一元一次不等式与不等式组.docx

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一元一次不等式与不等式组

第一章一元一次不等式和一元一次不等式组

1．1不等关系

【学习目标】

1．理解不等式的意义．

2．能根据条件列出不等式．

3．通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力．

【预习设计】

1．用__________连接的式子叫做不等式，“大于”用表示，“小于”用表示，“不大于”可用_____表示，“不小于”可用______表示．

2．在下列各题中的空格处，填上适当的不等号

（1）-2________1

（2）（-1）2________（-2）2（3）

（4）-0．31________

（5）4x2+1________0（6）-x2________0

【学习探究】

一、学前准备

常见的不等式语言：

（1）x>0则x是正数；

（2）x<0则x是负数；（3）x≥0则x是非负数；

（4）x-y>0则x大于y；（5）x-y<0则x小于y；（6）x≥y则x不小于y

（7）x≤y则x不大于y；（8）xy>0则x、y同号；（9）xy<0则x、y异号．

二、师生互动

1．用不等式表示

（1）a是正数；____________________

（2）a是负数；___________________

（3）a与6的和小于5；_____________（4）x与2的差小于-1；___________

（5）x的4倍大于7；________________（6）y的一半小于3．___________

2．a,b两个实数在数轴上的对应点如图所示：

用“＜”或“＞”号填空：

（1）a__________b;

（2）|a|__________|b|;

（3）a+b__________0;（4）a-b__________0;

（5）a+b__________a-b;（6）ab__________a．

三、训练测评

1．用不等式表示：

（1）x的

与5的差小于1；_____________________________________

（2）x与6的和大于9；_________________________________________

（3）8与y的2倍的和是正数；__________________________________

（4）a的3倍与7的差是负数；__________________________________

（5）x的4倍大于x的3倍与7的差；____________________________

（6）x的

与1的和小于-2；____________________________________

（7）x与8的差的

不大于0．_________________________________

2．（应用、探究）如图，用两根长度均为lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆

（1）如果要使正方形的面积不大于25cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？

（2）如果要使圆的面积不小于100cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式？

（3）当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？

l=12呢？

（4）你能得到什么猜想？

改变l的取值，再试一试．

四、拓展延伸

通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄．通常规定以树干离地面1．5m的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约为3cm．这棵树至少生长多少年其树围才能超过2．4m？

（只列关系式）．

【课后反思】

1．2不等式的基本性质

【学习目标】

1．理解掌握不等式的两条基本性质，尤其是不等式的基本性质2；

2．灵活运用不等式的基本性质进行不等式变形．

3．培养运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力；通过不等式基本性质的学习，认识不等式所具有的内在同解变形的数学美，陶冶自己的数学情操．

【预习设计】

用__________连接而成的式子叫做不等式，不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等式的方向_________．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向_______．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向__________．

