12．在本章的学习过程中，运用了哪些数学思想?
答：
在有理数这一章的学习过程中，主要运用了以下三种数学思想．
（1）数形结合的思想
用数轴上的点来表示有理数，利用数与点的对应，有利于把抽象的数的概念、性质及数量关系用几何图形直观地表示，反过来，数轴上点与点之间的位置关系又对应着有理数的概念和运算．利用数形结合，可以使所要研究的问题化难为易，化繁为简．
（2）转化的思想
在有理数一章的学习中，处处体现将所要研究和解决的问题变为已经学过的问题来处理．特别是有理数的减法法则，除法法则集中体现这个思想．
（3）分类讨论的思想
无论是有理数的绝对值、有理数的大小比较还是有理数四则运算法则都要将研究对象所有的各种情况分别研究，得出相应的结论．在给出分类的标准下，能将研究的对象不重不漏地加以分析、研究，对提高我们的思维能力是十分重要的．
二、有理数的加减运算
重点、难点提示：
1．注意掌握有理数的加法法则，会使用运算律简算，并能解决简单的实际问题。
2．注意掌握有理数的减法法则，认识减法与加法的内在联系，合理运算。
3．进一步巩固有理数加、减法法则的运算，能熟练地将加减混合运算，理解运算符号和性质符号的意
义，运用加法运算律合理简算，并会解决简单的实际问题。
三、核心内容及例题选讲：
（一）、有理数的加法
1．有理数加法法则有三条：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对
值，互为相反数的两个数相加得0。
（3）一个数同0相加，仍得这个数。
例1．计算下列各题
（1）（+2）+（+7）=+（2+7）=+9；（即2+7=9）（-2）+（-7）=-（2+7）=-9．
（2）（-4）+（+7）=+（7-4）=+3；（+4）+（-7）=-（7-4）=-3；（-4）+（+4）=0．
（3）5+0=5；-5+0=-5；0+0=0．
2．注意事项：
（1）有理数加法法则是进行有理数加法的根本依据，它也是人为规定的。
不过这个规定不仅符合实际，并回答了过去用算术计算方法不能解决的某些问题，而且这个规定（有理数加法法则）与算术里的加法法则不矛盾。
（2）由于任何一个有理数都是由它的符号和绝对值两部分组成的，因此有理数加法法则的叙述中，都是强调先确定和的符号，再计算和的绝对值。
这样在进行加法运算时，必须先判断两个加数的符号，是同号?
是异号?
或是有一个加数为零，从而来确定用哪一条法则进行计算。
（3）在算式中一定要分清表示数的正、负的性质符号和表示加法运算的运算符号，并用括号分开。
如：
（-2）+（+5）、（+2）+（-5）、（-2）+（-5）等。
（4）可以证明，加法的交换律，加法的结合律在有理数范围内仍然成立，因此，利用有理数加法的运算律，有时可使计算简化。
例2．计算下列各题。
（1）
；
（2）
；（3）
；（4）
分析：
计算有理数的加法时，要仔细弄清各个加数的特征，依据法则，先确定和的符号，再求出和的绝对值。
解：
（1）
.
还可以这样算：
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
例3．计算
（1）
（2）
解：
（1）（-2.4）+（-4.2）+（-3.8）+（+3.1）+（+0.8）+（-0.7）
=[（-2.4）+（-4.2）+（-3.8）+（-0.7）]+[（+3.1）+（+0.8）]
=-（2.4+4.2+3.8+0.7）+（3.1+0.8）
=（-11.1）+（+3.9）=-（11.1-3.9）=-7.2.
还可以这样算：
（-2.4）+（-4.2）+（-3.8）+（3.1）+（0.8）+（-0.7）
=[（-2.4）+（+3.1）+（-0.7）]+[（-3.8）+（0.8）]+（-4.2）
=0+（-3）+（-4.2）=-7.2.
（2）
.
小结：
利用有理数的加法运算律，可使计算简化，一般可考虑以下几点：
①把相加得零的数结合；
②把相加得整数的数结合；
③分数相加时，同分母分数结合；
④把符号相同的数结合。
（二）、有理数的减法
1．已知两个有理数的和及其中一个加数，求另一个加数的运算叫做有理数的减法
由于有理数的减法是加法的逆运算，因此，求两个有理数的差，依据定义可转化为有理数的加法．例如计算（-2）-（-7）．
解：
设（-2）-（-7）=x，则x+（-7）=-2．（想一想：
什么数加上（-7）等于-2呢?
