解一元二次方程公式法导学案新版新人教版.docx

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解一元二次方程公式法导学案新版新人教版

解一元二次方程——公式法导学案（新版新人教版）

第4课时解一元二次方程-公式法

一、学习目标了解掌握一元二次方程根的判别式，不解方程能判定一元二次方程根的情况；

理解一元二次方程求根公式的推导过程；

掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况；

学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程．

二、知识回顾1．什么是配方法?

配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？

配方法：

通过配方，先把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，然后运用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．

配方法解一元二次方程的一般步骤：

移常数项到方程右边；

化二次项系数为1；

方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

化方程左边为完全平方式；

若方程右边为非负数，则利用直接开平方法解得方程的根．

．怎样用配方法解形如一般形式ax2+bx+c=0的一元二次方程？

解：

移项，得

二次项系数化为1，得

配方，得

即：

，

因为所以

当；

当

三、新知讲解一元二次方程根的判别式

叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母表示它，即．

一元二次方程根的情况与判别式的关系

方程有两个不相等的实数根；

方程有两个相等的实数根；

方程没有实数根．

公式法解一元二次方程

一般地，对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0，当时，它的两个根分别是

这里，叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．

公式法解一元二次方程的一般步骤

把方程化成一般形式：

ax2+bx+c=0；

确定a，b，c的值；

求出的值，并判断方程根的情况：

当时，方程有两个不相等的实数根；

当时，方程有两个相等的实数根；

当时，方程没有实数根．

当时，将a，b，c和的值代入公式．

四、典例探究

．根据根的判别式判断一元二次方程根的情况

【例1】已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

两个根都是自然数D．无实数根

总结：

求根的判别式时，应该先将方程化为一般形式，正确找出a，b，c的值.

根的判别式与一元二次方程根的情况的关系如下：

当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．

练1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法不正确的是

A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实

数根

c．没有实数根D．无法确定

练2．已知：

关于x的方程x2+2x+2﹣1=0

不解方程，判别方程根的情况；

若方程有一个根为3，求的值．

．根据一元二次方程根的情况求参数的值或取值范围

【例2】若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是

A．﹣1B．1c．﹣4D．4

总结：

已知方程根的情况求字母的值或取值范围时：

先计算根的判别式；

再根据方程根的情况列出关于根的判别式的等式或不等式求解；

若二次项系数出现了字母，应注意“二次项系数不为0”．

练3．关于x的一元二次方程x2+2x+1=0有实数根，则的取值范围是

A．≤3B．＜3c．＜3且≠2D．≤3且≠2

．用公式法解一元二次方程

【例3】用公式法解下列方程：

x2+2x﹣2=0；

y2﹣3y+1=0；

．x2+3=2x

总结：

公式法的实质是配方法，只不过省去了配方的过程，而直接利用了配方的结论；

运用公式法求解一元二次方程要注意两个前提：

先将一元二次方程化为一般形式，即确定a，b，c的值；

必须保证b2-4ac≥0．

练4．解方程：

x=3x+1．

练5．当x是何值时，3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等？

五、课后小测一、选择题

．下列一元二次方程中，没有实数根的是

A．4x2﹣5x+2=0B．x2﹣6x+9=0c．5x2﹣4x﹣1=0D．3x2﹣4x+1=0

．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为

A．﹣1B．0c．1D．2

．等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为

A．9B．10c．9或10D．8或10

．有两个一元二次方程：

ax2+bx+c=0；N：

cx2+bx+a=0，其中a?

c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是

A．如果方程有两个相等的实数根，那么方程N也有两

个相等的实数根

B．如果方程的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同

c．如果5是方程的一个根，那么是方程N的一个根

D．如果方程和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1

．已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是

A．﹣2＜x1＜﹣1B．﹣3＜x1＜﹣2c．2＜x1＜3D．﹣1＜x1＜0

二、填空题

．用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=

x1=

x2=

．

三、解答题

．用公式法解方程：

2x2﹣4x=5．

．解方程：

2x2﹣2x﹣5=0．

．用公式法解方程：

x=4．

0．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．

若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；

的值及方程的另一根．a时，求1当该方程的一个根为

1．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2=0．

证明：

不论为何值时，方程总有实数根；

为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

．已知关于x的一元二次方程x2+x++1=0．

求证：

无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求的值．

3．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+﹣2=0

小明考查后说，它总有两个不相等的实数根．

小华补充说，其中一个根与无关．

请你说说其中的道理．

典例探究答案：

【例1】已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

c．两个根都是自然数D．无实数根

分析：

判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．

解答：

解：

∵a=2，b=﹣5，c=3，

∴△=b2﹣4ac=2﹣4×2×3=1＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：

A．

点评：

此题主要考查了一元二次方程根的判别式，要熟

练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

△＞0?

