4.函数f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2.
（1）若函数f（x）的单调递减区间是（－∞，8]，则实数a的值（或范围）是________．
（2）若函数f（x）在区间（－∞，8]上单调递减，则实数a的值（或范围）是________．
解析：
（1）因为函数f（x）的单调递减区间是（－∞，8]，且函数f（x）图象的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝8，即a＝－7.
（2）因为函数f（x）在区间（－∞，8]上单调递减，且函数f（x）图象的对称轴为直线x＝1－a，所以1－a≥8，即a≤－7.
答案：
（1）－7
（2）（－∞，－7]
函数最值的求法
[典例]
（1）（2019·厦门质检）函数f（x）＝x－log2（x＋2）在区间[－1,1]上的最大值为________．
（2）函数f（x）＝x－的最小值为________．
（3）函数y＝的值域为________．
[解析]
（1）（单调性法）由于y＝x在R上单调递减，y＝log2（x＋2）在[－1,1]上单调递增，
所以f（x）在[－1,1]上单调递减，
故f（x）在[－1,1]上的最大值为f（－1）＝3.
（2）（换元法）令＝t（t≥0），则x＝t2－1，所以y＝t2－t－1（t≥0）．又y＝t2－t－1（t≥0）的图象是对称轴为直线t＝，开口向上的抛物线的一部分，所以ymin＝2－－1＝－，故函数f（x）的最小值为－.
（3）（分离常数法）y＝＝＝3＋，
因为≠0，所以3＋≠3，
所以函数y＝的值域为{y|y∈R且y≠3}．
[答案]
（1）3
（2）－ （3）{y|y∈R且y≠3}
[方法技巧]
求解函数最值的3种常用方法
（1）单调性法：
先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
（2）换元法：
形如求y＝＋（cx＋d）（ac≠0）的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．
（3）分离常数法：
形如求y＝（ac≠0）的函数的值域或最值常用分离常数法求解．
[针对训练]
1．函数f（x）＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.
解析：
易知f（x）在[a，b]上为减函数，所以
即所以所以a＋b＝6.
答案：
6
2．函数y＝x＋的最大值为________．
解析：
由1－x2≥0，可得－1≤x≤1，可令x＝cosθ，θ∈[0，π]，则y＝cosθ＋sinθ＝sin，θ∈[0，π]，所以－1≤y≤，故原函数的最大值为.
答案：
3．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．
解析：
函数y＝
作出函数的图象如图所示．
根据图象可知，
函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞）．
答案：
[3，＋∞）
函数奇偶性的判断及应用
[典例]
（1）（2019·辽宁名校联考）函数y＝x2lg的图象（ ）
A．关于x轴对称B．关于原点对称
C．关于直线y＝x对称D．关于y轴对称
（2）（2019·武汉十校联考）若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）＋g（x）＝ex，则g（x）＝（ ）
A．ex－e－xB.（ex＋e－x）
C.（e－x－ex）D.（ex－e－x）
（3）若f（x）＝ln（e3x＋1）＋ax是偶函数，则a＝________.
[解析]
（1）记f（x）＝x2lg，定义域为（－∞，－2）∪（2，＋∞）．
∵f（－x）＝（－x）2lg＝x2lg＝－x2lg＝－f（x），
∴f（x）为奇函数，即函数y＝x2lg的图象关于原点对称．故选B.
（2）∵f（x）＋g（x）＝ex，①
∴f（－x）＋g（－x）＝e－x，
又f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），
所以f（x）－g（x）＝e－x，②
由①②解得g（x）＝.故选D.
（3）函数f（x）＝ln（e3x＋1）＋ax为偶函数，
故f（－x）＝f（x），
即ln（e－3x＋1）－ax＝ln（e3x＋1）＋ax，
化简得ln＝2ax＝lne2ax，
即＝e2ax，
整理得e2ax＋3x＝1，
所以2ax＋3x＝0，解得a＝－.
