数学建模论文.docx
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数学建模论文
呼伦贝尔学院
HulunbeierUniversity
数学建模竞赛论文
论文题目：
伦敦奥运会公交网络系统设置问题
姓名1：
王昕学号：
2010171204专业：
采矿工程
姓名2：
李栋学号：
2010171217专业：
采矿工程
姓名3：
闫苏亮学号：
2010171223专业：
采矿工程
2012年5月2日
2012年呼伦贝尔学院数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了呼伦贝尔学院数学建模的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）：
A
所属学院（请填写完整的全名）：
工程技术学院
参赛队员（打印并签名）：
1.王昕
2.李栋
3.闫苏亮
日期：
2012年5月1日
评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：
2012年呼伦贝尔学院数学建模竞赛
编号专用页
评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：
赛区初评记录（可供评阅时使用）：
评
阅
人
总
评
分
评
分
备
注
复评结果：
伦敦奥运会公交网络系统设置问题
摘要
我们就伦敦奥运会参赛运动员从生活区S到购物区G公交线路最大运输力的调度问题给予如下方案：
本文通过对问题的分析和合理的假设，采用规划的理论建立单目标规划的线性数学模型。
运用VisualBasic软件得到了全局最优解，对此类问题提供了一种较优的方案。
题目中的问题
（1），包含着从生活区S到购物区G各条路线单位时间内的人员流量的计算问题，因此文中以运动员从生活区S到达购物区G单位时间内的最大运力为目标函数，以每条线路的最大运力以及流入截面H1、H2、H3、H4和流出截面H1、H2、H3、H4的人员流量相等为约束条件。
以如何安排人员流量为决策变量，建立了单目标线性模型。
应用VisualBasic软件求解，得出了最大人员流量为14（千人/小时）和几种人流分布运输路线，得出人流分布图。
结果见图1-3，图1-4，图1-6。
题目中的问题
（2），经过对问题的分析及提出的处理方案得出只有将追加资金投入到线路④-⑥上使得该线路的最大运力增大到7（千人/小时）时，才能对提高整个公交网络的最大运力最为有效，我们建立了改造后的公交线路，使运动员从生活区S到达购物区G单位时间内达到最大运输力的目标函数，同时我们以每条线路的最大运力以及流入截面H1、H2、H3、H4和流出截面H1、H2、H3、H4的人员流量相等为约束条件，以如何安排人员流量为决策变量。
应用VisualBasic软件对目标函数进行求解验证了最大人员流量为18（千人/小时）为最优解，得出了最大人员流量为18（千人/小时）以及此时的人流量分布图。
结果见图2-2，图2-3，图2-4，图2-5，图2-6，图2-7。
关键字：
决策变量；单目标线性模型；路线安排；最优解
问题重述
伦敦奥运会即将开幕，参赛运动员的生活区、购物区以及七个比赛主场馆的公交网络系统分布如下图1-1，其中S为生活区，G为购物区，连线为公交线路，每条连线上所标的数字为该线路的最大运力（单位：
千人/小时），①、②、③、④、⑤、⑥、⑦为七个比赛主场馆。
①5⑤
73457
S5②3④3⑥7G
65456
③4⑦
图1-1
分析：
（1）.如何安排行人的行走路线使得单位时间从S区到达G区的人流量最大？
并画出人流分布图。
（2）.现有一笔追加资金可用于改造公交网络中的某一段线路，应将这笔资金投向哪段线路的改造，才能对提高整个公交网络的最大运力最为有效。
问题分析
