导数定义及公式.docx
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导数定义及公式
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7.若f（x）=,则F（x）=
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&若f（x）=
，则F（x）=
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12.=
13.y=fYuY,u=g（x）fJU!
|y=f（g（x））;
sin2x=
##导数：
一般地，函数y=f（x）在x=x°处的瞬时变化率是
，称函数y=f（x）在x=Xq处的导数，记作：
f1（x）或y'|x=x0
o即f（xo）
##函数y=f（x）在点处的导数的7Z何戟，就是曲线y=f（x）在点P（）处的切线斜率，也就是说曲线y=f（x）在点P（）处的切
y-f（x0）=f1（x0）（x-x0）
##导函数：
如果函数y=f（x）在开区间（a,b）内每一点都可导，就说函数彳（x）在开区间（a,b）内可导。
若函数f（x）在开区间
（a,b）内可导，则f（x）在（a,b）内每一点的导数构成一个新函数，把这一新函数叫做f（x）在开区间（a,b）内的导函数（简称导数）记作F（x）或y|或乂
即F（x）
一.函数的单调性
—般地，与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间（a,b）,如果°（x）,那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增;如果
F（x）
1.
如果F（x），则f（x）严格增函数;如果F（x）
，则f（X）严格减函数。
2.
如果在（a,b）内恒有F（x），那么f（x）在（a,b）内是常数。
3.
fl（x）是f（x）在此区间上为增函数的充分而不必要条件。
求函数单调区间的步骤：
1・确定y=f（x）的定义域;
2・求导数F（x）,求出F（x）的根；
3・函数的无定义点和“（x）的根将f（x）的定义域分成若干区间，列表考查这若干区间内F（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间。
注意：
A・如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，哪个这些单调区间不能用"U"连接，只能用逗号或〃和"字隔开。
B・求函数单调区间时易忽视函数的定义域。
应优先考虑函数的定义域。
二.函数的极值:
1•定义,设函数f（X）在点X。
附近有定义，如果对X。
附近的所有点，都有f（x）,则称fYX°Y是函数f（X）的一个极大值；如果对氐附近的所有点，都有f（X）,则称fYX°Y是函数f（X）的一个极小值。
极大值点、极小值点统称极值点，极大值和极小值统称极值。
2•判断fYX°Y是极大值或极小值的方法：
第一步，确定函数的定义域，求导数尺（X）；
第二步，求方程F（X）的根；
第三步，检查F（X）在F（X）的根左右两侧的值的符号;
1•如果〃左正右负"，那么f（X）在这个根处取到极大值;
2•如果〃左负右正"，那么f（x）在这个根处取到极小值;
3・如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
在此步聚中，最好利用方程F（X）的根，顺次将函数的定义区间分成若干个开区间，并列表，依表格内容得出结论。
※函数在极值点的导数为0■但导数为0的点不_定是极值点•如函数f（x）=0■点x=0就不是极值点，但厂（0）;
※函数的极大值不一定大于极小值;
可能不存在极值点。
三函数的最值:
设函数y=f（X）是定义在区间［a,b］上的函数，尸f（x）在区间（a,b）内有导数，求y=f（x）在［a,b］上的最大值与最小值，其步骤为：
先求函数y=f（x）在（a,b）内的极值;再将函数y=f（x）的各极值与端点的函数值f（a）、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
女口果在区间［a,b］上，函数y=f（x）的图象是一条连续不断的曲线,则函数在［azb］上一定能够取得最大值和最小值z并且函数的最值必在极值点或端点处取得。
※提示：
1・若函数y=f（X）在区间［a,b］上单调递增，则f（a）为最小值,f（b）为最大值；若若函数y=f（X）在区间［a,b］上单调递减，则f（a）为最大值，f（b）为最小值。
2.图象连续不断的函数在开区间（a,b）上不一定有最大（小）值，如果图象连续不断的函数在开区间（a,b）上只有一个极值，则该极值就是最值。
3•函数的极值不一定是最值,求函数的最值与函数的极值不同的是,在求可导函数的最值时，不需要对各导数为0的点讨论,其是极大值还是极小值，只需将导数为0的点的函数和端点函数值时行t匕较。
在解决实际生活中优化问题注意事项：
1必须考虑是否符合实际意义2只有一个点使“（x）的情形，如果在点有最大（小）值，不与端点比较也能知道是最大（小）值。
3不仅注意将问题涉及变量关系用函数关系表示出来，而且还应确定函数关系式中自变量的定义区间。
四・定积分及应用
定积分定义：
若函数y=f（X）在区间［a,b］上连续用分点
a=b,将区间［a,b］等分成n个小区间，在每
个小区间［
（口，2,3,），作和式
》Fy£Ylx
=，当
n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫函数y=f
（x）在区间［a,b］上定积分，记作。
即二
其中f（x）叫做被积函数，a做积分下限，b做积分上限。
定积分不是一个表达式,是一个常数。
定积分几何意义：
从几何上看,若函数y=f（x）在区间[a,b]上连续且恒有f（x）i0,那么定积分表示直线x=a,x=b
（aib）,y=0和曲线y=f（x）所围成的曲边梯形的面积;
定积分性质:
=k（k为常数）
以上是线性性质•下面是对区间可加性
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