离散数学复习题参考带答案.docx
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离散数学复习题参考带答案
一、选择题：
（每题2’）
1、下列语句中不是命题的有（）。
A．离散数学是计算机专业的一门必修课。
B．鸡有三只脚。
C．太阳系以外的星球上有生物。
D．你打算考硕士研究生吗?
2、命题公式A与B是等价的，是指（）。
A．A与B有相同的原子变元B．A与B都是可满足的
C．当A的真值为真时，B的真值也为真D．A与B有相同的真值
3、所有使命题公式P∨（Q∧¬R）为真的赋值为（）。
A．010，100，101，110，111B．010，100，101，111
C．全体赋值D．不存在
4、合式公式（P∧Q）R的主析取范式中含极小项的个数为（）。
A．2B．3C．5D．0
5、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（）。
A．析取范式B．合取范式C．主析取范式D．以上答案都不对
6、下述公式中是重言式的有（）。
A．（P∧Q）（P∨Q）B．（PQ）（（PQ）∧（QP））
C．（PQ）∧QD．P（P∧Q）
7、命题公式（PQ）（Q∨P）中极小项的个数为（），成真赋值的个数为（）。
A．0B．1C．2D．3
8、若公式（P∧Q）∨（P∧R）的主析取范式为m001∨m011∨m110∨m111则它的主合取范式为（）。
A．m001∧m011∧m110∧m111B．M000∧M010∧M100∧M101
C．M001∧M011∧M110∧M111D．m000∧m010∧m100∧m101
9、下列公式中正确的等价式是（）。
A．（x）A（x）（x）A（x）B．（x）（y）A（x,y）（y）（x）A（x,y）
C．（x）A（x）（x）A（x）D．（x）（A（x）∧B（x））（x）A（x）∨（x）B（x）
10、下列等价关系正确的是（）。
A．x（P（x）∨Q（x））xP（x）∨xQ（x）B．x（P（x）∨Q（x））xP（x）∨xQ（x）
C．x（P（x）Q）xP（x）QD．x（P（x）Q）xP（x）Q
11、设个体域为整数集，下列真值为真的公式是（）。
A．xy（x·y=1）B．xy（x·y=0）C．xy（x·y=y）D．xy（x+y=2y）
12、设S={,{1},{1,2}}，则有（）S。
A．{{1,2}}B．{1,2}C．{1}D．{2}
13、下列是真命题的有（）。
A．{a}{{a}}B．{{}}{,{}}C．{,{}}D．{}{,{}}
14、设S={,{1},{1,2}}，则2S有（）个元素。
A．3B．6C．7D．8
15、已知幂集的基数|（A）|=2048，则集合A的基数|A|为（）。
A．11B．12C．10D．9
16、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。
A．23B．32C．233D．322
17、设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={,,,}∪IA，则对应于R的A的划分是（）。
A．{{a},{b,c},{d}}B．{{a,b},{c},{d}}C．{{a},{b},{c},{d}}D．{{a,b},{c,d}}
18、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（）。
A．若R、S是自反的，则RS是自反的B．若R、S是反自反的，则RS是反自反的
C．若R、S是对称的，则RS是对称的D．若R、S是传递的，则RS是传递的
19、集合A上的相容关系R的关系矩阵M（R）的对角线元素（）。
A．全是1B．全是0C．有的是1，有的是0D．有的是2
20、设集合A={1，2，3}，A上的关系R={<1,1>，<1,2>，<2,2>，<3,3>，<3,2>}，则R不具备（）。
A．自反性B．传递性C．对称性D．反对称性
21、设
，S上关系R的关系图为（如图所示），
则R具有（）性质。
A．自反性、对称性、传递性B．反自反性、反对称性
C．反自反性、反对称性、传递性D．自反性
22、设S={1，2，3}，R为S上的关系，其关系图为
则R具有（）的性质。
A．自反、对称、传递B．什么性质也没有
C．反自反、反对称、传递D．自反、对称、反对称、传递
23、设A={1,2,3}，B={a,b}，下列各二元关系中是A到B的函数的是（）。
A．R={<1,a>,<2,a>,<3,a>}B．R={<1,a>,<2,a>,<2,b>,<3,a>}
C．R={<1,a>,<2,b>}D．R={<2,a>,<2,b>}
24、设R为实数集，映射f：
RR，f（x）=-x2+2x-1，则f是（）。
A．单射而非满射B．满射而非单射
C．双射D．既不是单射，也不是满射
25、设A={，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“”的哈斯图为（）。
