最优控制习题及参考.docx
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最优控制习题及参考
最优控制习题及参照答案
最优控制习题及参照答案习题1求经过x（0）=1，x
（1）=2，使以下性能指标为极值的曲线：
tf
（x2+1）dt
J=∫t
0
解：
由已知条件知：
t0=0，tf=1
d
由欧拉方程得：
（2x）=0dtx=C1
=C1t+C2将x（0）=1，x
（1）=2代入，有：
C2=1，C1=1
得极值轨线：
x*（t）=t+1
求性能
1
习题2
J=∫（x2+1）dt
指标：
0在界线条件x（0）=0，x
（1）是自由情况下的极值曲线。
解：
由上题得：
2
x*（t）
1
x*（t）=Ct+C
62
由x（0）
=0得：
C2=0
x0
?
L
由
t=t
=2x（tf）=2C1t=tf=0
0
t
1
?
x
f
于是：
x*（t）=0
【解析谈论】对于任意的
x（0）=x0，x
（1）
自由。
63
有：
C
=x
，C=0，即：
x
（t）=x
2
0
1
0
*
其几何意义：
x
（1）自由意味着终点在虚线上任意点。
习题3
已知系统的
x1（t）=x2（t），x2
（t）=u（t）
状态方程为：
界线条件为：
x1
（0）=x2（0）=1，x1（3）
=x2（3）=0，
试求使性能∫31
u2
指标J=
（t）dt2
0
取极小值的最优控制u*（t）以及最优轨线x*（t）。
?
?
x
解：
由已知条件知：
f=?
2?
?
u?
?
?
H=1u2+λx+λu
Hamiton函
数：
H=L+λf
T
2
1
2
2
?
λ=0
由协态方程：
?
1
?
λ
=
2
1
?
λ=C
①
得：
?
11
λ=-C
?
2
1t+C2②
由控制?
H
=u+
λ=0
方程：
2
?
u
1t-C2
③
得：
u=-
2
λ
=C
64
由状态方程：
x2
t-C
=u=C12
得：
x（t）=1Ct2-Ct+C④
1
2
3
2
2
由状态方
程：
x1=x2
得：
x（t）=1Ct3-
1Ct2+Ct+C⑤
1
6
1
2
2
3
4
65
1
0
?
?
?
?
代入④，⑤,
将x（0）=?
?
，x（3）=?
?
1
?
?
0
?
?
联立解
10
，C2=2，C3=
得：
C1=C4=19
由③、④、
⑤式得：
u*（t）=
10
t-
2
9
x1*（t）=5t3-t2+t+1
27
x*（t）=5t2-
2t+1
2
9
习题4已知系统状态方程及初始条件为
x=u，x（0）=1试确定最优控制使以下性能指标取极小值。
1
解：
J=∫0（x2+u2）e2tdt
e
e
+λu
H=x
2
2t
+u22t
?
x=u
①
?
列方程：
?
λ=
②
-2xe2t
?
2t
③
?
2eu+λ=0
1-2t
④
由③得，u=-2e
λ
代入①得，
1e-2tλ
x
66
=-
2
=-1e-2tλ+e-2tλ2将②，③代入，并考虑到u=x
1-2t2t-2t2t
x=-e（-2xe）+e（-2ex）整理可得：
x+2x-x=0
67
特色方程：
s2+2s-1=0s1=-1+2，s2=-1-2
于是得：
*③
λ（t）=
*
λ（t）=-2e2t
*
s1t
+Ces2t
x1
2
（t）=Ce
-2e2t
①-2e2t
x
u=
（C1s1es1t+Cses2t）
22
由x（0）=1，得：
C1+C2=1
由
λ
λ
s1
+C
s
（t
2s2e
=0
f）=
（1）=0
得：
C1s1e⑤、⑥联立，可得C1、C2
⑤⑥
求导
代回原方程可得x*→u*
（略）
习题5
求使系统：
x1=
x2，x2=u
由初始状态出
=1时转移
x1（0）=x2
（0）=0
发，
到目标集
在tf
指标
J=，并使性能
1
1
2（t）dt
∫
12
（1）=1
u
x
（1）+x
2
0
为最小值的最优控制u*（t）及相应的最优轨
68
线x*（t）。
解：
本题f（i），L（i）与习题3同，故H（i）相同→方程同→通解同
?
