小学五年级奥数教程.docx
《小学五年级奥数教程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学五年级奥数教程.docx（29页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
小学五年级奥数教程
第一讲奇妙的幻方………………………………………………3
练习卷……………………………………………….……9
第二讲可能性的大小（游戏与对策）…………………………10
练习卷…………………………………………………12
第三讲图形的面积
（一）………………………………………13
第四讲认识分数…………………………………………………17
练习卷……………………………………………………21
第五讲行程中的相遇（相遇问题）……………………………22
练习卷……………………………………………………26
第六讲公因数与公倍数…………………………………………27
综合演练…………………………………………………….…31
第一讲幻方（第一课时）
【知识概述】
在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。
幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。
（n是几就表示为几阶幻方）。
本讲，我们将来学习这方面的知识。
例题讲学
例1在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。
可以怎样填？
【和为15】
【思路分析】
这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀：
二、四为肩，六、八为足，
左七右三，戴九履一，五为中央。
【注：
戴指头，履指脚。
】
试试填一填吧！
幻方（第二课时）
知识概述：
上一讲中，我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。
例题：
在一个5×5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。
先试试看！
看样子，要想顺利填写好这么多的表格，还真的不容易，没有口诀真的不行，下面这个口诀要记牢：
一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。
29
1
8
5
7
4
6
10
10
3
11
2
9
你能按顺序继续写下去吗？
试试看吧！
幻方（第三课时）
根据上讲中的方法，把口诀运用到所有的奇数幻方中，可以继续填写七阶幻方、九阶幻方、十一阶幻方……，本讲，我们继续试着填写七阶幻方和九阶幻方。
【思路点拨】
再来重温一下口诀吧！
一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。
1
4
3
2
①把1-49这49个数字填入下面方格内，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等。
②把1-81这81个数字填入下面表方格内，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等。
幻方（第四课时）
上面三讲我们学习了奇数幻方的填法，那么偶数幻方该怎样填呢？
下面这节课我们将来学习四阶幻方的填法。
例题讲学
将1-16这16个数填入下面这个4×4的方格内，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等。
【思路点拨】
首先，偶数幻方的填写不像奇数幻方那样有规律，它的填写要求是：
调换（数与数间的调换）先把1-16这16个数按顺序填好。
如：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
第二步：
画两条对角线，把对角线所划住的数字不动。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
第三步：
把对角线没划住的地方的数字进行交叉调换。
215，
314,512,89，最后形成新的方格。
1
15
14
4
12
6
7
9
8
10
11
5
13
3
2
16
幻方（第五课时）
知识概述
对于幻方中偶数幻方的知识，是非常多的，至于八阶幻方，十二阶幻方等是四的倍数的幻方有统一的方法与技巧：
偶阶幻方分两类:
双偶数:
四阶幻方，八阶幻方、十二阶幻方,....,4K阶幻方，（K表示一个非零自然数）
可用<对称交换法>,方法很简单:
1）把自然数依次排成方阵
2）把幻方划成4×4的小区,每个小区划对角线,
