核按钮新课标高考数学一轮复习 第二章 函数的概念基本初等函数Ⅰ及函数的应用 27 函数的.docx

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§2.7　函数的图象

1．作函数的图象有两种基本方法：

（1）利用描点法作图，其一般步骤为：

①确定函数定义域；

②化简函数解析式；

③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、最值等）；

④描点并作出函数图象．

（2）图象变换法．

2．图象变换的四种形式

（1）平移变换

①水平平移：

y＝f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度，得到________的图象；y＝f（x－a）（a＞0）的图象可由y＝f（x）的图象向________平移a个单位长度而得到．

②竖直平移：

y＝f（x）的图象向上平移b（b＞0）个单位长度，得到________的图象；y＝f（x）－b（b＞0）的图象可由y＝f（x）的图象向________平移b个单位长度而得到．

总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”．

（2）对称变换

①y＝f（－x），y＝－f（x），y＝－f（－x）三个函数的图象与y＝f（x）的图象分别关于、、对称；

②若对定义域内的一切x均有f（m＋x）＝f（m－x），则y＝f（x）的图象关于直线对称．

（3）伸缩变换

①要得到y＝Af（x）（A>0）的图象，可将y＝f（x）的图象上每点的纵坐标伸（A>1时）或缩（A<1时）到原来的__________；

②要得到y＝f（ax）（a>0）的图象，可将y＝f（x）的图象上每点的横坐标伸（a<1时）或缩（a>1时）到原来的__________．

（4）翻折变换

①y＝|f（x）|的图象作法：

作出y＝f（x）的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，上方的部分不变；

②y＝f（|x|）的图象作法：

作出y＝f（x）在y轴右边的图象，以y轴为对称轴将其翻折到左边得y＝f（|x|）在y轴左边的图象，右边的部分不变．

自查自纠

2．

（1）①y＝f（x＋a）　右　②y＝f（x）＋b　下

（2）①y轴　x轴　原点　②x＝m

（3）①A倍　②

倍

（

）函数y＝1－

的图象是（　　）

解：

将y＝－

的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y＝1－

的图象．故选B.

（

）为了得到函数y＝lg

的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点（　　）

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

解：

y＝lg

＝lg（x＋3）－1，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．故选C.

（

）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x＋1）的解集是（　　）

A．{x|－1＜x≤0}

B．{x|－1≤x≤1}

C．{x|－1＜x≤1}

D．{x|－1＜x≤2}

解：

在此坐标系内作出y＝log2（x＋1）的图象，如图．

满足不等式f（x）≥log2（x＋1）的x范围是－1＜x≤1，因此不等式f（x）≥log2（x＋1）的解集是{x|－1＜x≤1}．故选C.

若将函数y＝f（x）的图象向左平移2个单位，再沿y轴对折，得到y＝lg（x＋1）的图象，则f（x）＝________.

解：

把y＝lg（x＋1）的图象沿y轴对折得到

y＝lg（－x＋1）的图象，再将图象向右平移2个单位

得y＝lg[－（x－2）＋1]＝lg（3－x）的图象．

∴f（x）＝lg（3－x），故填lg（3－x）．

（

）已知函数f（x）＝

且关于x的方程f（x）－a＝0有不相等的两个实根，则实数a的取值范围是________．

解：

要使方程f（x）－a＝0有两个不相等的实根，只要y＝f（x）与y＝a的图象有两个交点．当x≤0时，0＜2x≤1.作出函数图象如图，由图象可知0＜a≤1.故填0＜a≤1.

类型一　作图

　作出下列函数的图象：

（1）y＝x2－2|x|－1；

（2）y＝|2x－2|.

解：

（1）y＝

其图象如图

（1）．

（1）

（2）

（2）首先作出y＝2x的图象，再将图象向下平移2个单位，最后将x轴下方的图象翻折到x轴上方即可，图

（2）即为所求．

【点拨】①本题中

（2）的函数的图象是由基本函数通过变换得到的，因此可先作最基本的函数的图象，再根据平移、伸缩、对称等变换作出待作函数的图象；②变换法作函数的图象是经常用到的一种作图方法，在作图时，应注意先作出图象的关键点（如与x轴、y轴的交点等）和关键线（如对称轴、渐近线等）；③利用函数奇偶性与基本函数图象的特征作图，也是常用方法之一．

　作出下列函数的图象：

（1）y＝|lgx|；

（2）y＝

.

解：

（1）y＝|lgx|＝

其图象如图

（1）．

（1）

（2）

（2）∵y＝

＝

＝2＋

.

