数学人教版六年级下册鸽巢原理抽屉原理.docx

数学人教版六年级下册鸽巢原理抽屉原理.docx

《数学人教版六年级下册鸽巢原理抽屉原理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学人教版六年级下册鸽巢原理抽屉原理.docx（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

数学人教版六年级下册鸽巢原理抽屉原理

数学广角——《鸽巢问题》（抽屉原理）

银河镇中心小学：

颜淑玲

【教学目标】

1.经历探究鸽巢问题的过程，初步了解鸽巢问题，会用鸽巢问题解决简单的实际问题。

2.培养学生解决简单实际问题的能力。

3.通过鸽巢原理的灵活运用感受数学的魅力。

【重点难点】

重点：

经历鸽巢问题的探究过程，初步了解鸽巢原理。

难点：

理解鸽巢原理，并对一些简单的实际问题加以“模型化”。

【教学指导】

1.让学生初步经历“数学证明”的过程。

可以鼓励引导学生借用学具、实物操作或画草图的方法进行说理。

通过说理的方式理解鸽巢问题的过程是一种数学证明的雏形。

通过这样的方式，有助于提高学生的逻辑思维能力，为以后思维严密的数学证明做准备。

2.有意识地培养学生的模型思想。

当我们面对一个具体问题时，能否将这个具体问题和鸽巢问题联系起来，能否找到该问题的具体情境与鸽巢问题的一般化模型之间的内在关系，找出该问题中什么是“待分的东西”，什么是“鸽巢”，是解决该问题的关键。

教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于鸽巢问题的范畴，再思考如何寻找隐藏在其背后的鸽巢问题的一般模型。

这个过程是学生经历将具体问题数学化的过程，从复杂的现实素材中找出最本质的数学模型，是体现学生思维和能力的重要方面。

3.要适当把握教学要求。

鸽巢问题本身或许并不复杂，但其应用广泛且灵活多变。

因此，用鸽巢问题解决实际问题时，经常会遇到一些困难，所以有时找到实际问题与鸽巢问题之间的联系并不容易,即使找到了，也很难确定用什么作为“鸽巢”。

因此，教学时，不必过分要求学生说理的严密性，只要能结合具体问题，把大致意思说出来就行了，鼓励学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。

【教学准备】多媒体课件、学习纸，每组3个杯子和4根小棒。

【教学过程】

（一）游戏引入

师：

同学们，你们玩过抢椅子的游戏吗？

现在，老师这里准备了3把椅子，请4个同学上来，谁愿意来？

1．游戏要求：

开始以后，请你们4个都坐在椅子上，每个人必须都坐下。

2．讨论：

“不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学”这句话说得对吗？

生：

对。

师：

其实在这个游戏当中，隐藏着一个有趣的数学问题，我们把它叫做鸽巢问题。

（板书课题：

鸽巢问题）

师：

通过学习，你想解决哪些问题？

根据学生回答，教师把学生提出的问题归结为：

“鸽巢问题”是怎样的？

这里的“鸽巢”是指什么？

运用“鸽巢问题”能解决哪些问题？

怎样运用“鸽巢问题”解决问题？

（二）合作探究，引入新课。

1.教师课件出示例1的问题。

师：

每组中都有小棒和杯子，现在分小组动手操作：

把4支小棒放进3个标有序号的杯子中，不管怎么放，总有一个杯子里至少有2根小棒。

这个说法正确吗？

2.组织学生分组操作，并在小组中议一议，用小棒在杯子里放一放。

3.教师指名小组汇报。

小组汇报演示：

1号杯子放4根小棒，2号、3号杯子均放0根小棒。

......

教师帮助板书：

我们将这种放法记为（4,0,0）。

〔板书：

（4,0,0）〕

教师提出：

（4，0，0）（0，4，0）（0，0，4,）为一种放法。

师：

除了这种放法，还有其他的方法吗？

教师再指名汇报。

学生会有：

（四种不同的方法，教师板书。

）

（4，0，0），

（0，1，3），

（2,2,0），

（2,1,1）。

师：

还有不同的放法吗?

