四年级奥数知识点定义新运算.docx

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四年级奥数知识点定义新运算

四年级奥数知识点：

定义新运算

23=6

都是2和3，为什么运算结果不同呢?

主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的+，-，，运算不相同.

我们先通过具体的运算来了解和熟悉定义新运算.

例1设a、b都表示数，规定a△b=3a2b，

①求3△2，2△3;

②这个运算△有交换律吗?

③求（17△6）△2，17△（6△2）;

④这个运算△有结合律吗?

⑤如果已知4△b=2，求b.

分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：

用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：

①3△2=33-22=9-4=5

2△3=32-23=6-6=0.

②由①的例子可知△没有交换律.

③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：

17△6=317-26=39;再计算第二步

39△2=339-22=113，

所以（17△6）△2=113.

对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2=36-22=14，其次

17△14=317-214=23，

所以17△（6△2）=23.

④由③的例子可知△也没有结合律.⑤因为4△b=34-2b=12-2b，那么12-2b=2，解出b=5.

例2定义运算※为a※b=ab-（a+b），①求5※7，7※5;

②求12※（3※4），（12※3）※4;

③这个运算※有交换律、结合律吗?

④如果3※（5※x）=3，求x.

解：

①5※7=57-（5+7）=35-12=23，7※5=75-（7+5）=35-12=23.

②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：

3※4=34-（3+4）=5，再计算第二步12※5=125-（12+5）=43，

所以12※（3※4）=43.

对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3=123-（12+3）=21，其次

21※4=214-（21+4）=59，所以（12※3）※4=59.③由于a※b=ab-（a+b）;

b※a=ba-（b+a）

=ab-（a+b）（普通加法、乘法交换律）

所以有a※b=b※a，因此※有交换律.

由②的例子可知，运算※没有结合律.

④5※x=5x-（5+x）=4x-5;

3※（5※x）=3※（4x-5）

=3（4x-5）-（3+4x-5）

=12x-15-（4x-2）

=8x-13

那么8x-13=3

解出x=2.

③这个运算有交换律和结合律吗?

的观察，找到规律：

例5x、y表示两个数，规定新运算*及△如下：

x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、n、k均为自然数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.

分析我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据△的定义：

1△2=k12=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.

（1△2）*3=a*3，按*的定义：

a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）*3的值，我们就要先求出k、m、n的值.通过1*2=5可以求出m、n的值，通过（2*3）△4=64求出k的值.

解：

因为1*2=m1+n2=m+2n，所以有m+2n

=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：

①当m=1，n=2时：

（2*3）△4=（12+23）△4

=8△4=k84=32k

有32k=64，解出k=2.

②当m=3，n=1时：

（2*3）△4=（32+13）△4

=9△4=k94=36k

所以m=l，n=2，k=2.

（1△2）*3=（212）*3

=4*3

=14+23

=10.

在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：

抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：

定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.