证题技巧之三证明线段或角的和差倍分.docx
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证题技巧之三证明线段或角的和差倍分
证题技巧之三一一证明线段或角的和差倍分
一、证明线段或角的倍分
1、方法：
①长（或大）折半②短（或小）加倍
2、判断：
两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。
3、添线：
①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或利于利用已知条件而添。
4、传递：
在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。
此时，添线从两方面考虑：
①造等量②为证等量与被证二量相等而添。
参考例4、例5、例6。
例1AD是/△ABC的中线，ABEF和ACGH是分别以AB和AC
为边向形外作的正方形。
求证：
FH=2AD
证明：
延长AD至N使AD=DN
则ABNC是平行四边形
/CN=AB=FAAC=AH
又ZFAH+/BAC=180
ZBAC+ZACN=180
•••△AH坐JNCA•••FH二AN「FH=2AD
例2、MBC中，/B=2ZC,
AD是高，M是BC边上的中点。
1
求证：
DM二AB
2
证明：
取AB的中点N，连接MN、DN贝卩MN//AC/仁ZC
Z2=ZB•••々=2Z1•••/=ZDNM「DM二DN
1
1
则bf/2acZaZDBF
TAB二AC,E是AB的中点
•••BF二AE
又DB=AC•zAEC坐^FD/DF=CE/CD=2CE
作业：
1、在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，BE的延长
1
线交AC于F,求证：
AF=2FC
2、AB和AC分别切OO于B和C,BD是直径。
求证ZBAC=2
ZCBD
3、圆内接△ABC的AB=AC，过C作切线交AB的延长线于D,
DE垂直于AC的延长线于E。
求证：
BD=2CE
例4从平行四边形的钝角顶点A向BC边作垂线，垂足为E,
BD交AE于F且FD=2AB。
求证：
/ABD=2ZDBC
证明：
取FD的中点M，连接AM，贝卩AB=FM=MD=AM
D
/.Z1=Z2Z3=Z4
Z3=Z1+Z2=2Z2
Z2=Z5
Z3=2Z5
•••/4=2Z5即ZABD=2ZDBC
例5若圆内接四边形的对角线互相垂直，则圆心到四边形一边
D
的距离等于这边的对边的一半。
分析：
从图上看，OE与AD之间没有任何关系，这时我们就要想法找一个量与他们俩都有关系的量。
借助这个量进行等量传递。
但这个量也找不到。
于是我们就想法造这个量
1
证明：
过B作直径BF,连接CF。
则0E=2CF
在ADHC禾和^FCB中ZDHC=ZFCBZBDC=ZF二Z
2
•••AD二CF/.AD=2OE
例6E是正方形ABCD的CD边的中点。
F是EC的中点。
求
证:
1
ZDAE二ZFAB
2
证明：
作/FAD的平分线交BC于H，交DC的延长线于G
则Z1=Z2=ZG/.FA=FG
设正方形的边长为a则AF2=AD2+DF2
•••/ABH坐©CH坐ADE
/.Z3=Z
1
•ZDAE二ZFAB
2
作业:
的中点。
求证：
ZBAP=2ZMAD
5、AABC中，AB=AC。
D是AC的中点，DE平分ZADB，交
AB于E。
圆ADE交BD于F。
求证：
①BF=2EF②BF=2AE
6、求证：
三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的
2倍。
、证明三倍以外的倍分问题
1、方法：
①当是偶数倍时，采取折半再折半或折半传递。
②当是奇数倍时采用传递或减一传递。
1
例1MBC中，E是AB的中点。
D是AC上一点'且CD=2
1
DA。
BD交CE于F。
求证：
FD=BE
1
证明：
作EG//
AD
=2
•••EG二CD
BG=GD
/△GEF^JDCF
4
1
/FD=BE
4
BE=2AC。
求证：
外角/ACD=3ZB
证明：
作CF//AB则Z1二ZBZ2=ZA
取BE中点G,连接CG
贝JZB=Z4ZA=Z3
/.z3=2Z4=Z2
•••ZACD二Z2+Z1=3ZB
例3E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F在AD上，且
11
AF=3AD，FE交AC于G。
求证：
