中考数学专题特训第二十讲多边形与平行四边形含详细参考答案.docx

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中考数学专题特训第二十讲多边形与平行四边形含详细参考答案

中考数学专题复习第二十讲多边形与平行四边形

【基础知识回顾】

一、多边形：

1、定义：

在平面内，由若干条不在同一直线上的线段相连组成的图形叫做多边形，各边相等也相等的多边形叫做正多边形

2、多边形的内外角和：

n（n≥3）的内角和事外角和是正几边形的每个外角的度数是，每个内角的度数是

3、多边形的对角线：

多边形的对角线是连接多边形的两个顶点的线段，从几边形的一个顶点出发有条对角线，将多边形分成个三角形，一个几边形共有条对边线

【赵老师提醒：

1、三角形是边数最少的多边形

2、所有的正多边形都是轴对称图形，正n边形共有条对称轴，边数为数的正多边形也是中心对称图形】

二、平面图形的密铺：

1、定义：

用、完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间地铺成一起，这就是平面图形的密铺，称作平面图形的

2、密铺的方法：

⑴用同一种正多边形密铺，可以用、或

⑵用两正多边形密铺，组合方式有：

和、和、和

合等几种

【赵老师提醒：

密铺的图形在一个拼接处的特点：

几个图形的内角拼接在一起时，其和等于并使相等的边互相平合】

三、平行四边

1、定义：

两组对边分别的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD可写成

2、平行四边形的特质：

⑴平行四边形的两组对边分别

⑵平行四边形的两组对角分别

⑶平行四边形的对角线

【赵老师提醒：

1、平行四边形是对称图形，对称中心是过对角线交点的任一直线被一组对边的线段该直线将原平行四边形分成全等的两个部分】

3、平行四边形的判定：

⑴用定义判定

⑵两组对边分别的四边形是平行四边形

⑶一组对它的四边形是平行四边形

⑷两组对角分别的四边形是平行四边形

⑸对角线的四边形是平行四边形

【赵老师提醒：

特别的：

一组对边平行，另一组对边相等的四边形和一组对边相等、一组对角相等的四边形两个命题都不被保证是平行四边形】

4、平行四边形的面积：

计算公式X

同底（等底）同边（等边）的平行四边形面积

【赵老师提醒：

夹在两平行线间的平行线段两平行线之间的距离处】

【重点考点例析】

考点一：

多边形内角和、外角和公式

例1（•南京）如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4=．

思路分析：

根据题意先求出∠5的度数，然后根据多边形的外角和为360°即可求出∠1+∠2+∠3+∠4的值．

解：

由题意得，∠5=180°-∠EAB=60°，

又∵多边形的外角和为360°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-∠5=300°．

故答案为：

300°．

点评：

本题考查了多边形的外角和等于360°的性质以及邻补角的和等于180°的性质，是基础题，比较简单．

对应训练

1．（•广安）如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2=度．

1．240

考点：

多边形内角与外角．专题：

数形结合．

分析：

利用四边形的内角和得到∠B+∠C+∠D的度数，进而让五边形的内角和减去∠B+∠C+∠D的度数即为所求的度数．

解：

∵四边形的内角和为（4-2）×180°=360°，

∴∠B+∠C+∠D=360°-60°=300°，

∵五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，

∴∠1+∠2=540°-300°=240°，

故答案为240．

点评：

考查多边形的内角和知识；求得∠B+∠C+∠D的度数是解决本题的突破点．

考点二：

平面图形的密铺

例2（•贵港）如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（　　）

A．正三角形B．正四边形C．正六边形D．正八边形

思路分析：

分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360°即可作出判断．

解：

A、正三角形的一个内角度数为180°-360°÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；

B、正四边形的一个内角度数为180°-360°÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；

C、正六边形的一个内角度数为180°-360°÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；

D、正八边形的一个内角度数为180°-360°÷8=135°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意；

