计算物理及其应用习题及答案.docx
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计算物理及其应用习题及答案
计算物理及其应用习题及答案
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第一章计算物理导论
1.1计算物理的性质是什么,试举例说明计算物理在哪些学科中有重要应用,1.2试阐述计算机模拟方法与理论、实验方法相比有什么特殊的优点和局限性。
1.3试阐述计算物理学和实验物理及理论物理的关系,
1.4计算物理在物理学中主要用于什么方面,
1.5并行计算有什么优点,
第二章有限差分数值求解
2.1方程求根有哪些基本的方法,
2.2简述龙贝格（Romberg）积分方法的基本思想和基本步骤。
2.3试简述Runge-Kutta法方法的基本步骤。
du,,cost,2.4设有初值问题dt,
u（0）0,,
写出显式和隐式Euler求解公式。
du,,,u,2.5设有初值问题dt,
u（0）1,,2,dxmkx，,0,2dt写出预估-矫正Euler法的求解公式。
dx,,02.6二阶显式Runge-Kutta法有几种常用的格式,它们和其他方法有什么联系,,dt0t,,
弹簧振子所满足的初值问题:
2.7,xa,00t,,,
写出它的一种二阶显式求解公式。
第三章格林函数在物理学中的应用3.1与其他数值方法相比，格林函数计算纳米结构的电子输运有哪些优点,3.2简述用格林函数方法计算二终端纳米结构电导的过程。
3.3什么是格林函数,格林函数的物理意义是什么,
3.4写出二维半无限长的电极表面格林函数和热极表面格林函数的表达式。
3.5弹道区，扩散区，以及局域区的定义，举例说明什么样的体系才可以看作是答案参见我的新浪博客:
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弹道区，扩散区，以及局域区。
3.6晶体具有晶格周期性，写出紧束缚近似下一维简单格子，二维正方格子，以
kE及三维立方格子的能量与波矢的色散关系。
第四章蒙特卡洛方法
4.1简要叙述蒙特卡洛方法的基本思想。
4.2蒙特卡洛方法对随机数有较高的要求，然而实际应用的随机数通常都是通过某些数学公式计算而产生的伪随机数，但是，只要伪随机数能够通过随机数的一系列的统计检验，我们就可以把它当作真随机数放心使用。
在产生伪随机数的方法中，有比较经典的冯?
诺曼平方取中法和线性同余法，请分别写出它们的递推关系式,对于伪随机数一般需要做哪些统计检验（至少写出四个）,4.3蒙特卡洛方法计算中减少方差的技术有哪些,
4.4设连续随机变量的分布密度函数为f（x）,在数学上它的分布函数应当为x,1Fxfxdx（）（）,,,,F（）,,,。
试证明得到的是满足分布密度函数的一个抽样值。
12xdx,04.5若用蒙特卡罗算法计算定积分，请给出其求解原理与计算步骤。
（）x04.6简要叙述变分蒙特卡洛方法求解基态本征能量E0和基态本征态波函数基本原理，并以一维情况为例说明蒙特卡洛计算步骤。
4.7遗传算法的搜索机制是什么,
第五章经典分子动力学方法
5.1分子动力学模拟的时间步长如何选择,
5.2Verlet算法中分子动力学计算的简单步骤是什么,
5.3简述分子动力学模拟步骤。
第六章第一原理方法
6.1简述绝热近似的基本内容。
6.2简述局域密度近似的基本内容。
6.3晶体硅的晶胞结构中，有几个不等价的原子，分别处于哪些位置,6.4什么是团簇的幻数,
答案参见我的新浪博客:
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6.5什么是单电子近似,
6.6什么是赝势,
6.7简述能带理论中的基本处理方法
6.8简述Kohn-Sham方法的特点。
6.9密度泛函理论的基本思想及基本定理。
第一章计算物理导论
1.1答案要点:
（1）计算物理是用计算机作为实现手段的实验物理或“计算机实验”。
（2）计算物理是一门新型的边缘学科，物理学、数学、计算机科学三者结合的产物。
1.2答案要点:
计算物理的优点;1.省时省钱;2.具有更大的自由度和灵活性;3.能够模拟极端条件下的实验。
计算物理的局限性:
1.不能获得物理定律和理论公式;2.计算结果缺乏严格的论证，其结果仍需实验验证。
1.3答案要点:
计算物理方法是除理论方法和实验方法之外的第三种研究手段，计算物理现已成为物理学研究的三大支柱之一，它与实验物理和理论物理的关系如下图:
1.4答案要点:
计算物理在物理学中有四大应用领域:
（1）计算机数值分析:
通常在物理研究中，我们从已知的物理规律出发得到描写物理过程的抽象数学公式后，最后或许要作数值求解以便与实验结果对照或作为实验的参考数据。
例如:
中子输运问题
（2）计算机符号处理:
利用计算机的符号处理系统进行解析计算、公式的推导和高精度的数值计算。
例如:
多重不定和定积分;（4）计算机实时控制:
使物理实验可以在没有人在场的情况下自己监测设备的正常运行，自动采集和分析实验数据。
（4）计算机模拟，利用计算机进行的物理实验或“计算机模拟答案参见我的新浪博客:
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实验”，例如:
第一性原理、分子动力学模拟、蒙特卡罗模拟。
1.5答案要点:
（1）并行计算可以大大加快运算速度，即在更短的时间内完成相同的计算量，或解决原来根本不能计算的非常复杂的问题。
（2）提高传统的计算机的计算速度一方面受到物理上光速极限和量子效应的限制，另一方面计算机器件产品和材料的生产受到加工工艺的限制，其尺寸不可能做得无限小。
因此我们只能转向并行算法。
（3）并行计算对设备的投入较低，既可以节省开支又能完成计算任务。
并行计算（ParallelComputing）是指同时使用多台计算机或一台计算机多个处理器协同合作解决计算问题的过程，其主要目的是快速解决大型且复杂的计算问题。
第二章有限差分数值求解
2.1二分法、迭代法、牛顿法等。
2.2略
2.3略
2.4略
2.5略
2.6略
略2.7
第三章格林函数在物理学中的应用3.1与其他的一些数值方法如有限元法、转移矩阵法、散射矩阵法、模式匹配法等相比较，格林函数方法能够很方便的处理磁场和无序（掺杂）等问题，而且能处理大尺寸的介观纳米体系的电子输运性质。
（1）在系统的某个区域加入磁场时，只需要考虑一个Peierls相位因子，而不需要计算每个区域在磁场下的波函数这一复杂的问题。
（2）对于无序和掺杂，在紧束缚近似下只需要修正不同格点的格点能和hopping能量。
（3）当系统的自由度很大时，我们可以采用迭代的格林函数方法来处理这些答案参见我的新浪博客:
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大体系的输运问题。
3.2略
3.3[参考答案]:
1G,EH,第一步:
写出电极的单列格林函数，
第二步:
利用迭代、递归等方法计算出电极或热极的表面格林函数
第三步:
写出电极或热极与中心散射区的耦合项和自能
第四步:
利用递归或者全格林函数方法求得整个体系的总的格林函数
Caroli公式计算体系的传输系数。
第五步:
根据
全格林函数是将中心散射区看成一个整体，直接写出体系的总的格林函数;而递归格林函数是将中心散射区看成是由许多子列构成，利用递归迭代技术求出整个体系的格林函数。
3.4[参考答案]:
散射矩阵，模匹配等方法在计算时首先必须要写出体系的波函数，然后根据波函数的连续性和边界条件进行计算，比如计算粒子的传输几率。
然而对于一些复杂的体系，有时我们无法获得其波函数，因此用散射矩阵，模匹配等方法来计算就显得不是很方便。
然而格林函数方法则避免了散射矩阵，模匹配这些方法的不足，他在计算中并不需要体系的波函数，而是直接从哈密顿量出发，写出单列的格林函数，再通过递归、迭代等方法获得总的格林函数，最终计算出体系的透射系数，也就是粒子的传输几率。
3.5[参考答案]:
答案参见我的新浪博客:
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从图中可以看出，随着从体材料到二维、一维和零维结构的过度，载流子态密度由连续的能带变化为台阶状（二维）、锯齿状（一维），最终完全成为孤立的能量分布（零维）。