）
∵（+5）+（-7）=-2，∴x=5即（-2）-（-7）=5．
虽然利用有理数的减法是加法的逆运算的关系，可以求出给定的两个有理数的差，但是计算的过程比较复杂，能不能想一个办法使计算过程简化呢?
在算式（-2）-（-7）中，我们注意到-（-7）又表示为-7的相反数+7，而（-2）与（+7）的和恰好为+5，因此有（-2）-（-7）=（-2）+（+7）=+5．
2．有理数减法的运算法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数．
例1．计算：
（1）（+5）-（+9）
（2）（+5）-（-9）
（3）（-5）-（+9） （4）（-5）-（-9）
（5）0-9（6）9-0．
分析：
应依据有理数减法的运算法则进行计算
解：
（1）（+5）-（+9）=（+5）+（-9）=-4；
（2）（+5）-（-9）=（+5）+（+9）=+14；
（3）（-5）-（+9）=（-5）+（-9）=-14；
（4）（-5）-（-9）=（-5）+（+9）=+4；
（5）0-9=O+（-9）=-9；
（6）9-0=9+0=9．
注意：
（1）依据有理数减法法则进行减法运算的关键是如何正确地根据法则将减法转变为加法，再按有理数的加法法则计算，特别是这里有两个符号的变化，即将运算符号“-”（减号）变为“+”（加号）的同时，改变减数的性质符号（使减数变成它的相反数）．
（2）虽然有理数减法的意义与算术中减法的意义相同，但它们的性质却截然不同．
例2．计算：
（-72）-19-65．
解法1：
（-72）-19-65=（-72）+（-19）-65=（-91）-65=（-91）+（-65）=-156．
解法2：
（-72）-19-65=（-72）-（19+65）=（-72）-84=（-72）+（-84）=-156．
解法3：
（-72）-19-65=（-72）+（-19）+（-65）=-（72+19+65）=-156．
注意：
（1）在进行计算的过程中，一定要分清“+”、“-”号在每个式子中是表示运算的加、减符号，还是表示数的正、负的性质符号．
（2）请比较本题三种解法，选出最好的一种．
例3．分别求数轴上A、B两点间的距离AB．
（1）
（2）
分析：
求数轴上两点间的距离就是求这两点所表示的有理数之差的绝对值．
解：
（1）AB=|3.2-（-4.6）|=|3.2+4.6|=|7.8|=7.8；
（2）
小结：
一般地，若数轴上A、B两点分别表示的数为a，b，则A、B两点的距离AB=|b-a|．
例4．若|x-3|=2，求x．
解法1：
∵|x-3|=2，∴x-3=2或x-3=-2∴x=2+3，或x=-2+3x=5，或x=1．
答：
x=5或x=1．
解法2：
设在数轴上，A点表示3，B点表示x，则|x-3|=2表示B点到A点的距离是2．
可是在数轴表示数x的点B到表示数3的点A距离为2的点有两个，
它们分别是1和5对应的点
、
，∴x=1或x=5．
（三）、有理数加减法的实际问题
例1．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自A地出发到收工时所走路线（单位：
千米）为：
+10，-3，+4，+2，-8，+13，-2，+12，+8，+5。
（1）问收工时距A地多远?
（2）若每千米路程耗油0.2升，问从A地出发到收工时共耗油多少升?
分析：
（1）求收工时距A地多远，应求出己知10个有理数的和，若和为正数，则此和是在A地前面距A地的路程；若和为负数，则此和的绝对值是在A地后面距A地的路程。
（2）要求耗油量，需求出汽车共行走的路程，即求各数的绝对值之和，然后乘以0.2升即可。
解：
（1）（+10）+（-3）+（+4）+（+2）+（-8）+（+13）+（-2）+（+12）+（+8）+（+5）
=[+2+
（2）]+[（-8）+（+8）]+（+10+4+13+12+5）+（-3）
=0+0+44+（-3）
=41（千米）；
（2）（|+10|+|-3|+|+4|+|+2|+|-8|+|+13|+|-21|+|+12|+|+8|+|+5|）×0.2
=67×0.2=13.4（升）
答：
收工时在A地前面41千米，从A地出发到收工时共耗油13.4升。
例2．股民老王上星期五买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每天该股票的涨跌情况（单位：
元）
星期
一
二
三
四
五
每星期涨跌
+3
+5.5
-1
-3.5
-5
（1）星期三收盘时，每股是多少元?