定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞）．

∴把y＝

的图象向右平移1个单位得y＝

的图象；再把y＝

的图象向上平移2个单位可得y＝2＋

的图象，如图

（2）所示．

类型二　识图

　（

）函数f（x）＝

的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　）

A．a>0，b>0，c<0

B．a<0，b>0，c>0

C．a<0，b>0，c＜0

D．a＜0，b＜0，c＜0

解：

由f（x）＝

及图象可知，x≠－c，－c＞0，则c＜0；当x＝0时，f（0）＝

＞0，所以b＞0；当y＝0，ax＋b＝0，所以x＝－

＞0，所以a＜0.故a＜0，b＞0，c＜0.故选C.

【点拨】函数图象的辨识可从以下几方面入手：

（1）从函数的定义域判断图象的左右位置；从函数的值域判断图象的上下位置；

（2）从函数的单调性判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性判断图象的对称性；（4）从函数的周期性判断图象的循环往复；（5）从函数的特殊点判断图象的相对位置等．本题主要是通过函数解析式判断其定义域，通过定义域判断c的正负，通过特殊点的位置判断a，b的正负．

　（

）已知函数y＝loga（x＋c）（a，c为常数，其中a>0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．a>1，c>1B．a>1，0

C．01D．0

解：

该函数是减函数，∴0

类型三　用图

　设a为实数，且1＜x＜3，试讨论关于x的方程x2－5x＋3＋a＝0的实数解的个数．

解：

原方程即a＝－x2＋5x－3.

分别作出函数y＝－x2＋5x－3＝－

＋

（1＜x＜3）和y＝a的图象，得

当a＞

或a≤1时，原方程的实数解的个数为0；

当a＝

或1＜a≤3时，原方程的实数解的个数为1；

当3＜a＜

时，原方程的实数解的个数为2.

【点拨】①将方程的解的个数转化为函数图象的交点的个数；②通过图形直观研究方程实数解的个数，是常用的讨论方程解的一种方法．

　（

）已知函数f（x）＝x|x－2|，则不等式f（

－x）≤f

（1）的解集为________．

解：

由f（x）＝

作出y＝f（x）的大致图象如图，f（x）＝1时，x＝1或x＝1＋

，由f（

－x）≤f

（1）得

－x≤1＋

，从而得x≥－1，故填{x|x≥－1}．

1．涉及函数图象问题的试题形式主要有：

①知图选（求）式；

②知式选（作）图；

③图象变换；

④图式结合等．

对基本初等函数，要“胸有成图”，会“依图判性”，进而达到对图“能识会用”．

2．识图与用图

（1）识图

对于给定的图象，要能从图象的左、右、上、下分布的范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最大值、最小值等．

（2）用图

函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，使问题成功获解的重要依托．

函数图象主要应用于以下方面：

①求函数的解析式；②求函数的定义域；③求函数的值域；④求函数的最值；⑤判断函数的奇偶性；⑥求函数的单调区间；⑦解不等式；⑧证明不等式；⑨探求关于方程根的分布问题；⑩比较大小；⑪求函数周期等．

3．图象对称性的证明

（1）证明函数的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心（或对称轴）的对称点仍在图象上．

（2）证明曲线C1与C2的对称性，即证明C1上任一点关于对称中心（或对称轴）的对称点在C2上，反之亦然．

1．函数y＝log3x的图象与函数y＝log

x的图象（　　）

A．关于x轴对称B．关于y轴对称

C．关于原点对称D．关于y＝x对称

解：

y＝log

x＝－log3x，y＝log3x与y＝－log3x关于x轴对称．故选A.

2．（

）已知图①中的图象对应的函数为y＝f（x），则图②中的图象对应的函数可能为（　　）

A．y＝f（|x|）B．y＝|f（x）|

C．y＝f（－|x|）D．y＝－f（|x|）

解：

y＝f（－|x|）＝

故选C.

3．（

）若函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（　　）

解：

因为函数y＝logax过点（3，1），所以1＝loga3，解得a＝3，而y＝3－x不可能过点（1，3），排除A；y＝（－x）3＝－x3不可能过点（1，1），排除C；y＝log3（－x）不可能过点（－3，－1），排除D.故选B.

4．把函数y＝log2（x－1）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

倍，再向右平移

个单位长度所得图象的函数式为（　　）

A．y＝log2（2x＋1）B．y＝log2（2x＋2）

C．y＝log2（2x－1）D．y＝log2（2x－2）

解：

把函数y＝log2（x－1）图象上各点的横坐标缩短到原来的

倍，得到y＝log2（2x－1）的图象，再向右平移

个单位长度，所得函数的解析式为y＝log2

＝log2（2x－2）．故选D.