故选D．

点评：

本题考查平面密铺的问题，用到的知识点为：

一种正多边形能镶嵌平面，这个正多边形的一个内角的度数是360°的约数；正多边形一个内角的度数=180°-360°÷边数．

对应训练

考点三：

平行四边形的性质

例3（•阜新）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于点G．若使EF=14

AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（　　）

A．∠ABC=60°B．AB：

BC=1：

4C．AB：

BC=5：

2D．AB：

BC=5：

8

思路分析：

根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，然后根据两直线平行内错角相等，得到∠AEB=∠EBC，再由BE平分∠ABC得到∠ABE=∠EBC，等量代换后根据等角对等边得到AB=AE，同理可得DC=DF，再由AB=DC得到AE=DF，根据等式的基本性质在等式两边都减去EF得到AF=DE，当EF=

AD时，设EF=x，则AD=BC=4x，然后根据设出的量再表示出AF，进而根据AB=AF+EF用含x的式子表示出AB即可得到AB与BC的比值．解答：

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，

∴∠AEB=∠EBC，

又BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠EBC，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE，

同理可得：

DC=DF，

∴AE=DF，

∴AE-EF=DE-EF，

即AF=DE，

当EF=

AD时，设EF=x，则AD=BC=4x，

∴AF=DE=

（AD-EF）=1.5x，

∴AE=AB=AF+EF=2.5x，

∴AB：

BC=2.5：

4=5：

8．

故选D．

点评：

此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分性的定义以及等式的基本性质，利用了等量代换的数学思想，要求学生把所学的知识融汇贯穿，灵活运用．

例4（•广安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE=AD，点F在AD上，AF=AB，求证：

△AEF≌△DFC．

思路分析：

由四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质，即可得AB=CD，AB∥CD，又由平行线的性质，即可得∠D=∠EAF，然后由BE=AD，AF=AB，求得AF=CD，DF=AE，继而利用SAS证得：

△AEF≌△DFC．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠D=∠EAF，

∵AF=AB，BE=AD，

∴AF=CD，AD-AF=BE-AB，

即DF=AE，

在△AEF和△DFC中，

，

∴△AEF≌△DFC（SAS）．

点评：

此题考查了平行四边形的性质与全等三角的判定．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．

对应训练

3．（•永州）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为．

3．20

考点：

平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．

分析：

由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得OB=OD，AB=CD，AD=BC，又由OE⊥BD，即可得OE是BD的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得BE=DE，又由△CDE的周长为10，即可求得平行四边形ABCD的周长．

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，

∵OE⊥BD，

∴BE=DE，

∵△CDE的周长为10，

即CD+DE+EC=10，

∴平行四边形ABCD的周长为：

AB+BC+CD+AD=2（BC+CD）=2（BE+EC+CD）=2（DE+EC+CD）=2×10=20．

故答案为：

20．

点评：

此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．

4．（•大连）如图，▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED=BF，EF与AC相交于点O，求证：

OA=OC．

4．考点：

平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：

证明题．

分析：

根据ED=BF，可得出AE=CF，结合平行线的性质，可得出∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，继而可判定△AEO≌△CFO，即可得出结论．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=CB，∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，

又∵ED=BF，

∴AD-ED=BC-BF，即AE=CF，

在△AEO和△CFO中，

，

∴△AEO≌△CFO，

∴OA=OC．

点评：

此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出ED=BF及∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO是解答本题的关键．

考点四：

平行四边形的判定

例5（•资阳）如图，△ABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个点，∠ADE=∠DAC，DE=AC．运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？

（　　）

A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B．有一组对边平行的四边形是梯形

C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形

D．对角线相等的四边形是矩形

思路分析：

已知条件应分析一组边相等，一组角对应相等的四边不是平行四边形，根据全等三角形判定方法得出∠B=∠E，AB=DE，进而得出一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，得出答案即可．

解：

A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误；

B．有一组对边平行的四边形是梯形，若另一组对边也平行，则此四边形是平行四边形，故此选项错误；

C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，

∵△ABC是等腰三角形，

∴AB=AC，∠B=∠C，

∵DE=AC，AD=AD，∠ADE=∠DAC，

即

，

∴△ADE≌△DAC，

∴∠E=∠C，

∴∠B=∠E，AB=DE，

但是四边形ABDE不是平行四边形，

故一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，因此C符合题意，

故此选项正确；

D．对角线相等的四边形是矩形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误；

故选：

C．

点评：

此题主要考查了平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定，结合已知选项，得出已知条件应分析一组边相等，一组角对应相等的四边不是平行四边形是解题关键．