（2）本周内最高价是每股多少元?
最低价是每股多少元?
（3）已知老王买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时需付成交额1.5‰的手续费和1‰的交易税，如果
老王在星期五收益时将全部股票卖出，他的收益情况如何?
解：
（1）27+（+3）+（5.5）+（-1）=34.5（元）
答：
星期三收盘时，每股是34.5元
（2）本周内最高股价为：
27+（+3）+（+5.5）=35.5（元）
最低股价为：
27+（+3）+（+5.5）+（-1）+（-3.5）+（-5）=26（元）
答：
本周内最高价是每股为：
35.5元，最低价每股26元
（3）周五的股价是：
27+（+3）+（+5.5）+（-1）+（-3.5）+（-5）=26（元）
老王上周五买进股票时共付金额：
27×1000+27×1000×1.5‰=27040.5（元）
本周五收盘时老王拥有金额：
26×1000-26×1000×（1.5‰+1‰）
=2600-2600×
=26000-65
=25935（元）
∴老王的收益：
25935-27040.5=-1105.5（元）
答：
如果老王在星期五收盘时把全部股票卖出，他将亏损1105.5元。
（四）、有理数的加减运算练习：
1、选择题：
（1）下列各式：
①（+8）+（-10）=-2，②
，
③（-6）+（-2）=-8，④（-6）+（+5）=-11，⑤
其中正确的个数是（）。
A、1 B、2 C、3 D、4
（2）下列计算中，结果等于3的是（）。
A、|-8|+|+5| B、（-8）+（+5） C、|-7|+（-4） D、（-7）+|-4|
（3）要使两个有理数的和小于每一个加数，只要（）。
A、这两个加数一正一负，且负数的绝对值大。
B、这两个加数都是负数
C、这两个加数中，至少有一个数是负数
D、这两个加数中，有一个是零
（4）若|m|+m=0，则（）。
A、m＜0 B、m＞0 C、m≤0 D、m≥0
2、计算下列各题
（1）
（2）
（3）
（4）
3、10箱苹果，如果每箱以20千米为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数。
称量的记录如下：
+2，+1，0，-1，-1.5，-2，+1，-1，-1，-0.5．这10箱苹果的总质量是多少千克?
参考答案：
1、C（①，③，⑤正确）；C；B；C
2、
（1）0
（2）
（3）
（4）
3、解：
20×10+[2+1+0+（-1）+（-1.5）+（-2）+1+（-1）+（-1）+（-0.5）]=197（千克）
答：
这十箱苹果的总质量是197千克。
四、科学记数法和近似数
掌握科学记数法的形式和要点，能按照要求使用科学记数法，理解有效数字，近似数的意义，能按照要求进行近似计算。
（一）、情境创设的引入
________
________
观察
的特点，你发现了什么规律：
的特点是1后面有n个0，共有n+1位。
“先见闪电，后闻雷声”，这个现象的解释是：
光的传播速度大约为300000000m/s，而声音在常温下的传播速度大约为340m/s。
可见光的速度大大快于声音的速度。
（二）、探索知识
日常生活中我们还会遇到一些特别大的数，如
有人体中大约有25000000000000个红细胞。
全世界人口大约是6100000000人
地球的陆地面积约为149000000千米2
地球的海洋面积约为361000000千米2
算一算5000000×5000000
可以发现一些足够大的数在读、写、算都不方便，根据
的特点，我们可以这样来表示这些较大的数。
300000000=3×100000000=3×
25000000000000=2.5×10000000000000=2.5×
一般地，一个大于10的数可以写成
的形式，其中1≤a＜10，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法。
（scientificnotation）
例1、1972年3月发射的“先驱者10号”是人类发往太阳系外的第一艘人造太空探测器，至2003年2月人们最后一次收到它发回的信号时，它已飞离地球12200000000km，用科学记数法表示。
解答：
例2、用科学记数法表示下列各数：
（1）400320
（2）1000000（3）-726.4（4）
解答：
（1）
（2）
（3）
（4）
例3、下列各数的原数是多少?
（1）
（2）
（3）
（4）
解答：
（1）12500
（2）-303（3）300000（4）-4237.8
例4、一天有
秒，一年有365天，一年有多少秒?
