三角形四心和向量.docx
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三角形四心和向量
三角形的四心与平面向量总结
三角形“四心'向量形式的充要条件应用
知识点总结
O是「ABC的重心u0A
OBOC=0；
s
o是AABC的重心，则虫0C
P^=1（-石-pC）
3
1,F-
二sAOC=Saob=3SABC故OAOBOC=0；二G为ABC的重心.
O是ABC的垂心：
=0A
OB二OBOC二OCOA；
o是ABC（非直角三角形）的垂心，则SB0C:
SAOC:
Saob二tana:
tanB:
anC
故tanAOAtanBOBtanCOC=0
222
O是匚ABC的外心二丨OA|=|OB|=|OC|（或OAOBOC）
0是ABC的外心则SbocSaoc：
SAo^sinBOCsinAOCsinAOB=sir2A:
sin2B:
sir2C
故sin2A0Asin2B0Bsin2C0C二0
OA、（-^^_^）=OB*_-B^）=OC、,（CA）=0
O是内心ABC的充要条件是|AB|AC|BA||BC||CA||CB|
引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记AB,BC,CA的单位向量为*£2®，则刚才0是二ABC内心的充要条件
可以写成
0A（e1e3）=0B（eie2）=0C（e2e3）=0，O是ABC内心的充要条件也可以是aOA+bOB+cOC=0。
若0是AABC的内心，则s店oc:
S^aoc:
S^aob=a:
b:
c
故a0Ab0Bc0C=0或sinA0AsinB0BsinC0C=0；
|AB|PJ|BC£|CA|PB=0=P是ABC的内心；
向量’（丄出虫®）（'=0）所在直线过「ABC的内心（是.BAC的角平分线所在直|AB||AC|
（一）将平面向量与三角形内心结合考查
ABAC）Z
ABac
例1.O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足0P=0A•'（-
则P点的轨迹一定通过ABC的（）
（A）夕卜心（B）内心（C）重心（D）垂心
AB———-
解析：
因为是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为e禾口e2,又OP-OA=AP，则原
H
式可化为AP二’（e,-e2），由菱形的基本性质知ap平分.BAC，那么在ABC中，ap平分.BAC，则知选B.
（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例2.H是△ABC所在平面内任一点，HAHB=HBHC二HCHA：
=点H是AABC的垂心.由HAhb=HBHC：
二HB（HC_HA）=o：
二HBAC=0：
二HB_AC,
同理HC_AB，HA_BC.故H是AABC的垂心.（反之亦然（证略））
例3.（湖南）P是MBC所在平面上一点，若PAFB二PB・PC二PCPA，则P是MBC的（D）
A.外心B.内心C.重心D.垂心
解析:
由PA卩B=PBPC得PAPB-PBPC=0.即PB（PA-PC）=0,即PBCA=0则PB_CA,同理PA_BC,PC_AB所以P为ABC的垂心.故选D.
（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4.G是AABC所在平面内一点，GAGB•GC=0：
=点G是AABC的重心.
证明作图如右，图中GBGC=GE
连结BE和CE,则CE=GB，BE=GC：
=BGCE为平行四边形二•D是BC的中点，AD为BC边上的中线.
将GBGC=GE代入GAGBGC=0，
得GA-EG=0=GA-_GE--2GD，故G是AABC的重心.（反之亦然（证略））
・1■1例5.P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心=PG（PA-PB-PC）.
3
证明PG二PAAG二PBBG二PCCG二3PG=（AGBGCG）（PAPBPC）
••G是AABC的重心/-GAGBGC=0=AGBGCG=0，即3PG=PAPBPC
1■
由此可得PG（PAPBPC）.（反之亦然（证略））
例6若O为-ABC内一点,
OAOBOC=0，则O是ABC的（
A.内心
B.外心C.垂心D.重心
解析：
由OAOBOC=0得OBOC
T1T由平行四边形性质知OE=?
OD，0円=2OE
（四）将平面向量与三角形外心结合考查
OAOB=OC，则O是ABC的（
例7若O为ABC内一点,
，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则
，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选
OBOC=OD，
A.内心B.外心C.垂心D.重心
解析：
由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。
故O是ABC的外心，选b。
（五）将平面向量与三角形四心结合考查
例8.已知向量OP1，OP2，OP3满足条件OP1+OP2+OP3=0,|OP1|=|OP21=1OP31=1，
求证H1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）
一—一一一1
证明由已知OPr+OP2=-OP3，两边平方得OPrOP2=-
2
一一一一1
同理OP2OP3=OP3OR=-
•/P1P2|=|P2P3|=|P3P1|=■-3，从而AP1P2P3是正三角形
反之，若点O是正三角形△卩仲彳卩3的中心，则显然有OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|.