【学习探究】

一、学前准备

等式的两边都加上或都减去_______________，结果仍是等式，等式两边都乘以或除以_____________，结果仍是等式．

二、师生互动

（一）自学、相信自己

（1）用“＞”或“＜”填空．

①7＋3____4＋3　　　②7＋（－3）____4＋（－3）

③7×3____4×3　　　④7×（－3）____4×（－3）

（2）上述不等式中哪题的不等号与7＞4一致？

_______________________

（3）观察③④题，并将题中的3换成5，-3换成-5，按题的要求再做一遍，并猜想讨论出结论．（不等式的基本性质）

①_______________________________________________________

②________________________________________________________

（4）根据所得结论填空：

①若a＞b，则a＋c____b＋c，a-c____b-c；

②若a＞b，且c＞0，则ac_____bc，

______

；

③若a＞b，且c＜0，则ac_____bc，

______

；

（5）把上题中的“a＞b”改成“a＜b”答案又分别是什么？

“c”可以为0吗？

为什么？

（二）思索、交流

1、尝试反馈，巩固知识

（1）不等式的性质与等式的性质有什么相同点、不同点？

（2）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x>a或x

①x－2＜3　____________________②6x＜5x－1_______________

③

＞5________________________④－4x＞3_________________

（3）设a＞b，用"＜"或"＞"填空．

①a－3______a－3②

_____

③-4a____-4b

2、变式训练，培养能力

（1）用“＞”或“＜”在横线上填空，并在题后括号内填写理由．（不等式基本性质1，2分别用A、B表示．）

①∵a>b∴a-4b-4（）　②∵a>b∴4a>4b（）

③∵-

<-

∴a2b（）　④∵a-1<0∴a（）

★（注意）当不等式两边同乘（或除以）同一个数时，一定要看清是正数还是负数，对于未给定范围的字母，应分情况讨论．

三、训练测评

一、用“>”或“<”填空，并在题后括号内注明理由：

（1）∵a>b

∴a－m________b－m（）

（2）∵a>2b

∴

________b（）

（3）∵3m>5n

∴－m________－

（）

（4）∵4a>5a

∴a________0（）

（5）∵－

<-

∴m________2n（）

（6）∵2x－1<9

∴x________5（）

二、下列说法正确吗？

正确的在括号里打“√”，不正确的打“×”，并说明理由。

（1）若a

（2）若b<0，则a－b>a．（）

（3）若x>y,则x2>y2．（）

（4）若x2>y2,则x－2>y－2．（）

（5）3a一定比2a大．（）

三、认真选一选

（1）若m+pm,则m、p满足的不等式是（）

A．m

（2）已知x>y且xy<0,a为任意实数，下列式子正确的是（）

A．－x>yB．a2x>a2yC．a－x－y

（3）实数a、b满足a+b>0,ab<0,则下列不等式正确的是（）

A．|a|>|b|B．|a|<|b|

C．当a<0,b>0时，|a|>|b|D．当a>0,b<0时，|a|>|b|

四、拓展延伸

1．某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x元；下午，他又买了20斤，价格为每斤y元，后来他以每斤

元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（）

A．xyC．x≤yD．x≥y

2．某数学参考资料上有这样一段叙述：

“要比较a与b的大小，可先求出a与b的差，再看这个数是正数、负数还是零“由此可见，要比较两个代数式的值的大小，只要考查它们的差就可以了，应用这种方法比较

的大小。

【课后反思】

1．3不等式的解集

【学习目标】

1．正确理解不等式的解，不等式的解集，解不等式等概念，掌握在数轴上表示不等式的解的集合的方法；

2．培养观察、分析、比较的能力，并初步掌握对比的思想方法；

3．在本节课的学习过程中，渗透数形结合的思想，并初步学会运用数形结合的观点去分析问题、解决问题．

【预习设计】

1．x=3能满足2x－1．5≥15吗？

___________________________________________

2．_________叫做不等式的解；__________叫做解不等式；不等式的解集：

．

3．不等式的解集的表示方法：

①；②。

【学习探究】

一、学前准备

1．不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的__________；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向__________．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向__________．

2．规定了__________、__________、__________的直线叫做数轴，数轴上的点与实数之间是__________的关系．

二、师生互动

（一）尝试反馈，巩固知识

（1）不等式的解集x<3与x≤3有什么不同？

在数轴上表示它们时怎样区别？

分别在数轴上把这两个解集表示出来．

（2）在不同的数轴上表示下列不等式的解集．

①x>3　②x≥-0．5　③x<0　④-1

（3）指出不等式x+3≥6的解集，并在数轴上表示出来．

（二）应用、探究

（1）用不等式表示图中所示的解集．

（2）用简明语言叙述下列不等式表示什么数：

①x＞0______________________；②x＜0________________________；

③x＞－1______________________；④x≤－1______________________．

（3）在数轴上表示下列不等式的解集：

①x＞3；②x≥－1；③x≤－1．5；

三、训练测评

1．下列说法错误的是（）

A．－3x>9的解集为x<－3B．不等式2x>－1的整数解有无数多个

C．－2是不等式3x<－4的解D．不等式x>－5的负整数解有无数多个

2．如图表示的是以下哪个不等式的解集（）

A．x>－1B．x<－1

C．x≥－1D．x≤－1

3．不等式－3≤x<2的整数解的个数是（）

A．4个B．5个C．6个D．无数个

4．如果3+2x是正数，则x的取值范围是________，如果3+2x是非负数，则x的取值范围是________．

5．不等式|x|<

的整数解是________．

6．x的3倍不大于－8，用不等式表示为________，其解集是________．

7．使不等式x>－

且x<2同时成立的整数x的值是________．

8．请在数轴上表示下列不等式的解集

（1）x≥0

（2）x<－2．5（3）－2

四、拓展延伸

1．不等式的解集中是否一定有无限多个数？

不等式|x|≤0、x2＜0的解集是什么？

不等式x2＞0和x2+4＞0的解集分别又是什么？

2．已知－4是不等式ax＞9的解集中的一个值，试求a的取值范围．

3．已知关于x的方程4（3-2x）+3a+2=7-4a-3（x-5）的解不比2a+1小，求a的取值范围，并在数轴上表示出来。

【课后反思】

1．4一元一次不等式

【学习目标】

学习一元一次不等式的概念及解法．

【预习设计】

1．经过、、、等变形后，能化为最简形式

或，其中x是未知数，a,b是已知数，并且a≠0，它，并且未知数的次数是，系数是，这样的不等式叫做．

2．一元一次不等式和一元一次方程的异同点．

相同点：

不同点：

3．一元一次不等式的一般形式：

【学习探究】

一、学前准备

1．一元一次方程：

只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程．

2．不等式：

一般地，用符号“<”或“≤”，“>”或“≥”,连接的式子叫不等式．

3．不等式的解：

使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．

4．不等式的解集：

一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．

5．一元一次方程的解法：

一元一次方程一般按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行，但具体的一元一次方程要根据本身特点而定．