（用科学记数法表示）
解答：
秒
（三）、随堂练习
1、用科学记数法表示
（1）696000
（2）-1230（3）10000（4）
解答：
（2）
（3）
（4）
2、太阳的直径约为1390000千米，用科学记数法表示为（）
A、
千米 B、
千米 C、
米 D、
米
解答：
D
3、2003年6月1日零时，三峡大坝正式下闸蓄水，到上午9时，只留3个导流底孔，保持至少3410
／秒的下泄流量，维持下游航运及发电的基本运行。
自6月1日上午9时起，预计24小时流过的水量至少为________米3。
（用科学记数法表示）
解答：
五、近似数及有效数字
近似地表示某一个量准确值的数叫做这个量准确值的近似数．
一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第一个不是零的数字起，到精确的数位止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．
例1．把下面的数分别四舍五入保留三个有效数字，并用科学记数法表示．
（1）24739000
（2）-35972
解：
（1）24739000≈24700000
．
（2）-35972≈-36000
．
注意：
①
（其中1≤a＜10，n为正整数）中，n为该整数的位数减去1．
②像近似数-36000中保留三个有效数字，写成科学记数法时，一定要写成
，不能写成
．
第二部分：
有理数知识点梳理
安徽 李庆社
一、有理数的意义
1、正数和负数
知识点1负数的引入
正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：
收入200元和支出100元、零上6
和零下
等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？
我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了正数和负数。
用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。
知识点2正数和负数的概念
（1）像3、1.5、
、584等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比0大。
（2）像－3、－1.5、
、－584等在正数前面加“－”（读作负）号的数，叫做负数。
负数比0小。
（3）零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。
注意：
（1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号，例如：
3、1.5、
也可以写作＋3、＋1.5、＋
。
（2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：
带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。
例如：
－a一定是负数吗？
答案是不一定。
因为字母a可以表示任意的数，若a表示的是正数，则－a是负数；若a表示的是0，则－a仍是0；当a表示负数时，－a就不是负数了（此时－a是正数）。
知识点3有理数的有关概念
（1）有理数：
整数和分数统称为有理数。
注：
（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。
但是本讲中的分数不包括分母是1的分数。
（2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。
（3）“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。
（2）整数包括正整数、零、负整数。
例如：
1、2、3、0、－1、－2、－3等等。
（3）分数包括正分数和负分数，例如：
、
、0.6、－
、－
、－0.6等等。
知识点4有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类：
（2）按正数、负数与0的关系分类：
注通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。
如果用字母表示数，则a>0表明a是正数；a<0表明a是负数；a
0表明a是非负数；a
0表明a是非正数。
2、数轴
数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，数与表示数的图形（如数轴）相结合的思想是学习数学的重要思想。
正如华罗庚教授诗云：
数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数缺形时少直觉，形少数是难入微。
数形结合百般好，隔裂分家万事非。
切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！
数与形的第一次联姻——数轴，使数与直线上的点之间建立了对应关系，揭示了数与形的内在联系，并由此成为数形结合的基础。
知识点1数轴的概念
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴
数轴的定义包含三层含义：
一，数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二，数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；三，原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）。
知识点2数轴的画法
（1）画一条直线（一般画成水平的直线）。
（2）在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。
（3）确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。
（4）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3……；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为－1，－2，－3……
注
（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取；
（2）确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点，从原点向右，依次表示为2，4，6，……；从原点向左，依次表示为－2，－4，－6，……；
知识点3数轴上的点与有理数的关系
所有的有理数都可以用数轴上的点表示。
正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。
知识点4利用数轴比较有理数的大小
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。
3、相反数
知识点1相反数的概念
（1）相反数的几何定义：
在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。
如下图，4与－4互为相反数，
与－
互为相反数。
（2）相反数的代数定义：
只有符号不同的两个数（除了符号不同以外完全相同），我们说其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
知识点2相反数的表示方法
一般地，数a的相反数是－a。
这里a表示任意的一个数，可以是正数、负数、或者0。
知识点3多重符号的化简
（1）在一个数的前面添上一个“＋”号，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5。
（2）在一个数的前面添上一个“－”号，就成为原数的相反数。
如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3。
4、绝对值
知识点1绝对值的概念
（1）绝对值的几何定义：
一个数a的绝
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