λ=C，λ=-C
1
1
2
1t+C2
?
1Ct3-
1Ct2+Ct+C
?
x=
有?
1
6
1
2
2
34
：
?
?
x=1Ct2-Ct+C
?
2
2
1
2
3
?
u=C1t-C2
69
?
0?
x（0）=?
?
?
0?
由，有：
C3=C4=0①
由x1
（1）+x2
（1）=1，有：
1C
–1
+
1
C-C
=1
C
6
1
2
2
2
1
2
②
2C
-
3C
=1
?
?
3
1
2
2
?
ψT
+x
-1
λ
+
γ
ψ
=x1
由
（1）=
?
=0，
2
?
x
?
x
?
?
有：
1
?
?
γ=0?
λ
（1）=λ
（1）
（1）=
λ
?
1?
1
2
于是：
C1
=-C1+C2
?
?
2C1=C2
3
6
②、③联立，得：
C1=-
7
7
于是：
u*=-
3
t+
6
7
7
x*=-1t3+3t2
1
7
14
x*=-3
t2
+6
t
2
7
14
③、C2=-
习题6
已知一阶系统：
x（t）=-x（t）+u（t），x（0）=3
*
（１）试确定最优控制fu（t），使系统在t
=2时转移到x
（2）=0，并使性
能
函
泛
70
2
J=
0
（1+u2）dt=min
∫
71
x（t）=0的终端时（２）若是使系f统转移到f间t自由，问u*（t）应如何确定？
解：
H=1+u2+λu-λx?
x=-x+u
?
列方程：
?
λ=λ
?
?
2u+λ=0
由协态方程得：
λ
t
1
=Ce
由控制
1
t
=-C1e
方程：
u
2
1
t-
t
?
x（t）=C
代入状态方程：
x
2e
=-x-
2
C1e
①t
=
2，x
（2）=0
f
?
-
1C=3
C
?
2
4
-
1
?
Ce
Ce=0
-2
1
2
?
2
4
1
解得：
12
3e4
C1=
C2
=
4
4
e
-1
，
e-1
①②–1Cet
1
4
代入②
6et
e4-1得：
u*（t）=-
②x（tf）=2，tf自由
?
-1C=3
?
C
2
4
1
72
?
–1Cetf=0
?
Ce-
tf
?
2
4
1
?
H（tf）=0?
解得：
40-6=0.325
C1=
73
u*（t）=-0.162et
习题7设系统状态方程及初始条件为x（t）=u（t），x（0）=1
试确定最优控制u*
1
tf
2
（t），使性能指标
J=tf+
∫0
udt
2
为极小，其中终x（tf）=0。
端时间tf不决，解：
H=1u2+λu
2由协态方程→λ=C1得：
λ=0由控制方→u=-C1
程：
u+λ=0
由状态方程：
x?
x（t）=-C12
t+C
=u=-C1
由始端：
→C2
=1
x（0）=1
由尾端：
t
+1=0
→-C1f
x（tf）=0
考虑到：
?
?
–?
H（tf）
=-
t
ψ
①
②③
④
t
74
?
γ=-1
?
f
?
f
1
2
+λu=-1
有：
u
2
1C2-C2=-1?
C2=2
2
1
1
1
C1=±2
⑤
当2时，代入④
C1=
有：
tf
=
1
=
1
C1
2
75
当C1=2时，代入④
-
有：
tf=1=-
1，不合题意，故有
2
C1
1
2
最优u*=-
2
控制
习题8设系统状态方程及初始条件为
x1（t）=x2（t）
，x1（0）=2
x2（t）=
x2（0）=1
性能
u（t），
1
2
指标
tf
为
J=
∫udt
2
0
要求达到x（tf）=0
，=5时的最优控制
试求：
（1）tf
（t）；
（2）ft自由时的最
优控制
u
*
（t）；解：
本题
f（i）
L（i）H（i）
，
，
与前同，故有
C=
u*
?
?
λ=C
?
1
1
?
λ=-C
2
1t+C2
76
?
x=1Ct3-1Ct2+Ct+C
?
1
1
2
2
34
?
6
?
x=
1Ct2-Ct+C
?
2
1
2
3
?
2
?
u=C1t-
C2
?