这是一个便利问题，此问题的困难之处在于确定人流量的路线安排，并使得单位时间内每条路线尽可能达到最大运力，才能使得安排的路线运输总量满足题目要求——单位时间从S区到达G区的人流量最大，也就是说从S生活区在满足约束条件下经过各路线到达G区的人流量最大。
第
（1）问，对于合理安排人流行走路线使得人流量最大不能仅仅考虑使每条路的运输量最大，因为每条路线还有约束条件最大运力。
因此我们的目标函数应该是满足每个约束条件而使得生活区S，到购物区G单位时间内人流量最大。
在数学建模过程中，我们无需考虑人流行驶的随机性，只需要在满足约束条件下安排最合理的人流行驶路线使得从生活区S，到购物区G单位时间内人流量最大。
第
（2）问，在交通运输过程中的最大运力与水流的运输相似，水流的最大运输量是取决于水流运输途中经过最细管道的横截面面积；同理在交通运输方面最大的运力往往受一些最大运力较小的路线所限制。
所以我们应通过实际分析得出在运输过程中对人流量限制最大的一段路，然后改造它来提高整个公交网络的最大运力。
一模型假设
（1）假设行人途经每个体育场馆时都不停留；
（2）假设每条线的最大运力不受环境影响；
（3）假设在最大运力范围内道路能保证行人行驶畅通；
（4）假设在运输过程中不会因任何外界环境影响耽误行人运输。
二模型的建立及求解
1符号说明
xi,j表示从i地到j地的人员流量,单位（千人/小时）；
H1，H2，H3，H4所对应的虚线为假想的垂直于所截交的路线的截面（假想面）,人员必须依次经过H1，H2，H3，H4才能到达购物区G点；
K1，K2，K3，K4分别表示流经截面H1；H2；H3；H4的总流量；
-表示从场馆到场馆的运输线路。
2模型的建立及求解
对于人员流量路线的分配方案我们建立单目标规划的线性模型，使得单位时间内人流量最大。
2.1目标函数的建立
当从生活区S，到购物区G单位时间内人流量达到最大时，即x5,G、x6,G、x7,G三者之和最大。
MaxW=x5,G+x6,G+x7,G
2.2约束条件的确定
①5⑤
73457
S5②3④3⑥7G
65456
③4⑦
H1H2H3H4
图1-2
1.根据假设
（1）和上图得约束条件如下：
（1）对于①场馆单位时间内流入的人的流量等于流出的人的流量,即得：
xS,1+x2,1-x1,4-x1,5=0
（2）对于②场馆单位时间内流入的人的流量等于流出的人的流量,即得：
xS,2-x2,1-x2,4=0
（3）对于③场馆单位时间内流入的人的流量等于流出的人的流量,即得：
xS,3-x3,4-x3,7=0
（4）对于④场馆单位时间内流入的人的流量等于流出的人的流量,即得：
x1,4+x2,4+x3,4+x7,4-x4,5-x4,6=0
（5）对于⑤场馆单位时间内流入的人的流量等于流出的人的流量,即得：
x1,5+x4,5-x5,G=0
（6）对于⑥场馆单位时间内流入的人的流量等于流出的人的流量,即得：
x4,6+x7,6-x6,G=0
（7）对于⑦场馆单位时间内流入的人的流量等于流出的人的流量,即得：
x3,7-x7,4-x7,6-x7,G=0
（8）同一时间流过面H1与流过H4的人员流量相等：
xS,1+xS,2+xS,3-x5,G-x6,G-x7,G=0
（9）同一时间流过面H1与流过H2的人员流量相等：
xs,1+xS,2+xs,3-x1,5-x1,4-x2,4-x3,4-x3,7=0
（10）同一时间流过面H3与流过H4的人员流量相等：
x1,5+x4,5+x4,6+（-x4,7）+x3,7-x5,G-x6,G-x7,G=0
（11）由于每条路线都有其相应的最大运力，所以各段路的人流量不能超过与它对应的最大运力。
xs,1≤7
xS,2≤5
xS,3≤6
x1,5≤5
x1,4≤4
x2,4≤3
x2,1≤3
s.t.x3,4≤5
x3,7≤4
x4,5≤5
x4,6≤3
x7,4≤4
x5,G≤7
x6,G≤7
x7,G≤6
x7,6≤5
2.3单目标规划模型：
