泰勒公式及其应用典型例题.docx

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泰勒公式及其应用典型例题

  泰勒公式及其应用

常用近似公式

，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。

当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当

较大时），从下图可看出。

上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进：

1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。

2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“心中不安”。

将上述两个想法作进一步地数学化：

对复杂函数

，想找多项式

来近似表示它。

自然地，我们希望

尽可能多地反映出函数

所具有的性态——如：

在某点处的值与导数值；我们还关心

的形式如何确定；

近似

所产生的误差

。

【问题一】

设

在含

的开区间具有直到

阶的导数，能否找出一个关于

的 

 次多项式

近似

?

【问题二】

若问题一的解存在，其误差

的表达式是什么?

一、【求解问题一】

问题一的求解就是确定多项式的系数

。

……………

上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：

于是，所求的多项式为：

（2）

二、【解决问题二】

泰勒（Tayler）中值定理

若函数

在含有

的某个开区间

具有直到

阶导数，则当

时，

可以表示成

这里

是

与

之间的某个值。

先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：

这表明：

只要对函数 

 及 

在

与

之间反复使用

次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。

【证明】

以

与

为端点的区间

或

记为 

， 

。

函数 

 在

上具有直至 

 阶的导数，

且  

函数 

 在

上有直至

阶的非零导数，

且  

于是，对函数 

 及 

 在

上反复使用 

 次柯西中值定理，有

三、几个概念

1、

此式称为函数

按

的幂次展开到 

阶的泰勒公式；

或者称之为函数

在点 

 处的 

 阶泰勒展开式。

当 

 时，泰勒公式变为

这正是拉格朗日中值定理的形式。

因此，我们也称泰勒公式中的余项。

 为拉格朗日余项。

2、对固定的

，若 

有  

此式可用作误差界的估计。

故  

表明：

误差

是当 

时较 

 高阶无穷小，这一余项表达式称之为皮亚诺余项。

3、若

，则

在 

 与 

之间，它表示成形式   

，

泰勒公式有较简单的形式—— 麦克劳林公式

近似公式

误差估计式

【例1】求

的麦克劳林公式。

解：

，

 于是  

有近似公式    

其误差的界为  

我们有函数

 的一些近似表达式。

（1）、

（2）、

  （3）、

在matlab中再分别作出这些图象，观察到它们确实在逐渐逼近指数函数。

【例2】求 

 的 

阶麦克劳林公式。

解：

它们的值依次取四个数值 

。

其中：

同样，我们也可给出曲线 

 的近似曲线如下，并用matlab作出它们的图象。

【例3】求

的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余项。

解：

于是：

利用泰勒展开式求函数的极限，可以说是求极限方法中的“终极武器”， 使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。

【例4】利用泰勒展开式再求极限 

。

解：

，   

【注解】

现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处

因为

，从而

当

时，

，应为 

【例5】利用三阶泰勒公式求 

的近似值，并估计误差。

解：

故：