A．B．C．D．
26、N是自然数集合，定义f：
NN，f（x）=xmod3（即x除以3的余数），则f是（）。
A．满射不是单射B．单射不是满射
C．双射D．不是单射也不是满射
27、设S={,{1},{1,2}}，则有（）S。
A．{{1,2}}B．{1,2}C．{1}D．{2}
28、集合A={x|x=2n∧nN}对（）运算封闭。
A．加法B．减法C．乘法D．|x－y|
29、设*是集合A上的二元运算，称Z是A上关于运算*的零元，若（）。
A．xA，有x*Z=Z*x=ZB．ZA，且xA有x*Z=Z*x=Z
C．ZA，且xA有x*Z=Z*x=xD．ZA，且xA有x*Z=Z*x=Z
30、下面偏序集（）能构成格。
31、在（）中，补元是唯一的。
A．有界格B．有补格C．分配格D．有补分配格。
32、下面四组数能构成无向简单图的度数序列的有（）。
A．（2,2,2,2,2）B．（1,1,2,2,3）C．（1,1,2,2,2）D．（1,1,3,3,3）
33、无向图结点之间的连通性，是结点集之间的一个（）。
A．连通关系B．偏序关系C．等价关系D．函数关系
34、已知图G的相邻矩阵为：
则G有（ ）。
A．5点，8边B．6点，7边C．5点，7边D．6点，8边
35、下列四组数为结点度序列，能构成无向图的是（）。
A．2,3,4,5,6,7B．1,2,2,3,4
C．2,1,1,1,2D．3,3,5,6,0
36、下列几个图是简单图的有（）。
A．G1=（V1,E1），其中V1={a,b,c,d,e}，E1={（a,b）,（b,e）,（e,b）,（a,e）,（d,e）}
B．G2=（V2,E2），其中V2=V1，E2={,,,,,}
C．G3=（V3,E3），其中V3=V1，E3={（a,b）,（b,e）,（e,d）,（c,c）}
D．G4=（V4,E4），其中V4=V1，E4={,,,,}
37、在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点则该树有（）个4度结点。
A．1B．2C．3D．4
38、一棵树有2个4度结点，3个3数度结点，其余是树叶，则该树中树叶的个数是（）。
A．8B．9C．10D．11
39、设图G是有6个顶点的连通图，总度数为20，则从G中删去（）边后使之变成树。
A．10B．5C．3D．2
40、下面那一个图可一笔画出（）。
41、在如下各图中（）欧拉图。
42、下图中既不是欧拉图，也不是哈密尔顿图的是（）。
43、在如下的有向图中，从V1到V4长度为3的道路有（）条。
A．1B．2C．3D．4
44、图中从v1到v3长度为3的通路有（）条。
A．0B．1C．2D．3
二、判断题（每题1分）
1．
。
（Y）
2．设A，B，C是任意三个集合。
（1）若AB且BC，则AC。
（Y）
（2）若AB且BC，则AC。
（N）
（3）若AB且BC，则AC。
（N）（4）（AB）
C=（A×C）（B×C）。
（Y）
（5）A∪（BC）=（A∪B）（A∪C）。
（N）
3．A，B，C为任意集合，若A∪B=A∪C，则B=C。
（N）
4．可能有某种关系，既不是自反的，也不是反自反的。
（Y）
5．可能有某种关系，既是对称的，又是反对称的。
（Y）
6．设R是实数集，R上的关系S={||x-y|＜2∧x,yR}，S是相容关系。
（Y）
7．若集合A上的关系R是对称的，则Rc也是对称的。
（Y）
8．数集合上的不等关系（≠）可确定A的一个划分（N）
9．设集合A、B、C为任意集合，若A×B=A×C，则B=C。
（N）
10．函数的复合运算“”满足结合律。
（Y）
11．集合A上的恒等关系是一个双射函数。
（Y）
12．任何一个循环群必定是阿贝尔群。
（Y）
13．任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。
（N）
14．设
是偏序集，BA，则B的极大元bB且唯一。
（N）
15．群是每个元素都有逆元的半群。
（N）
16．在代数系统中，若一个元素的逆元是唯一的，其运算必是可结合的。
（N）
17．每一个有限整环一定是域，反之也对。
（N）
18．设是布尔代数，则一定为有补分配格。
（Y）
19．若平面图共有v个结点，e条边和r个面，则v–e+r=2。
（N）
20．任何有向图中各结点入度之和等于边数。
（Y）
21．若两图结点数相同，边数相等，度数相同的结点数目相等，则两图是同构的。
（N）
22．一个图是平面图，当且仅当它包含与Ｋ3,3或Ｋ5在２度结点内同构的子图。
（N）
23．有割点的连通图可能是哈密尔顿图。
（N）
24．无多重边的图是简单图。
（N）
25．根树中最长路径的端点都是叶子。
（N）
26．在完全二叉树中，若有
片叶子，则边的总数e=2t－1。
（N）
27．群中可以有零元（对阶数大于1的群）。
（N）
28．任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。
（N）
29．每一个链都是分配格。
（Y）