在给出了目标函数和约束条件后，即可得到一个使得人流量最大的单目标规划模型如下：
MaxW=x5,G+x6,G+x7,G
xS,1+x2,1-x1,4-x1,5=0
xS,2-x2,1-x2,4=0
xS,3-x3,4-x3,7=0
x1,4+x2,4+x3,4+x7,4-x4,5-x4,6=0
s.t.x1,5+x4,5-x5,G=0
x4,6+x7,6-x6,G=0
x3,7-x7,4-x7,6-x7,G=0
xS,1+xS,2+xS,3-x5,G-x6,G-x7,G=0
xs,1+xS,2+xs,3-x1,5-x1,4-x2,4-x3,4-x3,7=0
x1,5+x4,5+x4,6+（-x4,7）+x3,7-x5,G-x6,G-x7,G=0
且:
xs,1≤7；xS,2≤5；x2,1≤3；xS,3≤6；x1,5≤5；
x1,4≤4；x2,4≤3；x3,4≤5；x3,7≤4；x4,5≤5；
x4,6≤3；X7,4≤4；x5,G≤7；x6,G≤7；x7,G≤6；
x7,6≤5
2.4根据VisualBasic求最优解得：
W=14（千人/小时）
且有H3与H4截面所截交的线路所通过的人员流量都有固定的值与之对应，即：
x1,5=5；x4,5=2；x4,6=3；x3,7=4；x5,G=7；x6,G=3；x7,G=4；x7,4=0
其中xs,1；xS,2；xs,3；x1,4；x2,4；x2,1；x3,4为自由未知量，
且：
xs,1+xS,2+xs,3=14
x1,4+x2,4+x3,4=5
所以对于xs,1；xS,2；xs,3；x1,4；x2,4；x3,4，当其取不同值时会有不同的人流分布，且同时使得从生活区S，到购物区G单位时间内人流量最大,最大运力为14（千人/小时）。
3模型检验：
3.1当xs,1=7；xS,2=3；xs,3=4；x1,5=5；x1,4=2；x2,4=3；x2,1=0；x3,4=0；
x3,7=4；x4,5=2；x4,6=3；x7,4=0；x5,G=7；x6,G=3；x7,G=4；x7,6=0
得运输过程中人流量分布图如下：
15⑤
7227
S3234363G
44
347
图1-3
得运输分布表:
路线编号
运输路线
人员流量
1
S-①-⑤-G
5
2
S-①-④-⑤-G
2
3
S-②-④-⑥-G
3
4
S-③-⑦-G
4
3.2当xs,1=5；xS,2=3；xs,3=6；x1,5=5；x1,4=0；x2,4=3；x2,1=0；x3,4=2；
x3,7=4；x4,5=2；x4,6=3；x7,4=0；x5,G=7；x6,G=3；x7,G=4；x7,6=0
得运输过程中人流量分布图如下：
155
527
S3234363G
624
347
图1-4
得运输分布表：
路线编号
运输路线
人员流量
1
S-①-⑤-G
5
2
S-③-④-⑤-G
2
3
S-②-④-⑥-G
3
4
S-③-⑦-G
2
3.3当xs,1=3；xS,2=5；xs,3=6；x1,5=5；x1,4=0；x2,4=3；x2,1=2；x3,4=2；
x3,7=4；x4,5=2；x4,6=3；x7,4=0；x5,G=7；x6,G=3；x7,G=4；x7,6=0
得运输过程中人流量分布图如下：
155
3227
S5234363G
624
347
图1-5
得运输分布表：
路线编号
运输路线
人员流量
1
S-①-⑤-G
3
2
S-②-①-⑤-G
2
3
S-③-④-⑤-G
2
4
S-②-④-⑥-G
3
5
S-③-⑦-G
4
3.4当xs,1=7；xS,2=1；xs,3=6；x1,5=5；x1,4=2；x2,4=1；x2,1=0；x3,4=2；
x3,7=4；x4,5=2；x4,6=3；x7,4=0；x5,G=7；x6,G=3；x7,G=4；x7,6=0
得运输过程中人流量分布图如下：
155
7227
S1214363G
624
347
图1-6
得运输分布表：
路线编号
运输路线
人员流量
1
S-①-⑤-G
