说吧：
每盒乒乓球6个，王小通买了1盒，张大力买了4盒，他们俩人共买乒乓球多少个？
我们可以列出如下的算式：
6＋6×4.
由于乘法的定义是相同数的连加，如果我们把乘法再返回加法的话，那么上面的式子应改写为：
假如不怕麻烦的话，可以按照6＋6＋6＋6＋6来计算，一个一个地加，得出30个乒乓球。
再引申一步说明，乘方是相同数的连乘，它的定义是：
n个a相乘的积，叫做a的n次乘方。
我们也\\规定了在一个算式里，有第二级运算也有第三级运算的时候，应该先算第三级运算，后算第二级运算。
总之，运算顺序是由于法则本身的形成及法则之间的关系而规定的，正因为由第一级运算发展到第二级运算，由第二级运算发展到第三级运算，所以运算顺序规定为：
先三级，再二级，后一级。
4、对小学数学中的解决问题理解（解决问题与传统的应用题的区别）
（1）重视过程的教学。
应用题更多的强调尽快获得答案，而解决问题强调一个过程，就是寻求解决问题方式方法的过程。
重视解决问题的过程，寻求解决问题的方法和策略比获得一个结论本身来得更重要。
（2）不仅仅依附一个知识点。
应用题往往是结合某一个具体的知识点，例如今天讲加法，就是加法应用题，明天学乘法是乘法应用题，应用题常常是依附
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