例6（•湛江）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．

求证：

（1）△ABE≌△CDF；

（2）四边形BFDE是平行四边形．

思路分析：

（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，对角相等，即可证得∠A=∠C，AB=CD，又由AE=CF，利用SAS，即可判定△ABE≌△CDF；

（2）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．

证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，AB=CD，

在△ABE和△CDF中，

∵

，

∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∵AE=CF，

∴AD-AE=BC-CF，

即DE=BF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

点评：

此题考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意熟练掌握定理的应用．

对应训练

5．（•泰州）下列四个命题：

①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

考点：

平行四边形的判定；三角形中位线定理；菱形的判定；正方形的判定；命题与定理；轴对称图形；中心对称图形．

分析：

根据平行四边形的各种判定方法、正方形的各种判定方法、菱形的各种判定方法以及正多边形的轴对称性逐项分析即可．

解：

①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；

②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，如图所示），故该命题错误；

③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；

④正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误；

所以正确的命题个数为2个，

故选B．

点评：

本题考查菱形的判定，平行四边形的判定以及正方形的判定定理以及真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

6．（•沈阳）已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．

（1）求证：

△AEM≌△CFN；

（2）求证：

四边形BMDN是平行四边形．

考点：

平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：

证明题．

分析：

（1）先根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，∠DAB=∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F，∠EAM=∠FCN，从而利用ASA可作出证明；

（2）根据平行四边形的性质及

（1）的结论可得BM

DN，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．

证明：

（1）四边形ABCD是平行四边形，

∴∠DAB=∠BCD，

∴∠EAM=∠FCN，

又∵AD∥BC，

∴∠E=∠F．

在△AEM与△CFN中，

，

∴△AEM≌△CFN；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥=CD，

又由

（1）得AM=CN，

∴BM

DN，

∴四边形BMDN是平行四边形．

点评：

本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定，属于基础题，比较简单．

【聚焦山东中考】

1．（•烟台）如图为年伦敦奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为度（不取近似值）。

1．

考点：

多边形内角与外角．

分析：

根据正多边形的定义可得：

正多边形的每一个内角都相等，则每一个外角也都相等，首先由多边形外角和为360°可以计算出正七边形的每一个外角度数，再用180°-一个外角的度数=一个内角的度数．

解：

正七边形的每一个外角度数为：

360°÷7=（

）°

则内角度数是：

180°-（

）°=（

）°，

故答案为：

．

点评：

此题主要考查了正多边形的内角与外角，关键是掌握正多边形的每一个内角都相等．

2．（•泰安）如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为（　　）

A．53°B．37°C．47°D．123°

2．考点：

平行四边形的性质．

分析：

设EC于AD相交于F点，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠EFA的度数，再利用平行四边形的性质：