这些差异将导致不同纬度的介观纳米结构拥有不同的量子现象和输运机制，如量子点中的遂穿效应，量子线中的电导台阶化等。
3.6[参考答案]:
n
（1）H的第n个本整函数也是G（λ）的一个本征函数，对于G（λ）的本征
,,，，n值是。
,nnGZ=，，,,Z,nn
（2）
（3）格林函数可以确定H的本征值，且与本征函数密切相关，H是线性的厄
GZ，，米算符，H的本征值都在实轴上，定义在复数平面上，设H有N个分立的
n本征值（n=1,2„n）,当体系自由度加大时，本征值数目N也加大，且本征值
N,,之间间距变小，但时，一部分本征值连在一起，形成了连续谱，但仍还可能保留一部分分立本征值。
这是可以把格林函数写成:
,,,nnnnGZ=,dn，，,,ZZ,,,,nn，前一项表示对分立的本征值求和，后一项表示对连续谱部分积分。
N（4）由格林函数可以求态密度:
,,,,,,,，，，，,nn1,态密度表示为:
,,,,,,,dn，，，，n,对于连续谱:
11,1,,,,,,TG,,,,,NTGImlim，，，，，，，，rrN,,i2,,经过推导可得:
表示出态密度与格林函数的相互关系。
GZlGZl,，，，，ll（5）局部格林函数定义为:
，局部格林函数可以给出许多局部的特性，它与局部态密度及本征函数都有密切的关系，推导可得局部态密答案参见我的新浪博客:
第7页共13页11,,,,G,,,,,GIm，，，，，，llllli2,,度表达式为，。
在求解无序体系本征问题时，往往采用先求局部格林函数，再由局部态密去讨论本征函数特性的方法。
第四章蒙特卡洛方法
4.1对求解问题本身就具有概率和统计性的情况，蒙特卡洛方法是按照实际问题所遵循的概率统计规律，用计算机进行直接的抽样试验，然后计算其统计参数。
当问题本身就不具有概率和统计性时，或者可以抽象为某个确定的数学问题时，蒙特卡洛方法则首先建立一个恰当的概率模型，即确定某个随机事件A或随
，使得待求解的解等于随机事件出现的概率或随机变量的数学期望值。
机变量X
然后进行模拟实验，即重复多次地模拟随机事件或随机变量，最后对随机实验结果进行统计平均，求出A出现的频数或X的平均值作为问题的近似解。
4.2冯?
诺曼平方取中法:
rr22xx,[10]（mod10）nn，1
2r,,x/10nn（十进制）
rr22xx,[2]（mod2）nn，1或者:
2r,,x/2nn（二进制）
xaxcm,，（）（mod）nn，1线性同余法:
,xm/nn
、c、x0、m均为大于零的整数，分别叫做乘子、增量、初值和模。
其中，a
伪随机数需要做的统计检验有:
均匀性检验;独立性检验;组合规律检验;无连贯性检验;参数检验等。
4.3一方面可以增加随机试验次数，但是精度提高得非常缓慢，另一方面可以采用不同的抽样方法来减少误差，如:
分层抽样;重要性抽样;控制变量法（相关抽样法）;对偶变量法。
,x4.4证明:
该子样中的概率为:
0（）Fx,1pxpFxpFxdxdxFx{}{（）}{（）}01（）,,,,,,,,,，,,,,,0
1,,,F（）故是满足分布密度函数的一个抽样值。
答案参见我的新浪博客:
第8页共13页b2fxdx（）fxx（）,,a4.5取，由于定积分的几何意义是被积函数在积分区间上的图
Dxyxy,,,,,{（,）01,01}形构成的曲边梯形面积，而曲边梯形是正方形的一部分。
显然，D的面积为1。
用随机投点的方法在区域D内产生充分多的均匀分布的点（至少2000个点）。
设随机点总数为N，这些点随机地落入D中任何一处。
于是，落入曲边梯形内点的数目m与N之比反映了曲边梯形面积与正方形D的面
积之比如图1所示。
由此可计算曲边梯形面积。
bmm（）的面积=fxdxD,，，，,aNN
蒙特卡罗算法求定积分算法
第一步:
产生正方形D中的N个均匀随机数
PxyjN（,）（1,2,,）,jjj;
Pyfx,（）jjj第二步:
根据的坐标判断，如果则认为
Pj落入曲边梯形区域内。
统计落入曲边梯形区域内的随机点数目m;mbs=fxdx（）,Na第三步:
输出作为定积分的近似值，结束。
