一元二次方程的实际应用教学案.docx

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一元二次方程的实际应用教学案

第08讲一元二次方程的实际应用

适用学科

初中数学

适用年级

初中三年级

适用区域

全国

课时时长（分钟）

120分钟

知识点

1.一元二次方程解应用题的步骤

2.增长率问题公式

3.面积问题

4.利润问题

5.“每每”问题

6.储蓄问题

教学目标

1.掌握列方程解应用题的步骤和关键

2.经历分析具体问题中的数量关系,建立方程模型解决问题的过程,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解实际问题的重要性

3.通过探究性学习,抓住问题的关键，揭示它的规律性，展示解题的简洁性的数学美.

教学重点

1.列一元二次方程解决实际问题

2.审题，从文字语言中挖掘有价值的信息.

教学难点

找出实际问题中的等量关系

教学过程

一、复习预习

我们已经学习了一元二次方程的定义和四种解法，下面我们一块来复习一下：

1.用直接开平方法解方程

，得方程的根为（）

A.

B.

C.

D.

2.方程

的根是（）

A．0B．1C．0，－1D．0，1

3.设

的两根为

，且

＞

，则

＝。

4.已知关于

的方程

的一个根是－2，那么

＝。

5.

＝

今天我们将继续学习列方程解应用题。

大家先来看这样一道题：

某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?

在一次数学检测中,赵亮对下道应用题的解答过程如下:

解:

设每件衬衫应降价x元,则每件所获得的利润为（40－x）元,但每天可多销出2x件,每天可卖（20+2x）件,根据题意可列方程:

（40－x）（20+2x）=1200

x2－30x+200=0

解得:

x2=20x2=10

答:

若商场每天要盈利1200元,每件应降价10元或20元.

当试卷发下时,赵亮发现本题被扣去1分,他百思不得其解,为什么要扣去1分呢?

你能帮赵亮同学找找原因吗?

当降价20元或10元时,每天都能盈利1200元,因要尽量减少库存,在获利相同条件下,降价愈多,销售越快,才能满足题目中的要尽量减少库存的要求,故应选择每件降价20元.因而列方程解应用题时应认真审题,不能漏掉任何一个条件，所以我们今天就来具体学习一下列方程解应用题。

二、知识讲解

1．列一元二次方程解应用题的一般步骤是：

“审、设、列、解、答”．

（1）“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；

（2）“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；

（3）“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；

（4）“解”就是求出所列方程的解；

（5）“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．

2.数与数字的关系:

两位数=（十位数字）×10＋个位数字

三位数=（百位数字）×100＋（十位数字）×10＋个位数字

3.翻一番

翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍．

4.增长率问题

（1）增长率问题的有关公式：

增长数=基数×增长率实际数=基数＋增长数

（2）两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：

原来的×（1＋增长率）增长期数=后来的m（1+x）2＝n（m＜n）.

如果是下降率则为：

原来的×（1－增长率）下降期数=后来的m（1－x）2＝n（m＞n）.

5.经济问题常用的公式：

（1）利润=售价-进价；

（2）售价=标价×折扣；

（3）利润率=利润÷进价×100%.

6.列方程解应用题的关键

（1）审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；

（2）设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．

考点/易错点1

要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系.

考点/易错点2

由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的.

三、例题精析

【例题1】

【题干】恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.

【答案】解:

设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200（1－20%）（1+x）2＝193.6，

即（1+x）2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.

答:

这两个月的平均增长率是10%.

【解析】这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m（1+x）2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m（1－x）2＝n即可求解，其中m＞n.

【变式练习】

【题干】某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000

，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率．

【答案】解：

设南瓜亩产量的增长率为

，则种植面积的增长率为

．根据题意，得

．

解这个方程，得

，

（不合题意，舍去）．

答：

南瓜亩产量的增长率为

．

【解析】根据增长后的产量=增长前的产量（1+增长率），设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，列出方程求解．

【例题2】

【题干】益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？

每件商品应定价多少？

【答案】解:

根据题意，得（a－21）（350－10a）＝400，整理，得a2－56a+775＝0，

解这个方程，得a1＝25，a2＝31.