即两对边平行即可得到内错角相等和对顶角相等，即可求出∠BCE的度数．

解：

∵在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，

∴∠E=90°，

∵∠EAD=53°，

∴∠EFA=90°-53°=37°，

∴∠DFC=37

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠BCE=∠DFC=37°．

故选B．

点评：

此题主要考查了平行四边形的性质和对顶角相等，根据题意得出∠E=90°和的对顶角相等是解决问题的关键．

3．（•聊城）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是（　　）

A．DF=BEB．AF=CEC．CF=AED．CF∥AE

考点：

平行四边形的性质；全等三角形的判定．分析：

根据平行四边形的性质和全等三角形的判定方法逐项分析即可．

解：

A、当DF=BE时，有平行四边形的性质可得：

AB=CD，∠B=∠D，利用SAS可判定△CDF≌△ABE；

B、当AF=CE时，有平行四边形的性质可得：

BE=DF，AB=CD，∠B=∠D，利用SAS可判定△CDF≌△ABE；

C、当CF=AE时，有平行四边形的性质可得：

AB=CD，∠B=∠D，利用SSA不能可判定△CDF≌△ABE；

D、当CF∥AE时，有平行四边形的性质可得：

AB=CD，∠B=∠D，∠AEB=∠CFD，利用AAS可判定△CDF≌△ABE．

故选C．

点评：

本题考查了平行四边形的性质和重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．

4．（•烟台）▱ABCD中，已知点A（-1，0），B（2，0），D（0，1）．则点C的坐标为．

4．（3，1）

考点：

平行四边形的性质；坐标与图形性质．专题：

计算题．

分析：

画出图形，根据平行四边形性质求出DC∥AB，DC=AB=3，根据D的纵坐标和CD=3即可求出答案．

解：

如图，∵平行四边形ABCD中，已知点A（-1，0），B（2，0），D（0，1），

∴AB=CD=2-（-1）=3，DC∥AB，

∴C的横坐标是3，纵坐标和D的纵坐标相等，是1，

∴C的坐标是（3，1），

故答案为：

（3，1）．

点评：

本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质的应用，能根据图形进行推理和求值是解此题的关键，本题主要考查学生的观察能力，用了数形结合思想．

5．（•济南）

（1）如图1，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE=CF．求证：

DE=BF．

（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数．

5．考点：

平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：

证明题．

分析：

（1）根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到一对边和一对角的对应相等，在加上已知的一对边的相等，利用“SAS”，证得△ADE≌△CBF，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证；

（2）首先根据AB=AC，利用等角对等边和已知的∠A的度数求出∠ABC和∠C的度数，再根据已知的BD是∠ABC的平分线，利用角平分线的定义求出∠DBC的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求出∠BDC的度数．

解答：

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，∠A=∠C，

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（SAS），

∴DE=BF；

（2）解：

∵AB=AC，∠A=40°，

∴∠ABC=∠C=

=70°，

又BD是∠ABC的平分线，

∴∠DBC=

∠ABC=35°，

∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=75°．

点评：

此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握定理与性质是解本题的关键．

6．（•威海）

（1）如图①，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．

求证：

AE=CF．

（2）如图②，将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．

求证：

EI=FG．

6．考点：

平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．

分析：

（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，又由平行线的性质，可得∠1=∠2，继而利用ASA，即可证得△AOE≌△COF，则可证得AE=CF．

（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证得△A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG．

证明：

（1）如图，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，OA=OC，

∴∠1=∠2，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴AE=CF；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，∠B=∠D，

由

（1）得AE=CF，

由折叠的性质可得：

AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，

∴A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，

又∵∠1=∠2，

∴∠3=∠4，

∵∠5=∠3，∠4=∠6，

∴∠5=∠6，

在△A1IE与△CGF中，

，

∴△A1IE≌△CGF（AAS），

∴EI=FG．

点评：

此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．

7．（•潍坊）如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．

（1）求证：

四边形AECF为平行四边形；

（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：

AE的值．

7．考点：

平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形．专题：

几何综合题．

分析：

（1）根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知AE∥CF；然后由全等三角形的判定定理ASA推知△ADE≌△CBF；最后根据全等三角形的对应边相等知AE=CF，所以对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（2）如图，连接AC交BF于点0．由菱形的判定定理推知▱ABCD是菱形，根据菱形的邻边相等知AB=BC；然后结合已知条件“M是BC的中点，AM丄BC”证得△ADE≌△CBF（ASA），所以AE=CF（全等三角形的对应边相等），从而证得△ABC是正三角形；最后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求得CF：

BC=tan∠CBF=

，利用等量代换知（AE=CF，AB=BC）AB：

AE=

．

解答：

（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形（已知），

∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）；

又∵AM丄BC（已知），

∴AM⊥AD；

∵CN丄AD（已知），

∴AM∥CN，

∴AE∥CF；

又由平行得∠ADE=∠CBD，又AD=BC（平行四边形的对边相等），

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（ASA），

∴AE=CF（全等三角形的对应边相等），

∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；

（2）如图，连接AC交BF于点0，当AECF为菱形时，

则AC与EF互相垂直平分，

∵BO=OD（平行四边形的对角线相互平分），

∴AC与BD互相垂直平分，

∴▱ABCD是菱形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形），

∴AB=BC（菱形的邻边相等）