C4=2
0
?
C3=1
?
25
2
?
?
125
?
?
x（5）=?
?
，
①由x（0）=?
C1
C2+5C3+C4=0
?
得：
?
-
?
1?
0
?
?
?
6
2
?
25-
5C
+C=0
?
C1
2
3
?
2
77
联立得：
C1=0.432，C2?
=0.432t-1.28
=1.28，u*tf自由
?
?
C
=1
?
4
C3
=2
?
?
1
Ct3-1Ct2+C+C=0
?
t
6
1
2
2f
3
f4
f
?
?
1Ct2-C+C=0
t
?
2
1
2
f
3
f
?
?
H（tf
）=0
+2=0，
无论C为何值，t
均无实
联立有：
C
2t2-
2Ct
解。
2
f
2f
2f
习题9
给定二
x
（t）=x（t）+
1
，x（0）=-1
阶系统
1
2
4
1
4
1
x2（t）=u（t），x2
（0）=-
4
控制拘束为1u（t）≤，要求最优控
制u*（t），使系统在t=t2f
并使自由。
其中tf
时转移到x（t
f）=0，
78
tf
2
=min
J=
u
（t）dt
0
∫
解：
H=u2+1λ+λu
+λx
12412
本题属最小能量问题，因此：
?
-1λλ≤1
?
2
2
2
*
?
?
λ>1
-
u（t）=
1
?
2
2
?
<-1
?
1
λ
?
2
2
?
79
?
λ=0→λ=C
由协态方程：
?
111
λ2=-1λ→2λ=1-Ct+2Cλ2是t的直线函数。
当u*（t）=-=1Ct-1C时（试取）1λ
2
2
2
1
2
2
x（t）=1Ct2
-
1Ct+C
2
4
2
2
3
1
1Ct3-
1Ct2+1t+Ct+C
x（t）=
1
12
4
2
1
4
3
4
1
由始端条件→C3
=C4
=
由尾端1Ct3-
4
+1=0
1Ct2+1t
条件→
2f
4
12
1
f
4
2
f
1Ct2-1Ct+1=0
4
1
f
2
2f
4
另：
H（tf1
联立解得：
C1
于
9
1
是，
t
λ
）=0=，C2=0，t=3f
?
λ=1时，t<0
2
2=-
?
λ=-1时，t=9
9
?
2
在t从0→3≤1满足条件。
段，λ
2u*故，
80
1
λ=
1
=-
2
18t
2
101234t
81
习题10设二
阶系统
x1（t）=-x1（t）+u（t），x1（0）=1
x2（t）=x1（t），x2（0）=0
控制拘束为u（t）≤1，当系统终端自由时，求最优控制u*（t），使性能指标
J=2x1
（1）+x2
（1）
取极小值，并求最优轨线
x*（t）。
解：
由
?
-x1+u?
?
=x+x,
L=0
，?
H=u-
λ
题意，
λλ+x
=
x
f
，
?
?
12
1
1
1
2
1
?
x1?
由控制方程可?
-
λ<0
λ>0
1
得：
u*
?
+1
1
=
?
?
λ
t
?
λ=Ce+C
=λ-
由协态方程1
λ
1
2
1
21
可得：
?
?
λ=C
λ=0
2
1
?
2
?
?
?
2?
由）==?
?
?
C=1，=e-1
λ（tC
f
?
x（tf）
1
2
?
1?
?
λ
t-1
+1→
在
t>0
的范围内λ
>1
=e
?
?
1
1
故
：
u*=-1
82
?
[
]
λ
t∈
0,1
2
=
1
若需计算最优轨线，只需把u*=
?
1代入状态方程，可得：
x*（t）=2e-t-1
?
1
?
*
-t
-t+2
?
x
（t）=-
2e
2
习题11设系统状
态方程为
x1（t）=x2（t），x1（0）=x10
83
x2（t）=
x2（0）=x20
性能指标
u（t），
∫
为J=
1
∞
2
2
+u
）dt
2
（4x1
0
试用调治器方法确定最优控制u*（t）。
?
01?
解：
由已知条件
得：
A=?
?
?
00?
?
0?
，B=?
?
，?
1?
?
4
0?
，R=1
Q=?
?
?
0
0?
?
01?
∵[BAB]=
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