[答案]
（1）B
（2）D （3）－
[方法技巧]
应用函数奇偶性可解决的4类问题
（1）判定函数奇偶性
①定义法：
②图象法：
③性质法：
设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
（2）求解析式
先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组），从而得到f（x）的解析式．
（3）求函数解析式中参数的值
利用待定系数法求解，根据f（x）±f（－x）＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而得出参数的值．
（4）利用函数的奇偶性求值
首先判断函数解析式或解析式的一部分的奇偶性，然后结合已知条件通过化简、转换求值．
[针对训练]
1．（2019·东北名校联考）下列函数中既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的是（ ）
A．f（x）＝2x－2－xB．f（x）＝x2－1
C．f（x）＝log
|x|D．f（x）＝xsinx
解析：
选B f（x）＝2x－2－x是奇函数，故不满足条件；f（x）＝x2－1是偶函数，且在（0，＋∞）上单调递增，故满足条件；f（x）＝log
|x|是偶函数，在（0，＋∞）上单调递减，不满足条件；f（x）＝xsinx是偶函数，但是在（0，＋∞）上不单调．故选B.
2．（2019·宁波期末）若函数f（x）＝ax2＋（2a2－a－1）x＋1为偶函数，则实数a的值为________．
解析：
当a＝0时，f（x）＝－x＋1不是偶函数．当a≠0时，由偶函数的定义知2a2－a－1＝0，解得a＝1或a＝－.
答案：
1或－
3．已知函数f（x）＝asinx－btanx＋4cos，且f（－1）＝1，则f
（1）＝________.
解析：
f（x）＝asinx－btanx＋2，易知函数g（x）＝asinx－btanx是奇函数，因为f（－1）＝asin（－1）－btan（－1）＋2＝1，所以asin1－btan1＝1，则f
（1）＝asin1－btan1＋2＝3.
答案：
3
函数周期性的判断及应用
[典例] （2018·全国卷Ⅱ）已知f（x）是定义域为（－∞，＋∞）的奇函数，满足f（1－x）＝f（1＋x）．若f
（1）＝2，则f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝（ ）
A．－50B．0
C．2D．50
[解析]
（1）法一：
∵f（x）是奇函数，
∴f（－x）＝－f（x），
∴f（1－x）＝－f（x－1）．
由f（1－x）＝f（1＋x），得－f（x－1）＝f（x＋1），
∴f（x＋2）＝－f（x），
∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），
∴函数f（x）是周期为4的周期函数．
由f（x）为奇函数得f（0）＝0.
又∵f（1－x）＝f（1＋x），
∴f（x）的图象关于直线x＝1对称，
∴f
（2）＝f（0）＝0，∴f（－2）＝0.
又f
（1）＝2，∴f（－1）＝－2，
∴f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋f（4）＝f
（1）＋f
（2）＋f（－1）＋f（0）＝2＋0－2＋0＝0，
∴f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋f（4）＋…＋f（49）＋f（50）
＝0×12＋f（49）＋f（50）
＝f
（1）＋f
（2）＝2＋0＝2.
法二：
由题意可设f（x）＝2sin，作出f（x）的部分图象如图所示．由图可知，f（x）的一个周期为4，所以f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝12[f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋f（4）]＋f（49）＋f（50）＝12×0＋f
（1）＋f
（2）＝2.
[答案] C
[方法技巧]
函数周期性问题的求解策略
（1）判断函数的周期只需证明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
（2）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：
若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是函数的周期．
[口诀记忆]
周期函数有特征，图象重复记心中；
图象若见两对称，隐藏周期查分明．
[针对训练]
1．函数f（x）满足f（x＋1）＝－f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1－x），则f的值为（ ）
A.B.
C．－D．－
解析：
选A ∵f（x＋1）＝－f（x），∴f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），即函数f（x）的周期为2.∴f＝f＝f＝2××＝.
2．（2019·东北三省四市一模）已知函数f（x）满足f（x＋1）＝，当f
（1）＝2时，f（2018）＋f（2019）的值为________．
解析：
由f（x＋1）＝，f
（1）＝2，
得f
（2）＝－3，f（3）＝－，f（4）＝，f（5）＝2，f（6）＝－3，f（7）＝－，∴f（x＋4）＝f（x），
即f（x）是以4为周期的周期函数，
∴f（2018）＋f（2019）＝f
（2）＋f（3）＝－.
答案：
－
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