因为21×（1+20%）＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去.

所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.

答:

需要进货100件，每件商品应定价25元.

【解析】商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点,根据：

每件盈利×销售件数=总盈利额；其中，每件盈利=每件售价-每件进价,建立等量关系.

【例题3】

【题干】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）

【答案】解:

设第一次存款时的年利率为x,则根据题意，得

[1000（1+x）－500]（1+0.9x）＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.

解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.

由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去.

答:

第一次存款的年利率约是2.04%.

【解析】储蓄问题关键是掌握公式：

本息和=本金×（1+利率×期数）,这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.

【例题4】

【题干】某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?

【答案】解：

设每张贺年卡应降价x元

则（0.3-x）（500+

）=120

解得：

x=0.1

答：

每张贺年卡应降价0.1元．

【解析】本题是“每每问题”，得到每降价x元多卖出的贺年卡张数是解决本题的难点，根据利润得到相应的等量关系是解决本题的关键．

【变式练习】

【题干】商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：

（1）当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品？

商场获得的日盈利是多少？

（2）在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？

（提示：

盈利＝售价－进价）

【答案】解：

（1）当每件商品售价为170元时，比每件商品售价130元高出40元，

即

（元），　　

则每天可销售商品30件，即

（件）

商场可获日盈利为

（元）　

（2）设商场日盈利达到1600元时，每件商品售价为

元，则每件商品比130元高出

元，每件可盈利

元,每日销售商品为

（件）　

依题意得方程

整理，得　

　　即

解得

　答：

每件商品售价为160元时，商场日盈利达到1600元．

【解析】解与变化率有关的实际问题时：

（1）注意变化率所依据的变化规律，找出所含明显或隐含的等量关系；

（2）可直接套公式：

原有量×（1+增长率）n=现有量，n表示增长的次数．

【例题5】

【题干】如图，有一块长80cm，宽60cm的硬纸片，在四个角各剪去一个同样的小正方形，用剩余部分做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子.求剪去的小正方形的边长.

【答案】解：

设截去的小正方形的边长为

cm，则

整理，得

解得

因为

，所以

不合题意，舍去

所以

答：

截去的小正方形的边长为15cm

【解析】用到的知识点是长方形的面积公式、解一元二次方程，注意把不合题意的解舍去．

【例题6】

【题干】一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。

【答案】23或32

【解析】解：

设原两位数的十位数字为

，则个位数字为

.根据题意，得

整理后，得

解方程，得

当

时，

，两位数为23；

当

时，

，两位数为32

答：

原来的两位数为23或32

四、课堂运用

【基础】

1.为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为

，则下列方程正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，然后用x表示2008年的投入，再根据“2008年投入3600万元”可得出方程．

2.某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？

【答案】解：

设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．

那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31

把（1+x）当成一个数，配方得：

（1+x+

）2=2.56，即（x+

）2=2．56

x+

=±1.6，即x+

=1.6，x+

=-1.6

方程的根为x1=10%，x2=-3.1

因为增长率为正数，

所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．

【解析】设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．

3.印度古算中有这样一首诗：

“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．

大意是说：

一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的

的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？

你能列出方程这个问题吗？

【答案】解：

设总共有x只猴子，根据题意，得：

x=（

x）2+12

整理得：

x2-64x+768=0

【解析】找出等量关系.

【巩固】

1.一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？

【答案】解：

设渠道的深度为xm，那么渠底宽为（x+0.1）m，上口宽为（x+0.1+1.4）m.

则根据题意，得

（x+0.1+x+1.4+0.1）·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0.

解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1.

所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.

答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.

【解析】求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.

2.读诗词解题：

（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.

大江东去浪淘尽，千古风流数人物；

而立之年督东吴，早逝英年两位数；

十位恰小个位三，个位平方与寿符；

哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

【答案】解：

设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.

则根据题意，得x2＝10（x－3）+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x＝6.

当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；

当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.

答：

周瑜去世的年龄为36岁.

【解析】本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真体会.