即0是△ABC所在平面内一点，
置关系:
2倍。
求证OG=」OH
3
=-QH
3
即QH=3QG，故Q、G、H三点共线，且QG:
GH=1:
2
例10•若O、H分别是AABC的外心和垂心.求证OH=OAOBOC.证明若△ABC的垂心为H，外心为O,如图.
连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.
「•AD_AB，CD_BC.又垂心为H,AH_BC，CH_AB，
••AH/CD，CHAD，
二四边形AHCD为平行四边形，
•AH=DC=DOOC，故OH=OAAH=OAOBOC.
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线"；
（2）三角形的重心在“欧拉线"上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的“欧拉定理"的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
例11•设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.
1—---证明按重心定理G是△ABC的重心=OG（OA-OB-OC）
按垂心定理OH=0AOBOC
1—由此可得OGOH.
3
补充练习
1•已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
■11'1
OP=（OA+-OB+2OC）,则点p一定为三角形abc的
322
A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）
C.重心D.AB边的中点
1.B取AB边的中点M，则OAOB=2OM，由OP
30P=30M2MC，-MPMC，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选
3
B.
2•在同一个平面上有ABC及一点o满足关系式:
+着=0?
+TB2
ABC的
（D
）
A
外心B
内心
C重心
D垂心
11
rTt
2.
已知AABC
的三个
顶点A、
B、C及平面内一点P满足：
PAPBPC=0，贝UP为.ABC的
（
C）
A
外心B
内心
C重心
D垂心
—222
0A+BC-0B
，则o为
3.已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：
OP=OA•■（AB-AC），贝Up的轨迹一定通过厶abc的（C）
A
外心
B
内心C
重心
D垂心
4.已知△ABC，
J
＞为三角形所在
平面上的动点，且动点P满足：
PA*PCPA*PBPB
•PC
=0，贝UP点为三角形的
（D
）
A
外心
B
内心C
重心
D垂心
T
T
5.
已知△ABC
P为三角形所在平
面上的一点，且点P满足
:
aPAb
PB
c*PC£，贝Up点为三角形的
（
B）
A
外心
B
内心C
重心
D垂心
6.
在三角形
ABC中，
动点
22
p满足：
CA-CB-
2AB*CP，
则P
点轨迹一定通过△ABC的
（
B）
A
外心
B
内心C
重心
D垂心
ttABAC
7.已知非零向量AB与AC满足（+
|AB||AC|
A.三边均不相等的三角形LB.直角三角形C.等腰非等边三角形
Tr〔
解析：
非零向量与满足（上牟-上幺）=0，即角A的平分线垂直于BC，-AB=AC，又CSA二-A畀丿，小=一，
|AB||AC||AB||AC|23
所以△ABC为等边三角形，选D.
8.ABC的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为h，0H二m（0A'OB'0C），则实数m=」
9.点0是三角形ABC所在平面内的一点，满足OAOB=OBOC二OCOA，则点0是ABC的（B）
（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点
（C）三条中线的交点（D）三条高的交点
10.如图1,已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点，且AMxAB,AN=yAC，贝寸—亠—=3。
xy
■gC=o,
=o,有AG=］（ABZC）。
■---1
I11
得1，于是得3。
..X二"y=
3
例讲三角形中与向量有关的问题
教学目标：
1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法
2、向量的加法、数量积等性质
3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题
4、数形结合
教学重点：
灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题
教学难点：
针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题
教学过程：
1、课前练习
—22：
.2
1.1已知0是SBC内的一点，若0A=OB=OC，则0是△ABC的〔〕
A、重心B、垂心C、外心D、内心
1.2在△ABC中，有命题①AB-AC=BC:
②ABBCCA=0；③若ABAC•AB-AC僅0，则△abc
为等腰三角形；④若AB*AC•0,则aabc为锐角三角形，上述命题中正确的是〔〕
A、①②B、①④C、②③D、②③④
2、知识回顾
2.1三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法
2.2向量的有关性质
2.3上述两者间的关联
3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题
练习1、已知△abc中，AB二a,BC二b,b是△abc中的最大角，若a：
：
：
0，试判断厶abc的形状。
4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题
运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题
—1