30．不可能有偶数个结点，奇数条边的欧拉图。
（N）
31．集合A上的恒等关系是一个双射函数。
（Y）
32．设Q为有理数集，Q上运算*定义为
，则
是半群。
（Y）
33．在完全二元树中，若有
片叶子，则边的总数
。
（N）
34．能一笔画出的图不一定是欧拉图。
（Y）
35．根树中最长路径的端点都是叶子。
（N）
36．命题公式（A∧（AB））B是一个矛盾式。
（N）
37．设R是实数集，R上的关系F={||x-y|<2∧x,yR}，则F是相容关系。
（Y）
38．设是偏序集，BA，则B的极大元bB且唯一。
（N）
39．无多重边的图是简单图。
（N）
40．谓词公式xP（x）xQ（x）∨yR（y）的前束范式是xzy（P（x）Q（z）∨R（y））。
（Y）
三、解答题（本题分4小题，共计35分）
1、试求
的主析取范式。
2、用真值表判断下列公式是永真式？
永假式？
可满足式？
（1）（P∧P）Q
（2）（PQ）∧Q（3）（（PQ）∧（QR））（PR）
解：
（1）真值表：
PQ
PP∧P（P∧P）Q
00
101
01
100
10
001
11
000
因此公式
（1）为可满足。
（2）真值表
PQ
PQ（PQ）（PQ）∧Q
00
100
01
100
10
010
11
100
因此公式
（2）为永假式。
（3）真值表
PQR
PQQRPR（（PQ）∧（QR））（PR）
000
1111
001
1111
010
1011
011
1111
100
0101
101
0111
110
1001
111
1111
因此公式（3）为永真式。
3、设个体域是D={2，3，6}，F（x）:
x≤3，G（x）:
x>5，消去公式x（F（x）∧yG（y））中的量词，并讨论其真值。
解：
x（F（x）∧yG（y））x（F（x））∧yG（y）（F
（2）∧F（3）∧F（6））∧（G
（2）∨G（3）∨G（6））
F∧TF
4、求下列公式的前束范式：
（1）xF（x）∧﹁xG（x）
（2）（xF（x,y）→yG（y））→xH（x,y）
5、通过求主析取范式判断下列命题公式是否等值：
（P∨Q）∧（P∨Q∨R）与
（P∧（Q∨R））∨（Q∧（P∨R））。
解：
（P∨Q）∧（P∨Q∨R）
（P∨Q∨（R∧R））∧（P∨Q∨R）
（P∨Q∨R）∧（P∨Q∨R）∧（P∨Q∨R）
M1∧M0∧M4M0∧M1∧M4∏（0,1,4）∑（2,3,5,6,7）
（P∧（Q∨R））∨（Q∧（P∨R））
（P∧Q）∨（P∧R）∨（P∧Q）∨（Q∧R）
（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）
∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）
（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）
m7∨m6∨m5∨m3∨m2∑（2,3,5,6,7）
由此可见（P∨Q）∧（P∨Q∨R）（P∧（Q∨R））∨（Q∧（P∨R））
6、设个体域为D={-2,3,6}，谓词
，
，
，求谓词公式的真值：
7、若集合A={a,{b,c}}的幂集为（A），集合B={,{}}的幂集为（B），求：
（A）（B）。
解：
（A）={,{a},{{b,c}},{a,{b,c}}}
（B）={,{},{{}},{{,{}}}
（A）（B）={{a},{{b,c}},{a,{b,c}},{},{{}},{{,{}}}
8、设集合A={2,3,4,6,8,12,24}，R为A上的整除关系，
（1）画出偏序集的哈斯图；
（2）写出集合A中的最大元、最小元、极大元、极小元；
（3）写出A的子集B={2,3,6,12}的上界、下界、最小上界、最大下界。
9、集合S={1，2，3，4，5}，找出S上的等价关系，此关系能产生划分{{1，2}，{3}，{4，5}}，并画出关系图。
10、已知A＝{a，b，c，d}，A上的关系R定义为：
R＝{，，，，}，
求：
r（R），s（R），t（R）。
11、已知A＝{1，2，3，4，5}，A上的关系R定义为：
R＝{<1,2>，<2,1>，<1,3>，<2,4>，<4,1>，<5,5>，<5,3>，<5,4>}，
求：
r（R），s（R），t（R）。
12、集合
上的关系R={<1,1>,<1,3>,<2,2>,<3,3>,<3,1>,<3,4>,<4,3>,<4,4>}，写出关系矩阵MR，画出关系图并讨论关系R的性质。
13、设集合A={2,3,4,6,8,12,24}，R为A上的整除关系，画出偏序集的哈斯图。
14、已知G={1,2,3,4,5,6}，×7为模7乘法。
试说明是否构成群？
是否为循环群？
若是，生成元是什么？
15、一棵树T中，有3个2度结点，一个3度结点，其余结点都是树叶。
（1）T中有几个结点；
（2）画出具有上述度数的所有非同构的无向图。
16、设A={1，2，3，4，5}，A上的偏序关系如右图所示，
求：