3）把这些对角线所划到的数,保持不动,
4）把没划到的数,按幻方的中心,以中心对称的方式,进行对调,【与4×4幻方的方法一样】
5）幻方完成!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
现在试着完成一下八阶幻方吧
你能否再按照上述方法完成一个十二阶幻方呢？
同步精练：
把1-144这144个数填入12×12的方格内，使其成为一个十二阶幻方。
恭喜你顺利完成了考验！
练习卷
按要求填写幻方：
1、三阶幻方
2、四阶幻方
3、五阶幻方
4、七阶幻方
5、八阶幻方
6、九阶幻方
第二讲可能性的大小（游戏与对策）
例题讲学
例1有一堆棋子共53颗，甲、乙两人轮流从中拿走1颗或2颗棋子。
规定谁拿走最后1颗棋子，谁就获胜。
如果甲先拿，那么他有没有获胜的策略？
【思路点拨】
由于甲、乙两人轮流从中拿走1颗或2颗棋子，即每次保证两人共拿走1+2=3颗，53颗共要取53÷3=17（次）……2（颗），即要保证甲先取获胜，那么甲应先取余下的那2颗。
这样下面轮流时，甲只需要与乙拿的总和是3就必胜无疑了。
关键看两个人拿的时候最多合拿几个，然后再看看剩余几个，就把那剩余的先拿走，这样先拿的人就容易取胜了。
同步精练
1、有287个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛，比赛规则是：
甲、乙两人轮流取，每人每次最多取2个，最少取1个，取最后一个球的人为胜利者。
甲要想获胜，他应该如何安排？
2、有388个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛。
比赛的规则是：
甲乙轮流取，每人每次取1个、2个、或3个，取最后一个球的人为失败者。
如果甲先取，甲为了取胜，他应该采取怎样的策略？
3、有197粒棋子，甲乙二人分别轮流取棋子，每次至少取1个，最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的为胜者，现在两人通过抽签决定谁先取？
你认为先取的获胜，还是后取的获胜？
第二讲可能性的大小（游戏与对策）
第二课时
例2有两堆火柴，一对26根，一堆11根。
甲乙两人轮流从中拿走1根或几根，甚至一堆，但每次都只能在一堆里拿火柴，谁拿走最后一根算谁赢，问甲如何取胜？
【思路点拨】这是另一类对策游戏。
我们先考虑特殊情况。
当两堆的火柴根数相同时，后取者只要根据先取者的取法，在另一堆里取相同的根数，就能保证取到最后一根。
对一般情况，可设法将它转化为特殊情况，所以要先取走多的那几根就行了。
同步精练
1、有两个箱子分别装有63、108个球。
甲、乙二人轮流在任意一个箱子中任意取球。
规定取到最后一个球的为胜者。
甲先取，他应如何才能获胜？
2、取两堆石子，游戏双方理你从其中的任意一堆拿走一粒或几粒石子（甚至可以把这堆石子一次拿走完），但每次至少拿1粒，不准同时在两堆中拿，谁拿最后一粒谁就获胜，问如何才能取胜？
3、下面是个圆形，两人轮流在圆形中画规定了大小的△，没人每次画一个△，所画的△不能与已画的相交或重叠，圆形总有被画满的时候，谁画最后一个△，谁就获胜。
如何才能获胜？
练习卷
1、有一枚骰子，六个面分别写着1-6六个数，两次掷这枚骰子，将两次朝上的面上的数相加，和的个位数字最大的可能性是（）。
2、有102粒纽扣，两个人轮流从中取几粒，每人至少取1粒，最多取4粒，谁取到最后一粒，就算谁输。
问保证一定获胜的策略是什么？
3、桌面上有199根火柴，甲、乙两人轮流地取1根或2根，谁取到最后一根火柴为胜，问获胜的策略是什么？
4、王叔叔体重75千克，他从地里摘了2筐西瓜，每筐35千克，王叔叔回家要经过一座小桥，小桥只能载重100千克，请你给他想个办法，让他和西瓜一次安全地过河去。
5、一笔画出（笔尖不离开纸）由四条线段连接而成的折线，把下面九个点串起来，你能做到吗？
第三讲图形的面积
（一）
第一课时
例题讲学
例1已知平行四边形的面积是28平方厘米，求阴影部分的面积。
5厘米
4厘米
【思路点拨】
4厘米既是平行四边形的高，也是阴影三角形的高，平行四边形的面积是28平方厘米，它的底为28÷4=7（厘米），平行四边形的底减去5厘米就是三角形的底，7-5=2（厘米）。
根据三角形的面积公式直接求出阴影部分的面积。
求阴影部分的面积最直接的方法是利用计算公式直接求阴影面积；还可以用总面积减去空白面积求得阴影部分面积。
这两种是最常用最简便的方法。
同步精练
1.下面的梯形中，阴影部分的面积是150平方厘米，求梯形的面积。
15厘米
25厘米
5厘米
2．已知平行四边形的面积是48平方厘米，求阴影部分的面积。
6厘米
3．如果用铁丝围成如下图一样的平行四边形，需要用铁丝多少厘米？
（单位：
厘米）