方程有两个不相等的实数根；△=0?

方程有两个相等的实数根；△＜0?

方程没有实数根．

练1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法不正确的是

A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根

c．没有实数根D．无法确定

分析：

先求出△的值，再判断出其符号即可．

解答：

解：

∵△=42﹣4×3×=76＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选B．

点评：

本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0的根与△的关系是解答此题的关键．

练2．已知：

关于x的方程x2+2x+2﹣1=0

不解方程，判别方程根的情况；

若方程有一个根为3，求的值．

分析：

找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；

将x=3代入已知方程中，列出关于系数的新方程，通过解新方程即可求得的值．

，1﹣c=2，b=2，a=1解答：

解：

∵

∵△=b2﹣4ac=2﹣4×1×=4＞0，

∴方程x2+2x+2﹣1=0有两个不相等的实数根；

∵x2+2x+2﹣1=0有一个根是3，

∴32+2×3+2﹣1=0，

解得，=﹣4或=﹣2．

点评：

此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

△＞0?

方程有两个不相等的实数根；△=0?

方程有两个相等的实数根；△＜0?

方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

【例2】若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是

A．﹣1B．1c．﹣4D．4

分析：

根据方程根的情况与判别式的关系知△=42﹣4×4c=0，然后解一次方程即可．

解答：

解：

∵一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，

∴△=42﹣4×4c=0，

∴c=1，

故选B．

点评：

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判

别式△=b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

练3．关于x的一元二次方程x2+2x+1=0有实数根，则的取值范围是

A．≤3B．＜3c．＜3且≠2D．≤3且≠2

分析：

根据一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式△=b2-4ac的意义得到-2≠0且△≥0，即22-4××1≥0，然后解不等式组即可得到的取值范围．

解答：

解：

∵关于x的一元二次方程x2+2x+1=0有实数根，

∴-2≠0且△≥0，即22-4××1≥0，解得≤3，

∴的取值范围是≤3且≠2．

故选：

D．

点评：

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式△=b2-4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