6．不等式解集的表示方法：

①用不等式表示；②用数轴表示

二、师生互动

知识点一：

一元一次不等式的概念．

例1：

下列各式中，哪些是一元一次不等式？

（1）x+y>5;

（2）

+3<2;（3）2x（3x+1）>6x2-5x;（4）2（

-1）≤5+3x．

变式练习：

（1）下列各式中，是一元一次不等式的是（）

A．2x-y<1B．x+-x>3C．

D．

知识点2：

解一元一次不等式．

（2）当k=时，不等式（k-2）x|k|-1+3<5是关于x的一元一次不等式．

例2：

解不等式

并把它的解集表示在数轴上．

变式练习：

解不等式

，并把它的解集表示在数轴上．

小结：

解一元一次不等式的步骤．

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1；⑥按要求在数轴上表示解集．

例3：

已知不等式

求m的值．

变式练习：

当k满足什么条件时，关于x的方程

的解是非负数？

例4：

某工厂计划7天内生产1580台机器，前两天平均每天生产250台，现在要求至少比原计划提前两天完成任务，则以后每天至少要生产多少台机器？

变式练习：

某水果批发市场规定，批发苹果不少于1000kg时，可享受每千克2．2元的最优惠批发价，个体水果经营户小王带x元到该批发市场，除留200元作生活费外，全部以最优惠批发价买进苹果，用不等式表示问题中x与已知数量间的不等关系，并求出x的最小值．

三、训练测评

1．下列不等式中，是一元一次不等式的是（）

A．

C．xy+1>0D．

>2x-4

2．使不等式x+2>-5x-7成立的最小整数是（）

A．-1B．0C．1D．-2

3．已知3xm-2-2m>0是关于x的一元一次不等式，则m=，该不等式的解集为．

4．当k为何值时，关于x的方程kx+1=2x-1的解是正数？

5．解不等式：

三、拓展延伸

市政公司为绿化建设路风景带，计划购买甲、乙两种树苗共600株，甲种树苗每株50元，乙种树苗每株70元，有关统计表明，甲、乙两种树苗的成活率分别为80%和95%．（注：

成活率=

×100%．）

（1）若购买树苗的钱不超过40000元，应如何选购甲、乙两种树苗？

（2）若希望这批树苗的成活率不低于90%，且购买树苗的费用最低，应如何选项甲、乙两种树苗？

并求出最低费用是多少元？

【课后反思】

1．5一元一次不等式和一次函数

【学习目标】

1．学习一次函数y=kx+b（k≠0）的图象及性质．

2．学习一次函数，一元一次方程和一元一次不等式之间的关系．

【预习设计】

1．作出函数y=2x-4的图象，由图象可知：

当x时，2x-4=0，当x时，2x-4>0；当x时，2x-4<0．

2．已知一次函数y1=-x+3与y2=2x-1，它们的图象的交点横坐标是，当x时，y1>y2，当x时，y1

【学习探究】

一、学前准备

1．一元一次方程：

只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程．

2．一次函数：

如果y=kx+b（k,b是常数且k≠0），那么y就叫做x的一次函数．

3．一元一次不等式：

只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式．

二、师生互动

知识点一：

求自变量取值范围．

例1：

当x为什么值时，一次函数y=3x+12的值

（1）是正数；

（2）是负数；（3）是零？

变式练习：

当x取什么值时，一次函数

的值，不大于一次函数

的值．

知识点2：

一次函数的图象的应用．

例2：

某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，右图表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：

（1）求y1与y2的函数解析式；

（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？

（3）如何你是推销员，应如何选择付费方式？

变式练习：

某航空公司托运行李的费用y（元）与托运行李的质量x（千克）的关系式为一次函数，其图象如图所示，由图象可知：

行李的质量只要不超过千克就可以免费托运，如果托运费超过100元，则其行李的质量超过千克．

例3：

东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠办法：

甲：

买一支毛笔就赠送一本书法练习本；

乙：

按购买金额打九折付款．

某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x（x≥10）本，

（1）写出两种优惠办法实际付款金额y甲（元）、y乙（元）与x（本）之间的函数关系式；

（2）比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱。

（3）比较购买允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种笔毛10支和书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案．