6
9
12
第三讲图形的面积
（一）
第二课时
例题讲学
例2下图中甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
【思路点拨】图中的阴影部分是一个三角形，它的三条边的长都不知道，三条边上的高也不知道。
所以，无法用公式计算出它的面积。
仔细观察本题的图，我们可以发现，如果延长GA和FC，它们会相交（设交点为H），这样就得到长方形GBFH（如下图），它的面积很容易求，而长方形GBFH中除阴影部分之外的其他三部分（△AGB、△BFC及△AHC）的面积都能直接求出。
同步精练
1、求右图中阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
2、求右图中阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
第三讲图形的面积
（一）
第三课时
例题讲学
例3如图所示：
，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，求CE的长度。
【思路点拨】题目中告诉我们，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，即甲-乙=6（平方厘米），而甲和乙分别加上四边形ABCF后相减的结果还是6平方厘米，即：
甲-乙=6（平方厘米）
（甲+四边形ABCF）-（乙+四边形ABCF）=6（平方厘米）
即：
正方形ABCD-△ABE=6（平方厘米）
这就是说正方形ABCD的面积比三角形ABE的面积大6平方厘米。
用正方形的面积减去6就得到三角形ABE的面积，再用三角形的面积乘以2再除以AB，就得到BE的长度，从而求出CE的长度。
同步精练
1、四边形ABCD是一个长为10厘米，宽6厘米的长方形，三角形ADE的面积比三角形CEF的面积大10平方厘米。
求CF的长是多少厘米？
2、正方形ABCD的边长是12厘米，已知DE是EC长度的2倍，求：
（1）三角形DEF的面积。
（2）CF的长。
第四讲认识分数
第一课时
《知识概述》
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。
其中的一份又叫分数单位。
分数与除法的关系可以表示a÷b=
（b≠0）。
分数可以分为真分数和假分数；分子与分母是互质数，被称为最简分数。
分数的分子与分母同时乘以或同时除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变，这就是分数的基本性质。
例题精学
例1：
分母是91的真分数有多少个？
最简真分数有多少个？
【思路点拨】
真分数是指分子小于分母的分数，最简真分数是指分子与分母互质的真分数。
分母是91的真分数一共有90个，分别是
，
，
……
其分子是1～90的自然数。
在这其中有分子和分母有除1之外的相同质因数。
要求最简真分数，那么分子中凡是91的质因数的倍数都应去掉。
而91=7×13，在1～90的自然数中，7的倍数有13－1=12（个），13的倍数有7－1=6（个），这样分子可取的数一共有90－（12+6）=72（个）。
同步精练
1.分母是51的真分数有多少个？
最简真分数有多少个？
2.分子、分母的乘积是420的最简真分数有多少个？
3.分数
中的a是一个非零自然数，为了使这个分数能够约分，a最小是多少？
第四讲认识分数
第二课时
例2把一个最简分数的分子加上1，这个分数就等于1.
（1）如果把这个分数的分母加上1，这个分数就等于
，原分数是多少？
（2）如果把这个分数的分母加上2，这个分数就等于，原分数是多少？
【思路点拨】这道题有两个小题，总的条件一样。
由于其他的条件不同，两小题的得数是不同的。
有总的条件来看，要求的两个分数的分子都比分母小1.
（1）分母加上1，分子应比分母小2，现在
的分子比分母小1，说明进行过约分了，未约分前的分子比分母小2，说明是用2约分的，也就是说原分数的分母加上1之后，再把分子分母同时除以2所得到的分数是
，说明约分前是
，这样原分数应是
。
第
（2）题请你自己思考。
同步精练
1.一个最简分数的分子缩小5倍，分母扩大9倍后是
，原分数是多少？
2.一个分数约分成最简分数是
，
原分子、分母的和是90，原分数是多少？
第四讲认识分数
第三课时
例3分数
的分子和分母都减去同一个整数，所得的分数约分后是
，求减去的数。
【思路点拨】一个分数的分子和分母同时间去一个相同的数后，分子与分母的差不变。
原分数的分子与分母的差是136－73=63，得到的新分数的分子与分母的差也是63.而新分数约分后变成
，9－2=7，因此可知约去的数是63÷7=9.新分数是
=
，这样就可以求出减去的数是多少了。
同步精练
1.