（生：

没有。

）

师小结：

我们把这种方法叫做枚举法。

通过刚才的操作，你能发现什么?

生：

不管怎么放,总有一个盒子里至少有2根小棒。

（卡纸出示）

师:

“总有”是什么意思?

（生：

一定有，肯定有。

）

师:

“至少”有2根什么意思?

（生：

不少于两只,可能是2根,也可能是多于2根。

）

师：

就是不能少于2根。

（通过操作让学生充分体验感受）

（三）教师进一步引导学生探究：

把5根小棒放进4个杯子，总有一个杯子要放进几根小棒？

指名学生说一说，并且说一说为什么？

师:

把4根笔放进3个盒子里,和把5根笔放进4个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2根小棒。

这是我们通过实际操作发现的这个结论。

那么,我们能不能找到一种更为直接简便的方法,只摆一种情况,也能得到这个结论呢?

学生思考——组内交流——汇报

师:

哪一组同学能把你们的想法汇报一下?

并上来结合操作给大家演示一遍吗?

（学生操作演示、汇报。

）

生:

我们发现如果每个盒子里放1根小棒,最多放3根,剩下的1根还要放进其中的一个杯子里，所以不管怎么放,总有一个盒子里至少有2根小棒。

（课件出示这句话。

）

师:

这种分法,实际就是先怎么分的?

生：

平均分。

师:

为什么要先平均分?

学生汇报：

要想发现存在着“总有一个盒子里一定至少有2根”,先平均分,余下1根,不管放在哪个盒子里,一定会出现“总有一个盒子里一定至少有2根”。

这样分,只分一次就能确定总有一个盒子至少有几根笔了?

师:

同意吗?

（生：

同意）那我们把这个方法叫做假设法。

师（出示课件）：

那么把6根小棒放进5个杯子里呢?

口答：

如果.............

剩下的...........

所以.............

师:

哪位同学能把你的想法汇报一下？

（学生一边演示一边说：

把6根小棒放在5个杯子里,如果每个杯子先放1根小棒，5个杯子最多放5根，剩下的1根放进其中一个杯子里，所以不管怎么放,总有一个盒子里至少有2根小棒。

）

师（课件出示）:

请你辩一辩。

把7根小棒放进6个杯子里，不管怎么放,总有一个杯子里至少有2根小棒。

把8根笔放进7个杯子里，不管怎么放,总有一个杯子里至少有2根小棒。

把15根小棒放进14个杯子里，不管怎么放,总有一个杯子里至少有2根小棒。

把（）根小棒放进（）个杯子里，不管怎么放,总有一个杯子里至少有2根小棒。

...........

师：

根据刚才的学习探究，你发现什么?

生：

小棒的根数比杯子数多1,不管怎么放,总有一个杯子里至少有2根小棒。

师:

你们的发现和他一样吗?

（生：

一样）你们太了不起了!

同桌互相说一遍。

把100根小棒放进99个杯子里会有什么结论？

一起说。

那如果有n个杯子，那应当要多少根小棒，不管怎么放，总有一个杯子至少有2根小棒。

（生：

n+1）

师小结：

我们的小棒就是待分物，杯子就相当于我们的抽屉，只要放的待分物比抽屉多

（1），总有一个抽屉至少放有2个待分物体。

2.教学例2。

（四）出示题目:

那把7本书放进3个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?

（师追问：

还是至少每个抽屉里有2个物体吗？

）

师：

请同学们先独立思考，用枚举法或者假设法探究出结论，得出结论后，再与同桌交流讨论你们的想法。

学生活动。

师：

哪位同学愿意说说你的方法？

把你的发现和大家一起分享。

学生可能会有以下方法：

a.动手操作枚举法。

生：

通过操作，我们把7本书放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放进3本书。

教师：

通过动手摆或者画图的方法，我们知道把7本书放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放进几本书?