练习2、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足OP二OA…ABBC，「三i0,•：
：
，I2丿丿
则动点P的轨迹一定通过厶ABC的〔〕
A、重心B、垂心C、外心D、内心
点P一定过AABC的〔〕
练习3、已知
O是△ABC所在平面内的一点，动点
—OB+OC、
AB
AC
OP一十扎
+-
，扎乏（0,Xc），则动点P一定过AABC的〔〕
2
AB
cosB
AC
cosC
）
A、重心B、垂心
C
、外心
D、内心
P满足
例5、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于m、n两点，且AM=x•AB,AN=y•AC，求证:
11
3
xy
6、小结
处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化，合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。
7、作业
1、已知0是△ABC内的一点，若OAOB■OC=0，则0是△ABC的〔〕
A、重心B、垂心C、外心D、内心
2、若△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1，且OAOBO^0，则OA*OB等于〔〕
11
A、B、0C、1D、-
22
3、已知O是AABC所在平面上的一点，A、B、c、所对的过分别是a、b、c若a*OA■b・OB，c・OC=0，则O是
△\BC的〔〕
4、已知P是△ABC所在平面内与A不重合的一点，满足AB-AC=3AP,_则P是△ABC的〔〕
A、重心B、垂心C、外心D、内心
5、平面上的三个向量OA、OB、OC满足OA+OB+OC=0，|oA=OB=0C=1，求证：
aabc为正三角
形。
6、在AABC中，0为中线AM上的一个动点，若AM=2，求OA（OB0C）
三角形四心与向量的典型问题分析
向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。
在高中数学“平面向量”（必修4第二章）
的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。
在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系。
下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。
既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。
重心”的向量风采
图⑴
【命题孑】_已知o是平面上一定点，A
OP=OA…（AB_AC），，j（0,|:
：
），贝yP的轨迹一
【解析】由题意A^-（ABAC），当…（0,=）
O
图⑵
B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足一定通过△abc的重心.
时，由于■（ABAC）表示BC边上的中线所在直线的
向量，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的重心，如图⑵
垂心”的向量风采
【命题3】
【解析】
PC丄AB，
PABC所在平面上一点J/A兰二PBP^PC_PA，贝HP是pBC雪心.
由『APB二PBPC，得PB（PA-PC）=0，即卩PBCA=0，所以PB丄CA•同理可证PA丄BC.•••P是厶ABC的垂心.如图⑶.
■-
B
图⑶
B
【命题4】已知O是平面上一定点，AB,C是平面上不共线的
个点，动点P满足
【解析】
sB
OP二OA
AC
ACcosC
-（0,•:
：
），则动点P的轨迹一定通过
△ABC的垂心.
AB
AC
宀心心.r+
ABcosBACcosC
ABBCACBC
——+—=|BG—'CB‘=0,所以AP表示垂直于BC的向量，即P点在过点A且垂直于
ABcosBACcosC
由题意AP=&!
—
，由于
cosB
+—
ACcosC
BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心，如图⑷.
内心”的向量风采
且AB二c,AC二b,BC二a•若alAbIBclC=0,
【命题5】已知I为△ABC所在平面上的一点,则I是厶ABC的内心.
【解析】
图⑸
图⑹
••TB=IAAB,IC=IAAC,
则由题意得（abc）IAbABcAC=0,
•••bABcAC二AC
•AB+ABAC=ACAB■
bc
abc
ABAC
TT
AB'AC分别为
AB和AC方向上的单位向量,
同理可证：
BI平分.ABC，CI平分.ACB•从而
•AI与/BAC平分线共线，即AI平分.BAC•
I是厶ABC的内心，如图⑸.
B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足
■-（0,•:
-），则动点
AB
AB
向量，故动点
【命题6】已知O是平面上一定点，A
【解析】由题意得AP二’
P的轨迹一定通过△ABC的内心.
，•‘•当八三（0,•：
：
）时，AP表示/BAC的平分线所在直线方向的
P的轨迹一定通过△ABC的内心，如图⑹.
四、“外心”
的向量风采
【命题7】
已知O是△ABC所在平面上一点，若OA”二0/=OC2，则O是△ABC的外心.
图⑺
图⑻
【解析】
若Oa'2-OB'则OA-QBnOC',
•&|OB=OC，则O是厶ABC的外心,
如图⑺。
【命题
7】已知O是平面上的一定点，AB,C
是平面上不共线的三个点，动点P满足
AB
co£
——-
AC
cOjs
，■（0,•：
：
），则动点P的轨迹一定通过△ABC的外心。
OB亠OC
【解析】由于过BC的中点，当…（0,-
2
+—ACACcosC
向量（注意：
理由见二、4条解释。
），所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过△ABC的外心,
如图⑻。
）时，九—AB—
ABcosB
表示垂直于BC的
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