的分子、分母同时加上多少后就可以约分为
？
2.一个真分数的分子、分母是两个连续的自然数，如果分母加上4，这个分数约分后是
，原来这个数是多少？
3.一个分数，分子加上1后，其值为1，分子减去1后，其值为
，求这个分数
第四讲认识分数
第四课时
例4分数
的分子减去某数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后为
，求某数。
【思路点拨】分子减去一个数，同时分母加上这个数，那么分子与分母的和不变。
原分数的分子、分母之和为55+64=119，说明新分数的分子、分母之和也是119，而新分数约分后是
，分子、分母的和是4+13=17，因此可知约去的数是119÷17=7。
新分数为
。
这样可以推算出这个原数了。
同步精练
1.的分子减去某数，而分母加上某数后约分为
，求某数。
2.有一个分数，分子加上1可约分为
，分子减去1可约分为
，求这个数。
3.一个分数，如果分子加上16，分母减去166，那么约分后是
；如果分子加上124，分母加上340，那么约分后是
，求原分数是多少？
练习卷
1、填空题。
（1）一个最简分数的分子、分母之积是30，这个最简分数是（）。
（2）一个最简真分数的分子、分母之和是15，这个最简真分数是（）。
（3）分母是85的真分数共有（）个，分母是85的最简真分数共有（）个。
（4）一个分数的分子、分母之和是90，约分后是
，求原来的分数是（）。
（5）一个最简真分数，把它的分母扩大5倍，而分子缩小4倍，化简后是
，求这个最简真分数是（）。
2、分数
的分子分母同时加上同一个自然数，新分数化简得
，求这个自然数。
3、分数
的分子加上一个数，分母减去同一个数，新分数化简为
，求这个数。
4、一个真分数的分子、分母是两个相邻的奇数，如果分母加上3后，这个分数约分为
，求原分数是多少？
第五讲相遇问题
相遇问题中数量之间的基本关系式：
速度和×相遇时间＝相遇路程相遇路程÷速度和＝相遇时间
相遇路程÷相遇时间＝速度和
【例1】：
一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距450千米的辆两地相向而行，公共汽车每小时40千米，小轿车每小时行50千米，问几小时后两车相距90千米？
【分析与解】两车在相距450千米的两地相向而行，距离逐渐缩短，在相遇前某一时刻两车相距90千米，这时两车共行的路程应为（450-90）千米。
需要注意的是当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离又从零逐渐增大，到某一时刻，两车再一次相距90千米。
这时两车共行的路程为（450+90）千米。
所以：
（450-90）÷（40+50）=4（小时）
或（450+90）÷（40+50）=6（小时）
答：
两车在出发后4小时相距90千米，在出发后6再一次相距90千米。
同步精练
1.一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地相背而行。
甲每分钟走66米，乙每分钟走59米。
经过几分钟才能相遇？
2、两地相距1200千米，甲乙两辆火车从两地相向而行，同时出发，甲每小时行120千米，乙每小时行180千米，多少小时后，两车相差300千米？
【例2】甲乙两列火车从相距770千米的两地相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行41千米，乙车先出发2小时后，甲车才出发。
甲车行几小时后与乙车相遇？
【分析与解】甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小树，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这2小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间。
乙车先行的路程：
41×2=82（千米），甲乙两车同时相对而行路程：
770-82=688（千米），甲车行的时间：
688÷（45+41）=8（小时）
答：
甲车行8小时后与乙车相遇。
解题技巧：
关键抓住先走的车，它所行的路程，把它所走的路程先刨除在外，然后计算两车（人）真正相距的路程，是解答此类问题的关键。
同步精练
①小丽家距学校有1500米，中午11:
40分放学回家时，小丽从学校以每分钟50米的速度回家，走了4分钟后，爸爸骑自行车从家出发去接小丽，爸爸的速度是每分钟150米，爸爸出发多长时间会接到小丽？
②某送货员从A乡镇往B乡镇去送货，他以每小时40千米的速度开摩托车前往，走了0.5小时后，接货人开汽车去接他，结果接货人在出发2小时后接到了送货员，已知接货人的速度是每小时60千米。
问：
A、B两个乡镇相距多少千米？
【例3】两地相距900米，甲乙二人同时同地向同一方向行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走100米，当乙到达目标后，立即返回，与甲车相遇，从出发到相遇共经过多少分钟？
【分析与解】甲、乙二人开始是同向行走，乙走得快，先到达目的地后，然后返回，途中与甲相遇，这又变成了相遇问题，把同向走的时间与相遇走的时间相加就是共同经过的时间。
已到达目的地时间：
900÷100=9（分钟），甲9分钟走的路程：
80×9=720（米），甲距目标还有：
900-720=180（米），相遇时间：
180÷（100+80）=1（分钟），共用的时间为：
9+1=10（分钟）。
同步精练
1、兄妹二人同时离家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门时，发现忘带课本，立即沿原路回家去取，行至离学校180米处与妹妹相遇，他们家离校多远？
2、甲、乙二人同时从A地到B地，甲每分钟走250米，乙每分钟走90米。
甲到达B地后立即返回A地，在离B地3.2千米处与乙相遇，A、B两地间的距离是多少千米？
【例4】：
甲乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，甲带着一只狗，狗每小时走10千米，这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它又掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇，问这只狗一共走了多少千米？
【分析与解】要求狗一共走了多少千米，如果你认为求出狗与甲和乙相遇了多少次，每次用多长时间，那么你是求不出来的，因为这些都是无法知的量。
问题可以这样看，我们可以求出狗一共行了多长时间，狗行的时间其实就是甲乙二人相遇的时间，因为狗在甲乙二人相遇前是一直走的，它中途并没有停下来，所以，问题的关键又转回了人身上。
甲乙二人相遇时间：
100÷
升级会员 