【例3】用公式法解下列方程：

x2+2x﹣2=0；

y2﹣3y+1=0；

．x2+3=2x

分析：

求出b2﹣4ac的值，代入公式x=求出即可；

求出b2﹣4ac的值，代入公式y=求出即可；

求出b2﹣4ac的值是负数，即可得出原方程无解．

解答：

解：

这里a=1，b=2，c=﹣2，

∵b2﹣4ac=22﹣4×1×=12＞0，

∴x==﹣1，

∴x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；

这里a=1，b=﹣3，c=1．

∵b2﹣4ac=2﹣4×1×1=5＞0，

y=，

∴y1=，y2=；

移项，得x2﹣2x+3=0，

这里a=1，b=﹣2，c=3

∵b2﹣4ac=2﹣4×1×3=﹣4＜0．

点评：

本题主要考查学生运用公式法正确解方程的能力，前提是先判断判别式的符号，再根据情况代入求根公式求解．

练4．解方程：

x=3x+1．

分析：

整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．

解答：

解：

x=3x+1，

整理得：

x2﹣5x﹣1=0，

b2﹣4ac=2﹣4×1×=29，

x=，

x1=，x2=．

点评：

本题考查了解一元二次方程的应用，能正确运用公式法解一元二次方程是解此题的关键，难度适中．

练5．当x是何值时，3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等？

分析：

根据3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等，即可列出方程，然后利用公式法即可求解．

解答：

解：

根据题意得：

3x2+4x﹣8=2x2﹣1，

即x2+4x﹣7=0，

a=1，b=4，c=﹣7，

△=b2﹣4ac=16+28=44＞0，

则x==﹣2．

点评：

本题考查了公式法解一元二次方程，注意公式运用的条件：

判别式△≥0．

课后小测答案：

一、选择题

．下列一元二次方程中，没有实数根的是

A．4x2﹣5x+2=0B．x2﹣6x+9=0c．5x2﹣4x﹣1=0D．3x2﹣4x+1=0

∴方程没有实数根，，0＜7﹣4=×2×4﹣=25∵△、A解：

故本选项正确；

B、∵△=36﹣4×1×4=0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；

c、∵△=16﹣4×5×=36＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；

D、∵△=16﹣4×1×3=4＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；

故选A．

．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为

A．﹣1B．0c．1D．2

解：

∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+2=0有实数根，

∴△=2﹣8=12﹣8a≥0且a﹣1≠0，

∴a≤且a≠1，

∴整数a的最大值为0．

故选：

B．

．等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为

A．9B．10c．9或10D．8或10

解：

∵三角形是等腰直角三角形，

∴①a=2，或b=2，②a=b两种情况，

①当a=2，或b=2时，

∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，

∴x=2，

把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得，22﹣6×2+n﹣1=0，

解得：

n=9，

当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，

故n=9不合题意，

②当a=b时，方程x2﹣6x+n﹣1=0有两个相等的实数根，

∴△=2﹣4=0

解得：

n=10，

故选B．

．有两个一元二次方程：

ax2+bx+c=0；N：

cx2+bx+a=0，其中a?

c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是

A．如果方程有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根

B．如果方程的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同

c．如果5是方程的一个根，那么是方程N的一个根

D．如果方程和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1

解：

A、如果方程有两个相等的实数根，那么△=b2﹣也有两个相等的实数根，结论正确，不N，所以方程4ac=0．

符合题意；

B、如果方程的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；

c、如果5是方程的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；

D、如果方程和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；

故选D．

．已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是

A．﹣2＜x1＜﹣1B．﹣3＜x1＜﹣2c．2＜x1＜3D．﹣1＜x1＜0

解：

x2﹣x﹣3=0，

b2﹣4ac=2﹣4×1×=13，

x=，

方程的最小值是，

∵3＜＜4，

∴﹣3＞﹣＞﹣4，

∴﹣＞﹣＞﹣2，

∴﹣＞﹣＞﹣2，

∴﹣1＞＞﹣

故选：

A．

二、填空题

．用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=，41

x1=

x2=

．

，解：

2x2﹣7x+1=0

，7，c=1a=2，b=﹣×1=41，4b2﹣4ac=2﹣×2∴∴x==，

x2=，x1=∴，41，，．故答案为：

三、解答题

．．用公式法解方程：

2x2﹣4x=5

，4x﹣5=0解：

原方程可化为：

2x2﹣5，4b=﹣，c=﹣a=2∵，＞0，24ac=2∴b2﹣﹣4××=56

\sqrt{56}}{4}=1∴x=\frac{4±±．

﹣．x2=1，x1=1+∴

．解方程：

2x2﹣2x﹣5=0．

解：

这里a=2，b=﹣2，c=﹣5，

∵△=8+40=48，

∴x==．

．用公式法解方程：

x=4．

解：

整理得：

x2+2x﹣4=0，

△=b2﹣4ac=2﹣4×1×=28，

x=，

x1=﹣+，x2=﹣﹣．

0．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．

若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；

当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．

解：

∵b2﹣4ac=2﹣4×1×=12﹣4a＞0，

解得：

a＜3．

∴a的取值范围是a＜3；

设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：

解得：

，

则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．

1．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2=0．

证明：

不论为何值时，方程总有实数根；

为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

解：

△=2﹣8=2﹣4+4=2，

∵不论为何值时，2≥0，

∴△≥0，

∴方程总有实数根；

解方程得，x=，

x1=，x2=1，

∵方程有两个不相等的正整数根，

∴=1或2，=2不合题意，

∴=1．

．已知关于x的一元二次方程x2+x++1=0．

求证：

无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求的值．

解：

∵△=2﹣4=2+2+5=2+4＞0，

∴无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

∵x1、x2是原方程的两根，

∴x1+x2=﹣﹣3，x1x2=+1，

∵|x1﹣x2|=2，

∴2=8，

∴2﹣4x1x2=8，

∴2﹣4=8，

∴1=1，2=﹣3．

3．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+﹣2=0

小明考查后说，它总有两个不相等的实数根．

小华补充说，其中一个根与无关．

请你说说其中的道理．

解：

∵△=42﹣4=4＞0，

∴一元二次方程x2﹣2x+﹣2=0总有两个不相等的实数根；

当x=1时，﹣2+﹣2=0，

即一元二次方程x2﹣2x+﹣2=0有一根为1，

x=1是一元二次方程x2﹣2x+﹣2=0的根，与无关．