4.6选择一个试探波函数，然后用蒙特卡洛方法计算在此试探波函数下的变分
能量，从而寻找基态波函数和基态能量。
这里选择试探波函数要求物理上要合理，它也可以用一个或几个调节参数来改变其值。
假定试探函数为实函数，则变
分原理要求在此试探波函数下的能量平均值应当大于或等于基态能量值，即
21,,,H,,（）[（）（）]xxHxdx,,,,。
EHE,,,,,,0try2,,,,（）xdx,,
1,,,（）（）xHx,其中可以看成为“局域能量”。
如果试探波函数就是基态波函数，则上式中的等号成立。
一般情况下选择的试探函数只能是一个近似的估计函
yz,数。
由哈密顿量的表示可以得到该局域能量的公式,,112,,,,,,,,,，HV,i2m,ix。
2{,,,}xxx,（）x12N采用Metropolis方法，按的分布产生个位形，得到试探波函
EtryN数对应的能量平均值为1EHx,,,,,（）,tryiN,1i
答案参见我的新浪博客:
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,H,,H不断改变试探波函数的值，并计算试探能量的平均值，直到取得的
,H最小值。
这时得到的试探波函数和能量平均值下限就是基态波函数和基态
E0能量本征值。
一维的量子体系的变分法蒙特卡洛模拟步骤:
（）xi
（1）选择一个物理上合理的近似基态波函数作为试探波函数。
2,（）xi
（2）采用Metropolis方法，按照分布密度函数随机抽取个位形
（）iE{,,,}xxxtry12N，计算能量平均值。
（）x[,],,,i（3）改变试探波函数中的变分参数值，使得的值在区间内随机变
（1）i，E,,（）（）xx,tryii，1化一个小量，即，重复
（2）中能量平均值的计算得到。
（1）（）ii，,,,EEE,,E0itrytry，1i，1（4）计算能量平均值的改变值，如果，则接受这一个,,（）（）xx,ii，1的变化;否则，便拒绝这个改变回到第（3）步，重新选择试探波函数的变分参数值，改变试探波函数的值。
（5）返回到第二步，反复循环直到能量平均值不再有明显的改变为止。
（）xM如果经过M次被接受的能量改变后，能量平均值不再有明显的改变，则和（）MEtry分别是基态波函数和基态的能量本征值。
变分蒙特卡洛方法与随机游走方法的结合可以得到很好的试探函数,进而求出很准确的基态能量。
4.7略
第五章经典分子动力学方法
5.1分子动力学计算的基本思想是赋予分子体系初始运动状态之后利用分子的自然运动在相空间中抽取样本进行统计计算，时间步长就是抽样的间隔，因而时间步长的选取对动力学模拟非常重要。
太长的时间步长会造成分子间的激烈碰撞，体系数据溢出;太短的时间步长会降低模拟过程搜索相空间的能力，一般来说，时间步长应该设为分子运动的最小振动周期的1/10左右为宜。
5.2Verlet算法，速度项相消，计算坐标时无需速度出现。
简单步骤:
设定粒子的初始位置和速度;
答案参见我的新浪博客:
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根据粒子的位置计算每个粒子的受力;
根据粒子的位置、速度和受力，计算粒子的新位置和新速度;更新粒子的位置和速度，然后回到2步骤。
5.3
第一步模型的设定。
也就是势函数的选取。
势函数的研究和物理系统上对物质的描述研究息息相关。
最早是硬球势，即小于临界值时无穷大，大于等于临界值时为零。
常用的是LJ势函数，还有EAM势函数，不同的物质状态描述用不同的势函数。
模型势函数一旦确定，就可以根据物理学规律求得模拟中的守恒量。
第二步给定初始条件。
运动方程的求解需要知道粒子的初始位置和速度，不同的算法要求不同的初始条件。
如:
verlet算法需要两组坐标来启动计算，一组零时刻的坐标，一组是前进一个时间步的坐标或者一组零时刻的速度值。
第三步趋于平衡计算。
在边界条件和初始条件给定后就可以解运动方程，进行分子动力学模拟。
但这样计算出的系统是不会具有所要求的系统的能量，并且这个状态本身也还不是一个平衡态。
为使得系统平衡，模拟中设计一个趋衡过程，即在这个过程中，我们增加或者从系统中移出能量，直到持续给出确定的能量值。