5．（

）函数y＝

的图象大致是（　　）

解：

由3x－1≠0得x≠0，∴函数y＝

的定义域为{x|x≠0}，可排除选项A；当x＝－1时，y＝

＝

>0，可排除选项B；当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝

，但从选项D的函数图象可以看出函数在（0，＋∞）上单调递增，可排除选项D.故选C.

6．已知f（x）＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f（a）＞f（c）＞f（b），则必有（　　）

A．a＜0，b＜0，c＜0

B．a＜0，b＞0，c＞0

C．2－a＜2c

D．1＜2a＋2c＜2

解：

作出函数y＝f（x）的大致图象如图所示，∵当a＜b＜c时，有f（a）＞f（c）＞f（b），∴结合图象可知a，b，c不可能同时大于等于0，也不可能同时小于等于0.因此，这三个数的相对位置如图所示，其中a＜0，0＜c＜1，b可正可负也可为0，选项A，B错；由图象知－a＞c＞0，∴2－a＞2c，选项C错；对于选项D，∵0＜2a＜1，1＜2c＜2，而f（a）＞f（c），∴1－2a＞2c－1，得1＜2a＋2c＜2.故选D.

7．若函数f（x）＝

的图象关于点（1，1）对称，则实数a＝________．

解：

函数f（x）＝

＝a＋

，当a＝2时，f（x）＝2（x≠1），不关于点（1，1）对称，故a≠2，其图象的对称中心为（1，a），所以a＝1，故填1.

8．设函数y＝f（x＋1）是定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，在区间（－∞，0）上是减函数，且图象过点（1，0），则不等式（x－1）f（x）≤0的解集为________．

解：

将y＝f（x＋1）的图象向右平移1个单位得到y＝f（x）的图象，由已知可得f（x）的图象的对称轴为x＝1，过定点（2，0），且函数在（－∞，1）上递减，在（1，＋∞）上递增，则f（x）的大致图象如图所示．不等式（x－1）f（x）≤0可化为

或

由图可知符合条件的解集为（－∞，0]∪（1，2]．故填（－∞，0]∪（1，2]．

9．已知f（x）的图象如图所示，在[0，4]上是抛物线的一段，求f（x）的解析式．

解：

f（x）＝

10．若函数y＝mx与函数y＝

的图象无公共点，求实数m的取值范围．

解：

由已知得f（x）＝

它的图象如图．

由图可知，当－1≤m＜m0（m0为直线y＝mx与图中曲线相切时直线的斜率）时，符合要求．

将y＝mx与y＝1＋

联立得mx2－（m＋1）x－1＝0，由Δ＝0得m＝－3＋2

＝m0.

∴实数m的取值范围为[－1，－3＋2

）．

11．已知函数f（x）＝ax3－x2＋cx（a≠0）的图象如图所示，它与x轴仅有两个交点O（0，0）和A（xA，0）（xA＞0）．

（1）证明常数c≠0；

（2）如果xA＝

，求函数f（x）的解析式．

解：

（1）证明：

假设c＝0，则f（x）＝x2（ax－1），

∴xA＝

＞0.

当x＞xA时，f（x）＞0；当x＜xA时，f（x）＜0.这与图象显示的“当0＜x＜xA时，f（x）＞0”矛盾，故c≠0.

（2）f（x）＝x（ax2－x＋c）．

∵函数的图象与x轴有且仅有两个公共点，

∴ax2－x＋c＝0有两个相等的实数根x＝

.

∴

＝

＋

＝1且Δ＝1－4ac＝0，解得

故所求函数为f（x）＝x3－x2＋

x.

（

）已知a＞0且a≠1，函数f（x）＝loga（x＋

）在区间（－∞，＋∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）＝loga||x|－b|的图象是（　　）

解：

由函数f（x）＝loga（x＋

）在区间（－∞，＋∞）上是奇函数得f（0）＝loga

＝0，解得b＝1.

所以f（x）＝loga（x＋

），令y＝x＋

，

则y′＝1＋

＝

＞

≥0，

∴y＝x＋

是增函数，由复合函数的单调性可知a＞1.

所以g（x）＝loga||x|－1|

＝

当x＜－1时，函数g（x）单调递减；当－1＜x＜0时，函数g（x）单调递增，排除B，C，D，经验证，A适合．故选A.