倍角公式
二倍角公式
sin2tr=SinffCO唇ar+的口厲<：
0宫疽二25i∏ffcosff
_cos2a=tos2a-sin2a-2casza-1=1—2sin2rr2tana
tan2tr二=—
1-UnZOi
三倍角公式
sin3ff=3si∩Λ-4sin3tf
cos3λ二4cos3a-3cosσ
sin3»=ISin.arsin（60o-ff）sin（6OD+Sl
cos3σ=4cos∣trcos（600-σ}cas（60o+CC）
t3∏3ar=t3natan（60o-β）tan（60o÷a}
证明：
.3
Slna
=sin（a+2a）
=sln^2acosa+cos^2a∙Sina
=2Sina（I-Sin^2a）+（1-2sin^2a）sina
=3Sina-4sin^3a
3
CoSa
=cos（2a+a）
=cos^2acosa-sin^2asina
=（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^2a）cosa
=4cos^3a-3cosa
Sin3a
=3Sina-4sin^3a
=4sina（3∕4-sin^2a）
=4sina[（√3∕2sina][（√3∕2）+sina]
=4Sina（Sin60+sina）（sin60-Sina）
=4sina*2sin[（60+a）∕2]cos[（60-a）∕2]*2sin[（60-a）∕2]cos[60+a）∕2]
=4SinaSin（60+a）sin（60-a）
3
cosa
=4cos^3a-3cosa
=4cosa（cos^2a-3∕4）
=4cosa[cos^2a-（√3∕2）^2]
=4cosa（cosa-cos30°）（cosa+cos30°）
=4cosa*2cos[（a+30°）∕2]cos[（a-30）∕2]*{-2sin[（a+30）/2]sin[（a-30）∕2]}
=-4cosasin（a+30°）sin（a-30°
=-4cosasin[90°-（60°-a）]sin[-90+（60°+a）]
=-4cosacos（60°a）[-cos（60+a）]
=4cosacos（60°-a）cos（60°a）
上述两式相比可得：
tan3a=tanatan（60°-a）tan（60°+a）
四倍角公式
sin4a=-4*[cosa*sina*（2*sina^2-1）]
cos4a=1+（-8*cosa^2+8*cosa^4）
tan4a=（4*tana-4*tana^3）∕（1-6*tana^2+tana^4）
五倍角公式
niπ5α二16SiiIz3α-20sin3α+5βinα
cos5α二16∞s5tf-20cos3α+5∞sα
tdiι5αι=Una-
5—IOtall2a÷taπ4Λr
1-IOtan2A+5tania
n倍角公式
应用欧拉公式：
eιw=COSfl+isi∏ff
上式用于求n倍角的三角函数时，可变形为：
G£?
sn.or+isinna=eiwσ二（知二（COSna=Re（（CoSflr+isina）re）
Sintιa-IIn（（CCSrr+isina）rι）
其中，Re表示取实数部分，Im表示取虚数部分.而
（ss-iC^所以,
n倍角的三角函数
CCSrta=C^c"-CJCn*⅛2÷Clcr*s4-CiCA"⅛fi+
*（U+Cf+C+α+•…）
-c11^i（cjcj+cιci÷αq÷……）
+c…CC汁CG+）
一C…（g+…）
SinnΛ=Cic^1s-C加一L+C论—曾一Clc—L
FLC^l（Ci+CJ÷CHC+……）
-C"'3（C：
C；+CQ+CQ+……）
+严（CQ+Cg+）
-C-7（g+）
÷……]
半角公式
5in2=Zt
故有:
CZSinσ+bcosα
万能公式
辅助角公式
asina+bcosα=√fl≡+b≡sin（α+φ},tan⅛p=-
证明:
-CoSaI
Vtf2+b2f盘^Sinα+”
∖^ς+P√^ς+P
=Vo2+b3（COS（P-Sinor+sin二Va2Tb2Sin（α÷（P）
三角形定理
正弦定理
在任意ZABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,三角形外接圆的半径为R.则有:
飢二缶二■二褰
SinASinBSinC
正弦定理变形可得：
S--AbsinC=-flcsinB=-⅛csiπA=—
2224R
a二2R5iftA1b-2RsinBrC二2⅛⅛Ca:
b:
C=SinAISinB:
SinC
余弦定理
c2-tιz⅛bz-2αb同理，也可描述为：
b2=c2⅛flz-2βccos（^）1
a2-
-b3+c2-2hccos（flr}
勾股定理是余弦定理的特例。
当F
为90°时,35（y）=Q,余弦定理可简化为
CI-
二a2+p,即勾股定理。
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