考研数学二试题与答案解析.docx
《考研数学二试题与答案解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研数学二试题与答案解析.docx（33页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
考研数学二试题与答案解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题及答案解析
一、选择题：
1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合
题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
xx3
（1）函数fx的可去间断点的个数为
sin
x
A
1
B
2
C
3
D
无穷多个
【答案】C
【解析】由于
f
x
x
x3
则当x取任何整数时,
fx
均无意义.
sin
x
故f
x的间断点有无穷多个
但可去间断点为极限存在的点
故应是x
x3
0的解
x1,2,3
0,
1.
lim
x
x3
1
3x2
1
x
lim
cos
x
x
0sin
x
0
lim
x
x3
1
3x2
2
x
lim
cos
x
x
1sin
x
1
lim
x
x3
lim
13x2
2.
x
1sinx
x
1
cos
x
故可去间断点为
3个,即0,
1.
（2）
当x
0
时,
f
x
x
sinax与gx
x2ln
1bx是等价无穷小,则
A
a
1,b
1
B
a
1,b
1
C
a
1
Da
1
6
6
1,b
1,b
【答案】A
6
6
【解析】
lim
f（x）
lim
x
sinax
lim
x
sinax
x
0g（x）
x
0
x2ln（1
bx）
x
0
x2
（bx）
1
acosax
洛lim
a2sinax
洛lim
3bx
2
6bx
x
0
x
0
a2sinax
a3
1,
lim
6b
6b
x
0
ax
a
a36b,故排除B,C.
另外,lim
1
acosax
存在,蕴含了1acosax0x
0,故a
1.排除D.
2
x0
所以本题选
（3）设函数
3bx
A.
zfx,y的全微分为dzxdxydy,则点0,0
A
不是f
x,y
的连续点
B
不是f
x,y
的极值点
C
是f
x,y
的极大值点
D
是f
x,y的极小值点
【答案】D
【解析】因dz
xdx
ydy可得
z
x,
z
y.
x
y
A
2z
1,B
2z
2z
0,C
2z
1,
2
xy
y
x
2
x
y
又在0,0
处,
z
0,
z
0,
AC
B2
1
0,
x
y
故
0,0为函数z
f（x,y）的一个极小值点.
（4）
设函数f
x,y
连续,则
2
2
f
x,ydy
2
dy
4
y
dx
1
y
fx,ydx
1
x
A
2
dx
4
x
x,ydy
B
2
dx
4
x
x,ydy
1
1
f
1
x
f
C
2
dy
4
y
x,ydx
D
2
2
f
x,ydx
【答案】C
1
1
f
1
dy
y
2
2
f（x,y）dy
2
2
f（x,y）dx的积分区域为两部分：
【解析】
dx
dy
x
1
x
1
D1
（x,y）1
x
2,x
y
2
D2
（x,y）1y2,y
x4y,
将其写成一块D
（x,y）1
y
2,1
x
4
y
2
dy
4
y
故答案为C.
故二重积分可以表示为
1
1
f（x,y）dx,
（5）若fx不变号,且曲线yfx在点1,1上的曲率圆为x2y22,则函数fx
在区间1,2内
A
C
有极值点,无零点
有极值点,有零点
B
D
无极值点,有零点
无极值点,无零点【答案】B
【解析】由题意可知
f（x）是一个凸函数,即f（x）
0
且在点（1,1）处的曲率
|y
|
1
而f
（1）
1,由此可得,f
（1）
2.
3
2
（1（y）2）2
在[1,2]上,
f（x）
f
（1）
1
0,
即f（x）单调减少,没有极值点.
对于f
（2）
f
（1）
f
（）
1
（1,2）,（拉格朗日中值定理）
f
（2）0而f
（1）
1
0,
由零点定理知,在[1,2]上,
f（x）有零点.故应选B.
（6）设函数y
f
x
在区间
1,3
上的图形为：
则函数Fx
x
ftdt的图形为
0
AB
C
D
【答案】
D
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由
yf（x）
的图形可见，其图像与
x轴及
y轴、
xx0所围的图形的代数面积为所求函数F（x），从而可得出几个方面的特征：
①x0,1时，F（x）0，且单调递减。
②x1,2时，F（x）单调递增。
③x2,3时，F（x）为常函数。
④x1,0时，F（x）0为线性函数，单调递增。
⑤由于F（x）为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为
D。
（7）设A,B均为
2阶矩阵，A*,B*
分别为A,B的伴随矩阵，若A2,B
3，则分块
O
A
的伴随矩阵为
矩阵
O
B
O
3B*
B
O
2B*
A
.