5
2
S-①-④-⑤-G
2
3
S-②-④-⑥-G
1
4
S-③-④-⑥-G
2
5
S-③-⑦-G
4
经检验得以上结论均符合要求，即：
目标函数W=14（千人/小时）为最优解。
第二问：
1.问题重述：
现有一笔追加的资金可用于改造公交网络中的某一段线路，应将这笔资金投向哪段线路的改造，才能对提高整个公交网络的最大运力最为有效。
①5⑤
73457
S5②3④3⑥7G
65456
③4⑦
H1H2H3H4
图2-1
经过第一问的分析得：
截面H1，H2，H3，H4未能达到其最大运力，原因是各段线路最大运力的限制使得路线与路线之间存在着相互影响和相互制约。
2.问题分析及解决：
假使现在让通过H1面的人流量达到最大，即：
路线S-①，S-②，S-③都达到其最大运力，此时K1=18。
经过合理安排可以让通过面H2的人流量K2也达到与K1相同的值，即：
K2=18。
经检验此时人流分配只有一种情况①-⑤,①-④,②-④,③-⑦都达到其最大运力，而x3,4=2。
同时对截面H3的人流量进行分析规划，使之运输量尽可能达到最大：
①-⑤、③-⑦为H2、H3共同的截交路线，因为这两段路都达到其最大运力，所以不予讨论。
而由于⑤-G最大人流量的限制使得④-⑤最大运输量只能为：
x4,5=2；路线④-⑥也可达到其最大值，即x4,6=3；此时在④场馆每小时都会有4千人被滞留，由于线路最大运力的限制使他们无法直接到达购物区G；此时从③场馆到⑦场馆间运输的流量4（千人/小时）可直接由⑦-G运输到购物区G处，而不可能把从③场馆到⑦场馆之间运输的人流量的一部分通过⑦-④运输到④场馆，即x7,4=0，此时面H3流过的流量K3=14。
经分析可知流经截面H3的人员流量也可以全部通过截面H4到达购物区G，此时的人流分布图如下：
单位时间被
滞留的人数
155
724[4]27
S5234363G
624
347
图2-2
3.问题处理及检验：
若改造截面H1所截得的某一段线路，则改造结果只能使截面H3前面的场馆所滞留的人数更多，而无法提高从生活区S到购物区G单位时间内的最大运力。
例如，若将S-③的最大运力改造为9（千人/小时），则③-④的运输量可达到最大，为5（千人/小时），人流分布图如下：
单位时间被
滞留的人数
155
724[7]27
S5234363G
954
347
图2-3
由图可知，④场馆滞留的人数更多，所以修改截面H1所截得线路不可取。
若不改造截面H1所截得线路，则流经截面H1的人员流量可以顺利的流经截面H2到达下一站，故截面H2所截得的线路无需改造。
④场馆之所以有人被滞留，原因是截面H3与截面H4所截得的线路的最大运力所限制。
处理方案一：
因为由③场馆运输到⑦场馆的人员流量能全部运送到购物区G，所以线路⑦-⑥、⑦-G无需改造；现改造线路③-⑦，由于S-③的最大运力为6（千人/小时），所以将其最大运输力改为6（千人/小时）即可，则流经截面H4的人流量K4=16，
人流分布图如下：
单位时间被
滞留的人数
155
724[2]27
S5234363G
66
367
图2-4
处理方案二：
由于线路⑤-G的最大运力为7（千人/小时），使得线路④-⑤的运输量为达到其最大运力，故线路④-⑤无需改造。
如果修改线路⑤-G的最大运力为10（千人/小时），则此时线路④-⑤的人员流量也可达到额定值，即流经截面H4的最大流量K4=17，人流分布图如下：
单位时间被
滞留的人数
155
724[1]510
S5234363G
624
347
图2-5
处理方案三：
因为线路④-⑥的运力所限，使得线路⑥-G为达到其最大运力，故改造线路⑥-G不合适；如果改造线路④-⑥的最大运力为7（千人/小时），则此时线路⑥-G的人员流量可达到额定值，即流经截面H4的最大流量K4=18，人流分布图如下：
5
15
724[0]27
S5234767G
624
347
图2-6
综上分析检验说明方案三为最优方案：