3.乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是学校．2005年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2007年校舍改造的投入资金是8058.9万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为

，则根据题意可列方程为．

【答案】

【解析】本题可根据增长率的一般规律找到关键描述语，列出方程；增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．

【拔高】

1.象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.

【答案】解：

设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与（n－1）个选手比赛一局，共计n（n－1）局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为

n（n－1）局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n（n－1）分.显然（n－1）与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n（n－1）＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）.

答：

参加比赛的选手共有45人.

【解析】类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.

2.某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大？

【答案】解：

（1）商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．

（2）乙种贺年卡：

设每张乙种贺年卡应降价y元，

则：

（0.75-y）（200+

×34）=120

即（

-y）（200+136y）=120

整理：

得68y2+49y-15=0

y=

∴y≈-0.98（不符题意，应舍去）

y≈0.23元

答：

乙种贺年卡每张降价的绝对量大．

【解析】等量关系为：

（原来每张贺年卡盈利-降价的价格）×（原来售出的张数+增加的张数）=120，把相关数值代入求得正数解即可．

课程小结

1.列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.

2.列一元二次方程解应用题的关键是：

找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.

课后作业

【基础】

1.某中学准备建一个面积为

的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短

．设游泳池的长为

，则可列方程（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】本题可根据矩形面积=长×宽，找出关键语来列出方程．

2.某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率？

【答案】解：

设平均增长率为x

则200+200（1+x）+200（1+x）2=950

整理，得：

x2+3x-1.75=0

解得：

x=50%

答：

所求的增长率为50%．

【解析】设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系．

3.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率?

【答案】解：

设这种存款方式的年利率为x

则：

1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320

整理，得：

1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0

解得：

x1=-2（不符，舍去），x2=

=0.125=12.5%

答：

所求的年利率是12．5%．

【解析】设这种存款方式的年利率为x，根据利息=本金×利率×时间就可以建立等量关系，求出其解就可以了．

4.某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：

．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为（元），解答下列问题：

（1）求与的关系式；

（2）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？

【答案】解：

（1）

，

与

的关系式为：

．

（2）当

时，可得方程

．

解这个方程，得

，

根据题意，

不合题意应舍去．

当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元．

【解析】

（1）利用每千克销售利润×销售量=总销售利润列出函数关系式，整理即可解答；

（2）利用配方法可求最值；

（3）把函数值代入，解一元二次方程解决问题．

【巩固】

1.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率?

【答案】解：

设每年人均住房面积增长率为x,有题意得：

10（1+x）2=14.4

（1+x）2=1.44

直接开平方，得1+x=±1.2

即1+x=1.2，1+x=-1.2

所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．

答：

每年人均住房面积增长率应为20%．

【解析】熟记增长率问题公式.

2.某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：

若每件售价a元，则可卖出（320-10a）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%．如果商店计划要获利400元，则每件商品的售价应定为多少元？

需要卖出这种商品多少件？

（每件商品的利润=售价-进货价）

【答案】解：

设每件商品的售价定为a元，

则（a-18）（320-10a）=400，

整理得a2-50a+616=0，

∴a1=22，a2=28

∵18（1+25%）=22.5，而28＞22.5

∴a=22．

卖出商品的件数为320-10×22=100．

答：

每件商品的售价应定为22元，需要卖出这种商品100件．

【解析】可根据关键语“若每件售价a元，则每件盈利（a-18）元，则可卖出（320-10a）件”，根据每件的盈利×销售的件数=获利，即可列出方程求解．

3.春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：

如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元．

如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元．

某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元．请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

【答案】解：

设该单位这次共有

名员工去天水湾风景区旅游．

因为

，所以员工人数一定超过25人．

可得方程

．

整理，得

，

解得

．

当

时，

，故舍去

；

当

时，

，符合题意．

答：

该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游．

【解析】此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．

【拔高】

1.如图（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．

（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．

（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6cm2．（友情提示：

过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则：

）

【答案】解：

（1）设x秒，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ的面积为8cm2．

则：

（6-x）·2x=8

整理，得：

x2-6x+8=0

解得：

x1=2，