3A*
.
2A*
O
O
O
3A*
D
O
2A*
【答案】B
C
.
3B*
.
2B*
O
O
【解析】根据CC
CE若C
CC1,C1
1C
C
0
A
0
A
22
AB23
6即分块矩阵可逆
分块矩阵
0
的行列式
（
1）
B
B
0
0
1
0
A
0
A
0
1
0
B1
B
A
6
B
B
0
B
0
B
6
A1
0
0
1
A
0
A
0
1B
0
2B
6
3
1
0
3A
0
A
2
1
0
0
（8）设A,P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP01
0，若
0
0
2
P（1,2,3）,Q（1
2,2,3），则QTAQ
为
A
C
2
1
0
1
1
0
.
1
1
0
B.
1
2
0
0
0
2
0
0
2
2
0
0
1
0
0
.
0
1
0
D.
0
2
0
【答案】A
0
0
2
0
0
2
1
0
0
【解析】Q
（
1
2,
2,
3）
（1,
2,
3）
1
1
0
（1,2,3）E12
（1），即：
0
0
1
Q
PE12
（1）
QTAQ
[PE12
（1）]TA[PE12
（1）]
E12T
（1）[PTAP]E12
（1）
1
0
0
E21
（1）
0
1
0
E12
（1）
0
0
2
1
1
0
1
0
0
1
0
0
2
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
2
0
0
1
0
0
2
二、填空题：
9-14小题，每小题
4分，共24
分，请将答案写在答题纸指定位置上.
x=
1-t
eu
2
du
（9）曲线
0
在（0，0）处的切线方程为
y
t2ln（2
t2）
【答案】y2x
【解析】
所以
dy
2tln（2
t2）t2
2t
t1
2
dt
2t2
dx
e（1t）2
（1）t1
1
dt
dy
2
dx
所以
切线方程为y
2x
（10）已知
+
ekxdx
1,则k
【答案】2
b
【解析】
1
ekxdx
20
ekxdx2lim
1ekx
b
k0
因为极限存在所以k0
1
0
2
k
k
2
（11）lim
1
x
sinnxdx
e
n
0
【解析】令
In
e
x
sin
nxdx
e
x
sin
nx
ne
x
cos
nxdx
exsinnx
nexcosnx
n2In
所以In
ncosnx
sinnxex
C
即lim
n2
1
lim（
ncosnx
sinnxex10）
exsinnxdx
1
n
0
n
n
2
1
lim（
ncosn
sinn
e
1
n
）
n
2
1
n
2
1
n
0
（12）设y
y（x）是由方程xy
ey
x1确定的隐函数，则
d2y
x=0=
dx2
【解析】对方程
xy
ey
x
1两边关于x求导有y
xy
yey
1，得y
对y
xy
yey
1再次求导可得2y
xy
yey
（y）2ey
0，
得y
2y（y）2ey
（*）
x
ey
【答案】0
【答案】3
1y
xey
当
x
0
时，y
0，
1
0
y（0）
1
（*）
得
e0
，代入
y（0）
2y（0）
（y（0））2e0
（2
1）
3
（0
e0）3
2
（13）函数y
x2x在区间
01，上的最小值为
【答案】ee
【解析】因为
y
x2x
2lnx
2
，令y
0
得驻点为x
1
。
e
2
1
2
又y
x2x2lnx
2
2
2x
，得y
1
0，
x
2ee
x
e
1
x2x
2
故x
为y
的极小值点，此时
y
ee，
e
又当x
0,1
时，y
x
0；x
1,1
时，y
x
0
，故y在0,1
上递减，在1,1
e
e
e
e
上递增。
2
lim
2lnx
lim
x
1
1
lim
2x
2x
2xlnx
x0
x0
而y1
1，y
x
x2
0
lim
x
lim
e
e
e
x0
1，
e
x0
x
0
x2x在区间
1
2
升级会员 