即将追加资金投入到线路④-⑥上使得该线路的最大运力增大到7（千人/小时）时，才能对提高整个公交网络的最大运力最为有效，其最大运力为K4=18，人流分布图如下：
155
72427
S5234767G
624
347
图2-7
4.最优方案检验
4.1目标函数的建立
当从生活区S，到购物区G单位时间内人流量达到最大时，即x5,G、x6,G、
x7,G三者之和最大。
MaxW=x5,G+x6,G+x7,G
4.2约束条件的确定
①5⑤
73457
S5②3④3⑥7G
65456
③4⑦
H1H2H3H4
1.根据假设
（1）和上图得约束条件如下：
（1）对于①场馆单位时间内流入的人的流量等于流出的人的流量,即得：
xS,1+x2,1-x1,4-x1,5=0
（2）对于②场馆单位时间内流入的人的流量等于流出的人的流量,即得：
xS,2-x2,1-x2,4=0
（3）对于③场馆单位时间内流入的人的流量等于流出的人的流量,即得：
xS,3-x3,4-x3,7=0
（4）对于④场馆单位时间内流入的人的流量等于流出的人的流量,即得：
x1,4+x2,4+x3,4+x7,4-x4,5-x4,6=0
（5）对于⑤场馆单位时间内流入的人的流量等于流出的人的流量,即得：
x1,5+x4,5-x5,G=0
（6）对于⑥场馆单位时间内流入的人的流量等于流出的人的流量,即得：
x4,6+x7,6-x6,G=0
（7）对于⑦场馆单位时间内流入的人的流量等于流出的人的流量,即得：
x3,7-x7,4-x7,6-x7,G=0
（8）同一时间流过面H1与流过H4的人员流量相等：
xS,1+xS,2+xS,3-x5,G-x6,G-x7,G=0
（9）同一时间流过面H1与流过H2的人员流量相等：
xs,1+xS,2+xs,3-x1,5-x1,4-x2,4-x3,4-x3,7=0
（10）同一时间流过面H3与流过H4的人员流量相等：
x1,5+x4,5+x4,6+（-x4,7）+x3,7-x5,G-x6,G-x7,G=0
（11）由于每条路线都有其相应的最大运力，所以各段路的人流量不能超过与它对应的最大运力。
xs,1≤7
xS,2≤5
xS,3≤6
x1,5≤5
x1,4≤4
x2,4≤3
x2,1≤3
s.t.x3,4≤5
x3,7≤4
x4,5≤5
x4,6≤7
x7,4≤4
x5,G≤7
x6,G≤7
x7,G≤6
x7,6≤5
2.3单目标规划模型：
在给出了目标函数和约束条件后，即可得到一个使得人流量最大的单目标规划模型如下：
MaxW=x5,G+x6,G+x7,G
xS,1+x2,1-x1,4-x1,5=0
xS,2-x2,1-x2,4=0
xS,3-x3,4-x3,7=0
x1,4+x2,4+x3,4+x7,4-x4,5-x4,6=0
s.t.x1,5+x4,5-x5,G=0
x4,6+x7,6-x6,G=0
x3,7-x7,4-x7,6-x7,G=0
xS,1+xS,2+xS,3-x5,G-x6,G-x7,G=0
xs,1+xS,2+xs,3-x1,5-x1,4-x2,4-x3,4-x3,7=0
x1,5+x4,5+x4,6+（-x4,7）+x3,7-x5,G-x6,G-x7,G=0
且:
xs,1≤7；xS,2≤5；x2,1≤3；xS,3≤6；x1,5≤5；
x1,4≤4；x2,4≤3；x3,4≤5；x3,7≤4；x4,5≤5；
x4,6≤7；X7,4≤4；x5,G≤7；x6,G≤7；x7,G≤6；
x7,6≤5
2.4根据VisualBasic求最优解得
W=18（千人/小时）
且有各段线路所通过的人员流量都有固定的值与之对应：
xs,1=7；xS,2=5；x2,1=2；xS,3=6；x1,5=5；
x1,4=4；x2,4=3；x3,4=2；x3,7=4；x4,5=2；
x4,6=7
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