AG=5
AC
证明:
延长FE交CB的延长线于H
贝J^AFE^zBHE/AF=BH
TAD=3AF/CH=4AF
vzAFGs/chG/.CG=4AG
1
•••AG=AC
5
于P,且
AB是OO的直径。
弦CD交AB
PC=PO。
求证：
AC=3BD
证明：
连接OC、OD贝JZ1=ZC=ZD
Z3=Z1+ZC=2Z1
ZBOD二Z3+/D=3Z1
作业:
c1
…A（=3
BD
7>△ABC中,
AC垂直
2
BC,AD〃BC交BD于D,BD交AC于E且ED=2AB。
求证：
ZABE=3
ZABC
8、延长OO的半径OA到B,使AB=OA,CD切OO于D，且
CD不经过AB之间。
BC丄CD于C。
求证：
/ABC=/CAD
9、AB弧=120°,PA、PB切OO于A、B。
OO，分别切AB弧、
1
PA、pB于C、D、F。
求证：
O。
，的周长=3O。
的周长
三、证线段或角的和差
方法1、在长者上截一短者，证明余者等于另一短者。
方法2、延长一短者，使其等于二短者之和。
证明延长后与长者
相等。
例1△ABC是圆内接正三角形，P是BC弧上任一点。
求证:
PA=PB+PC。
证明：
在AP上截AE=PC，连接BE
•••/二Z2AB=ACPC=AE
•••zABEYBP/.BE=BP
二/4=60°BP二BE二EP
•PA=PB+PE
证法2:
在AP上截AE=PB连接CE则△KCE^BCP根据/APC=60。
可证
PEC是正三角形，从而命题得证。
证法3、延长BP交AC的延长线于E,
B
则
ZBPA+ZAPC+/CPE=180ZACB+ZBCP+/PCE=180°,可证△
PCE是正三角形。
继而可证△BEC幻APC，从而命题得证。
证法4、延长BP至E,使PE=PC。
连接CE。
从而可证厶PCE是
正三角形。
继而可证厶BEC幻APC,从而命题得证。
（右图可用于证法
3和证法4）
例2SBC中，AB=AC，/A=100°,BD是角平分线。
求证:
BD+AD二BC
证明：
在BC上截BE=BD。
则/3二Z4
ZA=100°AB=AC/.zABC=ZC=40
/.Z1=/2=20°3二Z4=80°5=180°ZADB-Z3=40°ZC
•••DE二EC
又A、B、E、D四点共圆
•••AD二ED/.BD+AD=BC
证法2延长BD至E,使
DE=AD。
在BC上截BF=BA，贝S/△ABD坐△BD
/.AD=FD=DEZADB=ZBDF=60
•zFDC=60°ZEDC
•••/CED坐△FD•zDEC二ZDFC=80°=ZFCE
•••BC二BE二BD+DE二BD+AD
作业
10、在MBC中，ZB=2ZC,AD是角平分线。
求证：
AB+BD=AC。
11、mBC中，CE是高，AB=AC,D是BC延长线上一点，DF
丄AB于F,DM丄AC交AC延长线于M。
求证：
DM=DF-CE。
12、E、F分别是正方形ABCD边BC和CD上的点且/EAF=45
求证：
EF=BE+DF
方法3、利用三角形的面积。
判断：
当结论中的三条线段分别是底边相等的三个三角形的高时，考虑利用三角形的面积进行证明。
例3求证：
等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高。
AB
已知：
如图AB=ACPE丄ABPD丄ACCF丄
求证:
CF=PE+PD
证明:
1
S2PB二
2
ABPE
ACPD
1
S/APC二
2
SaABC=S
△APB+S△APC
1
AB
2
CF=_ABPE+2
ABPD
CF=PE+PD
方法4:
利用等量传递
如图Rt△ABC
中，/A=90°AB二AC,MN过A,BD丄
MN于D,
CE丄MN于E
Z1+Z2=90
求证：
DE=BD+CE
3=90
BE丄MN于E,CF丄MN于F。
求证:
MN过G。
AD丄MN于D,
A
H
B
证明：
连接AG并延长交BC于H
••AD=2HIAD=BE+CF
••DC二BC-BD二BC-BFCE=AC-AE=AC-AF
AGAD2vzADGs/Hig•==
•••/二Z3AB二AC/.zADB^△EA/DA=CEBD=AE
「DE二DA+AE二BD+CE
例5如图G是AABC的重心，直线
AD=BE+CF
1
作HI丄MN于I，贝SHI=2（BE+CF）
••DC+CE二BC+AC-（BF+AF）二BC+AC-AB
「d二AC+BC-AB
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