我们称这时的系统已经达到平衡。
这段达到平衡的时间成为驰豫时间。
第四步宏观物理量的计算。
实际计算宏观的物理量往往是在模拟的最后阶段进行的。
它是沿相空间轨迹求平均来计算得到的。
第六章第一原理方法
6.1这是将晶体中电子的运动与晶格粒子的运动分开的另一种方法。
这一方法依然考虑到电子的质量比晶格粒子的质量小得多，但它与静近似不同的是，在研究答案参见我的新浪博客:
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电子的运动时，它认为电子能够紧紧地跟随运动着的晶格粒子，因此电子的运动与晶格粒子的瞬时位置有关。
这样，在电子的运动方程中，晶格粒子的位置是以参数的形式出现的。
反过来，在晶格粒子的运动方程中，电子系统的本征能量也以参数的形式出现。
这种互相联立的方程系统一般通过平均场方法结合变分方法求解，或者通过自恰的方法数值求解
6.2密度泛函理论最普遍的应用是通过Kohn-Sham方法实现的。
在Kohn-ShamDFT
静电势中的电子相互作用而的框架中，最难处理的多体问题（由于处在一个外部
产生的）被简化成了一个没有相互作用的电子在有效势场中运动的问题。
这个有效势场包括了外部势场以及电子间库仑相互作用的影响，例如，交换和相关作用。
处理交换相关作用是KSDFT中的难点。
目前并没有精确求解交换相关能EXC的方法。
最简单的近似求解方法为局域密度近似（LDA）。
LDA近似使用均匀电子气来计算体系的交换能（均匀电子气的交换能是可以精确求解的），而相关能部分则采用对自由电子气进行拟合的方法来处理。
6.32个，一个位于立方体的顶角位置，另一个位于体对角线的四分之一处。
6.4原子团簇介于原子分子和宏观凝聚物质之间,一般产生于非平衡条件,其结构和性质随所含原子数目而变化。
当含有某些特定原子数时,团簇特别稳定,这就是“幻数”。
6.5固体由原子组成，原子又包括原子实和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。
为使问题简化，首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题，这就是是单电子近似。
6.6赝势就是把离子实的内部势能用假想的势能取代真实的势能，但在求解波动方程时，不改变能量本征值和离子实之间区域的波函数。
由赝势求出的波函数叫赝波函数，在离子实之间的区域真实的势和赝势给出同样的波函数。
6.7第一步简化:
绝热近似:
离子实质量比电子大，离子运动速度慢，讨论电子问题，认为离子是固定在瞬时位置上;
第二步简化:
利用哈特里一福克近似或者密度泛函理论:
多电子问题简化为答案参见我的新浪博客:
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单电子问题，每个电子是在固定的离子势场以及其它电子的平均场中运动;
第三步简化:
所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场。
6.8
a.通过引入N个单电子波函数，严格计算出了动能的主要部分，代价是需要求解N个方程。
除了更一般的local势外，KS方程与Hartree方程具有相似的形式，求解KSb.
方程的计算量也相差不大，但比求解具有non-local势的HF方程要简单。
c.尽管Hartree、Hartree-Fock和Kohn-Sham方程都提供了一个多电子体系的单电子方法，但三者有本质的差别，前两者一开始就引入了近似，而Kohn-Sham原则上是严格的。
6.9基本思想是:
原子、分子和固体的基态物理性質可以用粒子密度函数来描述。
基本定理:
定理一:
一个多电子系统的基态电子密度ρ（r）唯一地对应外势Vext，而此系统的任何观察量Ô，其基态的期望值仅是基态密度函数的唯一泛函。
定理二:
若Ô为HamiltonianHˆ，则系统基态的总能泛函为H[ρ]?
EVext[ρ].
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