综上，a的取值范围是a∈（0,1）∪（2,+∞）
例11．
区间[0,+∞）是单调函数．
解：
（1）当a≥1时，
又x1-x2<0∴f（x1）-f（x2）>0即f（x1）>f（x2）
所以，当a≥1时，函数f（x）在[0，+∞）上是单调减函数．
f（x1）=1，f（x2）=1，即f（x1）=f（x2），所以函数f（x）在区间[0,+∞）上不是单
调函数．
综上，当且仅当a≥1时，函数f（x）在区间（0,+∞]上是单调函数．
例12定义在R+上的函数f（x）满足①f
（2）=1，②f（xy）=f（x）+f（y）③当x>y时，有f（x）>f（y），如果f（x）+f（x-3）≤2，求x的取值范围．
解f（x）+f（x-3）=f（x2-3x）≤2=2f
（2）=f
（2）+f
（2）=f（4）
由③知x2-3x≤4∴x2-3x-4≤0
又∵f（x）定义域为x>0
[练习题]
值域与最值
A组
一．选择题
1．已知I=R，函数y=lgx的值域为P，y=ax（a＞0且a≠1）的值域为M，则下列等式中不正确的是（）
（A）（IM）∩P=φ（B）M∪P=P
（C）P∪（IM）=R（D）P∩M=M
5．函数y=f（x）的值域是[-2，2]，则函数y=f（x+1）的值域是（）
（A）[-1，3]（B）[-3，1]（C）[-2，2]（D）[-1，1]
二．填空题
6．若x+2y=4，x＞0，y＞0，则lgx+lgy的最大值是___________
范围是_________
8．f（x）=ax2–c（a≠0），如果-4≤f
（1）≤-1，-1≤f
（2）≤5，那么f（3）的取值范围是___________
三．解答题
B组
一．选择题
1．函数y=-x2–2x+3（-5≤x≤0）的值域是（）
（A）（-∞，4]（B）[3，12]（C）[-12，4]（D）[4，12]
（A）（-∞，+∞）（B）（-∞，0）∪（0，+∞）
（C）（-∞，0）（D）（0，+∞）
（A）6（B）12（C）16（D）24
5．函数y=x（x–2）的定义域为[a，b]，值域为[-1，3]，则点（a，b）的轨迹是右图的
（A）点H（1，3）和F（-1，1）（B）线段EF，GH
（C）线段EH，FG（D）线段EF，EH
6．已知函数f（x）=2x–1，g（x）=1–x2，构造函数F（x），定义如下：
当|f（x）|≥g（x）时，F（x）=|f（x）|，当|f（x）|＜g（x）时，F（x）=-g（x），那么F（x）（）
（A）有最小值0，无最大值（B）有最小值-1，无最大值
（C）有最大值1，无最小值（D）无最小值，也无最大值
二．填空题
7．实数x，y满足xy＞0且x2y=2，则xy+x2的最小值是___________
8．设x，y∈R+，x+y+xy=2，则x+y的取值范围是____________
三．解答题
（1）求实数b、c的值
（2）判断函数F（x）=lgf（x）在x∈[-1，1]上的单调性，并给出证明.
13．f（x）是定义在R上的奇函数，且满足如下两个条件：
①对于任意的x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）
②当x＞0时，f（x）＜0，且f
（1）=-2
求函数f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值.
函数的单调性
A组
一．选择题（共20分）
1．已知函数f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则（）
A．f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）B．f（a）+f（b）＞f（-a）–f（-b）
C．f（a）+f（-a）＞f（b）+f（-b）D．f（a）+f（-a）＞f（b）–f（-b）
A．（0，2]B．（1，2]C．（-1，0]D．（1，+∞）
3．若a＞1，且a-x+logay＜a-y+logax，则x、y之间关系为（）
A．x＞y＞0B．x=y＞0
C．y＞x＞0D．不确定，与a值有关
4．已知F（x）=f（x）–f（-x），其中lgf（x）+x=0，则F（x）是（）
A．单调递增的奇函数B．单调递增的偶函数
C．单调递减的奇函数D．单调递减的偶函数
二．填空题（共20分）
6．若f（x）=（m–1）x2+mx+3（x∈R）是偶函数，则f（x）的增区间是___________
7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，那么使f（-2）≤f（a）的实数a的取值范围是___________
减区间为___________
三．解答题（共15分）
B组
1．已知函数f（x）=log2x，且函数g（x）的图象与f（x）的图象关于直线y=x对称，则函数g（x2）是（）
（A）奇函数，且在（0，+∞）上单调递减
（B）奇函数，且在（-∞，0）上单调递减
（C）偶函数，且在（0，+∞）上单调递增
（D）偶函数，且在（-∞，0）上单调递增
2．已知f（x）=x2+cosx，则（）
的解集是（）
①函数y=f（x）的图象关于y轴对称②在区间（-∞，0）上，f（x）是减函数
③函数f（x）的最小值是lg2④在区间（1，+∞）上，f（x）是增函数
其中正确命题是（）
（A）①②（B）②④（C）①③④（D）仅③正确
6．已知定义域为R的偶函数y=f（x）的一个单调递增区间是（2，6），则函数y=f（2–x）的（）
（A）对称轴为x=-2且一个单调递减区间是（4，8）
（B）对称轴为x=-2且一个单调递减区间是（0，4）
（C）对称轴为x=2，且一个单调递增区间是（4，8）
（D）对称轴为x=2，且一个单调递增区间是（0，4）
二．填空题
10．教师给出一个函数y=f（x），四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：
甲：
对于x∈R，都有f（1+x）=f（1–x）；
乙：
在（-∞，0]上函数递减；
丙：
f（0）不是函数的最小值；
丁：
在（0，+∞）上函数递增
如果其中恰有3人说得正确，请写出这样一个函数：
_________________
三．解答题
（I）判断函数的单调性，并加以证明
单调性.