（3本）

②假设法。

生：

把7本书放进3个抽屉，先用平均分的方法，如果每个抽屉放2本书，3个抽屉总共放了6本书，剩下的1本书放到其中的一个抽屉里，所以不管怎么放，总有一个抽屉里至少放了3本书。

师提问：

尽量把书平均分给各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，你们能用什么方式表示这一平均的过程呢？

学生在练习本上列式：

7÷3=2……1。

生：

完成除法算式。

师板书：

7÷3=2……1

（四）师：

10本书放进3个抽屉呢？

（总有一个抽屉里至少有4本书）

10÷3=3……1

师:

那这些总有一个抽屉至少放了2本、3本、4本是怎么得到的?

4÷3=1……1（商加1）2本

7÷3=2……1（商加1）3本

8÷3=2……2（商加1）

10÷3=3……1（商加1）4本

观察特点，寻找规律。

师提问：

观察3组算式，你能发现什么规律？

引导学生总结归纳出：

把某一数量（奇数）的书放进三个抽屉，只要用这个数除以3，总有一个抽屉至少放进书的本数比商多一。

师小结：

“总有一个抽屉里的至少有几本”，只要用“商+1”就可以得到。

（五）追问、巩固。

师追问:

那8本书放进3个抽屉呢？

（总有一个抽屉里至少有3本书）

8÷3=2……2

生:

“总有一个抽屉里至少有3本”只要用8÷3=2本……2本,用“商+2”就可以了。

学生有可能会说：

不同意!

先把5本书平均分放到3个抽屉里,每个抽屉里先放1本,还剩2本,这2本书再平均分,不管分到哪两个抽屉里,总有一个抽屉里至少有2本书,不是3本书。

师:

到底是“商+1”还是“商+余数”呢?

谁的结论对呢?

在小组里进行研究、讨论、交流、说理活动。

学生可能有三种说法：

a.我们组通过讨论并且实际分了分,结论是总有一个抽屉里至少有2本书,不是3本书。

b.把5本书平均分放到3个抽屉里,每个抽屉里先放1本,余下的2本可以在2个抽屉里再各放1本,结论是“总有一个抽屉里至少有2本书”。

c.我们组的结论是5本书平均分放到3个抽屉里,“总有一个抽屉里至少有2本书”用“商加1”就可以了,不是“商加2”。

（六）师总结方法:

现在大家都明白了吧?

那么怎样才能够确定总有一个抽屉里至少有几个物体呢?

生回答：

用“物品数÷抽屉数”，所得的商加1,就会发现“总有一个抽屉里至少有商加1本书”了。

教师总结归纳鸽巢问题的一般规律。

要把a个物体放进n个抽屉里，如果a÷n=b……c（c≠0），那么一定有一个抽屉至少放（b+1）个物体。

板书：

物品数÷抽屉数=商.....余数（至少数是：

商+1）

3.知识衔接。

（出示课件）教师讲解：

同学们的这一发现,称为“抽屉原理”,“抽屉原理”又称“鸽笼原理”,最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷提出来的,所以又称“狄里克雷原理”,也称为“鸽巢原理”。

这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。

“抽屉原理”的应用是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结果。

下面我们应用这一原理解决问题。

4.巩固练习

教材第69页“做一做”。

（1）组织学生在小组中交流解答。

（2）指名学生汇报解答思路及过程。

答案：

（1）∵11÷4=2（只）……3（只）

2+1=3（只）

∴一定有一个鸽笼至少飞进3只鸽子。

（2）∵5÷4=1（人）……1（人）

1+1=2（人）

∴一定有一把椅子上至少坐2人。

5.课堂小结：

通过这节课的学习，你有哪些收获？

6.课后作业：

完成练习册中本课时的练习。

7.板书设计：

第1课时鸽巢问题

（1）

小棒杯子总有一个杯子至少放

4÷3=1.....12（4，0，0）

532（0，1，3）

n+1n（2,2,0）

（2,1,1）

7÷3=2......13

10÷3=3......14

8÷3=2......23

物品数÷抽屉数=商.....余数（至少数是：

商+1）