几何画板与分形.docx
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几何画板与分形
几何画板迭代与深度迭代
迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。
通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。
递归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗内存较大。
迭代：
按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。
原象：
产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。
初象：
原象经过一系列变换操作而得到的象。
与原象是相对概念。
更具体一点，在代数学中，如计算数列1，3，5，7，9......的第n项。
我们知道
，所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。
以1作为原像，3作为初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，以此类推。
在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。
上图中A、B、C、D、E、F，各点相距1.88cm，那么怎么由A点和B点得到其它各点呢？
我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了1.88cm。
所以我们以A点作为原像，B点作为初像，迭代一次得到B点，二次为C点，以此类推。
迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数。
利用几何画板的深度迭代功能可以画出许多美妙的分形图形，并以几何画板为基础来研究分刑图形面积，周长的变化。
一、谢尔宾斯基三角形
利用几何画板画法流程：
（1）先任意画好一个三角形ABC，接着构造线段AB，BC，CA的中点D，E，F，选择点D，E，F，再选择菜单“构造”、“三角形内部”。
（2）在“图表”中“新建参数”为n=3．依次选择点A，8，C和参数n，按住shift键不放后选择“变换”中的“深度迭代”。
（3）在初象中依次选A，D和F点，再添加新的映射（按Ctrl+A），映像2中依次选D，B和E点，再按Ctrl+A，依次选F，E和C点。
最后选“迭代”，得到谢尔宾斯基三角形。
选择n按“+”或“一”，三角形就进行了迭代变化。
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
随着有色三角形越来越多，空白三角形越来越少。
我们若用有色三角形表示去掉的部分,，则剩下的面积可能趋向于0，而剩下部分的周长呢,，设分形级数为n，初始边长为1,
1新产生的小三角形数量为
②一个新小三角形边长为
1③谢尔宾斯基三角形周长为
④谢尔宾斯基三角形面积为
;
⑤当n→∞时,显然其周长趋向于无穷大,面积趋向于零。
著名的埃菲尔铁塔正是以它作为平面图的.因为这种三角形结构可以节省材料而且强度大,虽然铁塔并没有把分形进行到无穷,但是它已经能在这种条件下完成了重力的转移,充分体现了这项工程的精彩,同时也显示了谢尔宾斯基三角形无尽的魅力.
二、分形树
分形树制作流程：
（1）画好线段AB，取中点C，双击B点，以B为旋转中心将C旋转120。
得E点，旋转一120。
得D点。
（2）新建参数n=3，依次选点A，B和n，用“深度迭代”将，B映射到B，E和B，D就
可以了．然后可以改变参数，观看分形树的生长。
n=2
n=3
n=10
1.在垂直方向上画线段AB，在AB左上区域任取一点C。
2.度量CB，BA的长度，计算CB/BA；度量CBA的大小。
3.双击C点作为旋转中心，旋转角度为CBA，旋转B得到点E；继续以CB/BA为缩放比例，E点缩为F点；双击线段CB作为标记镜面，得到F点关于线段CB的对称点G。
连接GC，FC。
4.双击线段AB作为标记镜面，得到C、F、G关于线段AB的对称点D、H、I，连接BD、HD、ID。
5.新建参数n=3。
顺次选择A、B、C三点和参数n，作深度迭代，（A,B,C）（B,C,G）,（B,C,F）,（B,D,H）,（B,D,I）。
n=2
n=3
n=4
n=5
毕达哥拉斯树
【步骤】
1.在屏幕上以任取两点A和B，作正方形ABCD，以CD为直径作圆O，取半圆弧OCD，在该弧上任取一点E，接CE，DE。
隐藏不必要的对象。
2．填充四边形ABCD，度量ABCD的面积。
选择四边形和度量结果，单击【显示】【颜色】【参数】。
则四边形的颜色会随它的面积变化而变化。
3.新建参数n＝4，选择A、B和n，作深度迭代，（A,B）
（D,E）,（E,C）。
n=3
n=4
n=5
n=10
n=20
L—分形树
1、构造初始元