13．设函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，如果不等式f（1–ax–x2）＜f（2–a）对于任意x∈[0，1]都成立，求实数a的取值范围.
14．已知f（x）=x2+c，且f（f（x））=f（x2+1）
（1）设g（x）=f（f（x）），求g（x）的解析式
并在（-1，0）内是增函数？
[练习题答案及提示]
值域与最值
A组
一．选择题
1．A2．D3．B4．D5．C
二．填空题
6．lg2
三．解答题
11．用换元法
故当t=1时y有最大值4
即y的值域为（-∞，4]
∴所求函数值域为（0，1].
B组
一．选择题
1．C2．B3．A4．C5．D6．B
二．填空题
7．3
三．解答题
当y–2≠0时，由x∈R，有△=b2–4（2–y）（c–y）≥0，即4y2–4（2+c）y+8c–b2≤0
当y–2=0时，将b=-2，c=2代入（*）式中，得x=0∴b=-2，c=2为所求
∵|x1|≤1，|x2|≤1，x1＜x2
∴|x1x2|＜1即1–x1x2＞0
而x2–x1＞0∴u1–u2＞0即u1＞u2
由于u＞0∴lgu1＞lgu2
即F（x1）＞F（x2）
故F（x）在x∈[-1，1]上是减函数.
13．设0≤x1＜x2≤3，则由条件
（1）得
f（x2）=f[（x2–x1）+x1]=f（x2–x1）+f（x1）
即f（x2–x1）=f（x2）–f（x1）
∵x2–x1＞0，由条件
（2）得f（x2–x1）＜0
∵f（x2）–f（x1）＜0即f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在[0，3]上是减函数
又f（x）为奇函数
∴f（x）在[-3，0]上也是减函数
从而f（x）在[-3，3]上是减函数
∴f（x）max=f（-3）=-f（3）=-f（1+2）=-f
（1）–f（1+1）=-3f
（1）=6
函数的单调性
A组
一．选择题
1．A2．B3．A4．C5．B
二．填空题
6．（-∞，0]
7．（-∞，-2]∪[2，+∞）
8．（-∞，-3）
9．（-∞，-1）∪（-1，+∞）
10．[-1，+∞）；[-1，1）
三．解答题
11．显然f（x）为奇函数，所以先讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，设x1＞x2＞0，
B组
一．选择题
1．C2．D3．C4．C5．C6．C
二．填空题
三．解答题
因0＜x1＜x2＜2∴x2+1＞0，x1+1＞0
且x2＞0，2–x1＞0
从而有f（x2）＜f（x1）
故f（x）在定义域（0，2）上为减函数.
综上所述，f（x）在R上是增函数.
13．由于f（x）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，所以不等式f（1–ax–x2）＜f（2–a）对于任意x∈[0，1]均成立等价于1–ax–x2＜2–a
即x2+ax–a+1＞0对任意x∈[0，1]均成立
令g（x）=x2+ax+a–1＞0
即g（x）在[0，1]上的最小值大于零.
事实上，易求得
解得0＜a＜1或-2≤a≤0或a＜-2.
故所求实数a的取值范围是a＜1.
需要指出的是，对不等式x2+ax–a+1＞0应用△=a2–4（-a+1）＜0求a的范围，就不正确了.
14．
（1）由题设得x2+c=x2+1，有c=1
∴g（x）=f[f（x）]=f（x2+1）=（x2+1）2+1=x4+2x2+2
若满足条件的λ存在，设-∞＜x1＜x2＜-1，
∵（x2+x1）（x2–x1）＜0
∴λ≤4
再设-1＜x1＜x2＜0，同理只需
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