A的子集{3，4，5}和{1，2，3}的上界，下界，上确界和下确界。
17、求图中A到其余各顶点的最短路径，并写出它们的权。
18、设带权无向图如下，求其最小生成树T及该树的总权值。
19、权数1，4，9，16，25，36，49，64，81，100构造一棵最优二叉树。
20、如下图所示的赋权图表示某七个城市v1,v2,……,v7及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小。
四、写出对应下面推理的证明：
（本题10分，1*10’=10’）
1、（AB）∧（CD），BE，DF，￢（E∧F），AC￢A
2、P∨WR，RS∨T，ST，￢T∧Q￢W
3、如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影；小赵不去看电影或小张去看电影；小王去看电影。
所以，当小赵去看电影时，小李也去看电影。
4、如果小张去看电影，则当小王去看电影时，小李也去。
小赵不去看电影或小张去看电影。
小王去看电影。
所以当小赵去看电影时，小李也去。
5、如果我学习（P），那么我数学不会不及格。
如果我不热衷于玩扑克（R），那么我将学习。
但我数学不及格（Q）。
因此我热衷于玩扑克。
（注：
请按括号中提示的字母翻译并进行论证。
）
6、或者是天晴，或者是下雨。
如果是天晴，我去看电影。
如果我去看电影，我就不看书。
所以，如果我在看书，则天在下雨。
7、所有牛都有角，有些动物是牛；所以，有些动物有角。
（P（x）：
x是牛；Q（x）：
x有角；R（x）：
x是动物）
8、每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车；每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车；有的人不喜欢骑自行车。
因而有的人不喜欢步行。
（先将推理在一阶逻辑中符号化，随后验证其正确性）
五、解答题（本题10分，1*10’=10’）
1、某班有25个学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。
而6个会打网球的人都会打另外一种球（指篮球或排球），求不会打这三种球的人数。
2、120名学生参加考试，这次考试有A、B和C共3道题，考试结果如下：
12名学生3道题都做对了；20名学生做对A和B；16名学生做对A和C；28名学生做对B和C；做对A题的有48名学生；做对B题的有56名学生；还有16名学生一道题也没做对。
试求做对了C题的学生有多少名。
3、已知100个学生中有32人学数学，20人学物理，45人学生物，15人学数学和生物，7人学数学和物理，10学物理和生物，30人这三门课一门也没学。
问三门课程全部都学的学生人数是多少？
4、设A={a,b,c}，求A上所有的等价关系。
5、给定权1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；构造一棵最优二叉树。
6、画出哈斯图：
设B＝{a,b,c}，R={|s1s2s1,s2P（B）}
7、偏序集
的关系图如下图所示，
（1）画出
的哈斯图；
（2）设B={b,c}，求B的所有上界、上确界，下界和下确界。
8、给定算式[（a+b）*c*（d+e）]－[f－g*h]，试用根树表示。
六、证明题：
（本题10分，1*10’=10’）
1、R是A上的二元关系，证明：
如果R是对称的，当且仅当R=R-1，且R-1也是对称的。
2、设R是A上的二元关系，试证：
R是传递的当且仅当R2R。
3、设R是A上一个二元关系，S={|a,bA∧（对于某一个cA,有R且R）}
试证：
若R是A上一个等价关系，则S也是A上的一个等价关系。
4、设R1是非空集合A上的自反和传递的二元关系，R2也是A上的二元关系，且有
R2R1∧R1
证明：
R2是A上的等价关系。
5、设f:
A→B,g:
B→C，证明
（1）若f,g都是满射，则g◦f:
A→C也是满射；
（2）若f,g都是单射，则g◦f:
A→C也是单射；
6、若f:
AB是从A到B的函数，定义一个函数g:
B2A对任意bB有g（b）={x|（xA）∧（f（x）=b）}，
证明：
若f是A到B的满射，则g是从B到
的单射。
7、给定代数系统U=，V=，W=。
设f：
XY是从U到V的同态，g：
YZ是从V到W的同态。
证明：
gf：
XZ是从U到W的同态。
8、设是一个独异点，并且对于G中的每一个元素x都有x*x=x，其中e是幺元。
求证：
是一个阿贝尔群。
9、设是群，如果对于G中的任意两个元素a,b都有（ab）-1=a-1b-1，证明：
是可交换群。
10、证明：
f是一个从V1到V2的同态映射。
令V1=,V2=,Z6={0,1,2,3,4,5},
⊕6:
a,bZ6,a⊕6b=（a+b）mod6，f:
IZ6,f（j）=j（mod6）,jI
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