作始元竖直线段AB，在AB上作两点A1，A4，以A1为中心分别按角度36度旋转B得到B1，按角度126度旋转A4得到B4，以B为中心分别按角度-171度旋转A1为B2，按角度144度旋转A1为B3，连接A1B1、BB2、BB3、A4B4、得到以下生成元
生成元
2、删除生成元中的四枝杈线段，显示出初始元AB，新建参数n=5，以n为深度，将生成元A—B分别在A1—B1，B—B2，B—B3,A4—B4上执行深度迭代，隐藏各点得到L—分形树。
n=6（L—分形树）
以上方法所作的分形树是线性（自相似）分形树，其变换是相似变换，属于确定型L—分形，不能得到生动逼真的植物拟态图形。
要模拟出栩栩如生的植物形态，就要引入随机L—分形。
1、作始元
做初始元竖直线段AB和线段CD，在CD上作点P，度量出点P在线段CD上的值，按下图左侧公式计算度量值。
标记m1，以A为缩放中心B得A1，以B为缩放中心A得A4。
标记m2，以A1为中心旋转B得B1。
标记m3，以B为中心旋转A4得B2。
标记m4，以B为旋转中心旋转A1得B3；标记m5，以A4为标记中心旋转A得B4，连接连接A1B1、BB2、BB3、A4B4、得到以下生成元
生成元：
2、删除生成元中的四枝杈线段，显示出初始元AB，新建参数n=5，以n为深度，将生成元A—B分别在A1—B1，B—B2，B—B3,A4—B4上执行深度迭代，隐藏各点得到随机分形树。
n=6（随机分形下的L分形树）
桧树分形小枝
绘制桧树分形小枝的生成元
同Koch曲线生成元的构造类似，桧树分形小枝生成元的构造也是通过一定的规则对单位长线段F0进行修改变换而得到。
具体变换规则如下：
如下图所示，桧树分形小枝的生成元由五条长度相等的线段组成，设每条线段长度为r，第一条线段AC和最后一条线段EB与水平线的夹角相等，都是10°，AC左端点A与F0左端点重合，EB右端点B与F0右端点重合，CD与CE成60°角，EF与EB成60°角。
具体C++程序设计语言如下：
#include/*添加绘图函数头文件*/
#include/*添加数学函数头文件*/
#include
#include
usingnamespacestd;
#definepi3.1415926
voidhuishu（doublex0,doubley0,doublex1,doubley1,intk）;
intmain（void）
{
intn,gdriver=DETECT,gmode;/*定义迭代次数n*/
printf（"Pleaseinputthevalueofthepositiveintegern（n<9）:
"）;
cin>>n;
/*输入迭代次数n*/
initgraph（&gdriver,&gmode,""）;/*图形系统初始化*/
setcolor（GREEN）;
huishu（50,250,550,250,n）;/*画桧树分形小枝*/
getch（）;
closegraph（）;
return0;
}
voidhuishu（doublex0,doubley0,doublex1,doubley1,intk）
{
doublex2,y2,x3,y3,x4,y4,x5,y5,x11,y11,x22,y22;
doubler,t;
t=pi/18;
r=（2*cos（t）-sqrt（4*cos（t）*cos（t）-3.0））/3.0;/*r的计算式*/
x11=r*x1+（1-r）*x0;
y11=r*y1+（1-r）*y0;
x22=r*x0+（1-r）*x1;
y22=r*y0+（1-r）*y1;
x2=（x11-x0）*cos（t）-（y11-y0）*sin（t）+x0;
y2=（x11-x0）*sin（t）+（y11-y0）*cos（t）+y0;
x4=（x22-x1）*cos（t）-（y22-y1）*sin（t）+x1;
y4=（x22-x1）*sin（t）+（y22-y1）*cos（t）+y1;
x3=（x4-x2）*cos（6*t）-（y4-y2）*sin（6*t）+x2;
y3=（x4-x2）*sin（6*t）+（y4-y2）*cos（6*t）+y2;
x5=（x1-x4）*cos（-6*t）-（y1-y4）*sin（-6*t）+x4;
y5=（x1-x4）*sin（-6*t）+（y1-y4）*cos（-6*t）+y4;
if（k>1）{
huishu（x0,y0,x2,y2,k-1）;huishu（x2,y2,x3,y3,k-1）;
huishu（x2,y2,x4,y4,k-1）;
huishu（x4,y4,x5,y5,k-1）;
huishu（x4,y4,x1,y1,k-1）;
}
else{
line（x0,y0,x2,y2）;
line（x2,y2,x3,y3）;
line（x2,y2,x4,y4）;
line（x4,y4,x5,y5）;
line（x4,y4,x1,y1）;
}
}
n=5
n=10时，计算机运行时，可以动态模拟迭代的过程
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