变式练习：

某商场计划投入一笔资金采购一批畅销商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元，请问根据商场投入的资金状况分析如何运作获利最多？

三、训练测评

1．如图所示，已知函数y=-2x+4，观察函数图象回答下列问题：

（1）当x时，y>0;

（2）当x时，y<0;

（3）当x时，y=0;

（4）当x时，y>4．

2．某单位准备和一个体车主或一国有出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，个体车主收费y1元，国有出租车公司收费为y2元，观察右图可知，当x时，选用个体车较合算．

3．已知个人纳税额y（元）与工资、薪金收入x（元）的关系式为

0（0≤x≤1600）,

y=（x-1600）×5%（1600

（x-1600）×10%-25（2100

若张叔叔四月份的工资、薪金收入为3200元，则他应纳税元．

4．当x为何值时，一次函数y=-x+3的值大于一次函数y=3x-2的值？

5．为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中，所使用的“便民卡”与“如意卡”在玉溪市范围内每月（30天）的通话时间x（min）与通话费y（元）的关系如图所示．

（1）分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式；

（2）请帮用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜．

四、拓展延伸

在购买某足球赛门票时，设购买门票数为x（张），总费用为y（元），现有两种购买方案：

方案一：

若单位赞助广告费10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元（总费用=广告赞助费+门票费）；

方案二：

购买门票方式如右图所示．

解答下列问题：

（1）方案一中，y与x的函数关系式为；

方案二中，当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为，当x>100时，y与x的函数关系式为．

（2）如果购买本场足球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？

请说明理由；

（3）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张，花去总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张．

【课后反思】

1．6一元一次不等式组

（一）

【学习目标】

1．学习一元一次不等式组的概念及不等式组解集的概念．

2．学习掌握不等式组解集的求法．

【预习设计】

1．关于的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．

2．一元一次不等式组里各个不等式的解集的叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程叫做．

【学习探究】

一、课前准备

1．一元一次不等式：

只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式．

2．一次函数：

如果y=kx+b（k,b是常数，且k≠0）,那么y就叫做x的一次函数．

3．方程组：

一般地，几个有相同未知数的方程合在一起，就组成方程组．

填表：

不等式组

x-1>0

x+2>0

x-1<0

x+2<0

x-1<0

x+2>0

x-1>0

x+2<0

数轴表示

解集

小结：

不等式组解集的求法．

①先分别求出各个不等式的解集；②再求各个不等式解集的公共部分；③求不等式解集时，遵循规律“同大取大，同小取小，大小、小大中间找，小小大大找不到．”

二、师生互动

知识点一：

解一元一次不等式组

例1：

解不等式组

并把它们的解集在数轴上表示出来．

变式练习：

解不等式组：

2x+1≤x+5<3x+4

例2：

已知x=1是不等式组

的解，求整数a的值．

变式练习：

已知整数x满足不等式3x-4≤6x-2和不等式

，并且满足方程3（x+a）-5a+2=0，求a的值．

三、训练测评

解下列不等式组

（1）-2<3x+1<7

（2）-3<

<2

（3）

（4）

（5）

（6）

四、拓展延伸

已知方程组

的解是正数，

（1）求m的取值范围；

（2）化简|3m-1|+|m-2|．

【课后反思】

1．6一元一次不等式组

（二）

【学习目标】

学习一元一次方程组的应用．

【预习设计】

1．已知三角形的三边长分别为3，x，5，则x的取值范围是．

2．用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不空也不满，那么，一共有汽车辆．

【预习过程】

一、学前准备

1．一元一次不等式组：

一般地，关于同一个未知数的n个不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．

2．不等式组的解集：

构成一元一次不等式组中所有不等式的公共解集．

二、师生互动

例1：

某工人制造机器零件，如果每天比预定的多做一件，那么8天所做的零件超过100件；如果每天比预定的少做一件，那么8天所做的零件数不到90件，问这个工人预定每天做几个零件？

变式练习：

甲以5km/h的速度慢跑进行有氧体育锻炼2h后，乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶甲，根据他们两人的约定，乙最快不早于1h追上甲，最慢不晚于1h15min追上甲，那么乙骑车的速度应控制在什么范围内？

例2：

幼儿园某班有玩具若干件，分给小朋友，如果每人分3件，那么还余57件；如果每人分6件，那么最后一个人不够6件，求这个幼儿园有多少件玩具？

有多少个小朋友？

变式练习：

某校九年级同学考试结束后要去旅游，需要