等差数列等比数列相关性质和公式以及数列的求和技巧.docx
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等差数列等比数列相关性质和公式以及数列的求和技巧
等差、等比的公式性质以及数列的求和方法
第一节：
等差数列的公式和相关性质
1、等差数列的定义：
对于一个数列，如果它的后一项减去前一
项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：
an—an」二d（d
为公差）（n_2，nN*）注：
下面所有涉及n，nN省略，你懂的。
2、等差数列通项公式：
an=ai（n-1）d，印为首项，d为公差
推广公式：
an二am•（n-m）d
变形推广:
anam
3、等差中项
（1）如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.即:
A=U或2A=ab
2
（2）等差中项：
数列是等差数列
二2an二an-1■an1（n一2）二2a.d-an-a.乜
4、等差数列的前n项和公式：
=dn2（a^1d）n=An2Bn
22
（其中A、B是常数，所以当dz0时，S是关于n的二次式且常数项为0）
特别地，当项数为奇数2n1时，an1是项数为2n+1的等差数列的中间项
S2n1=2n•1；a2n1=2n•1an1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）
5、等差数列的判定方法
（1）定义法：
若an-anJ=d或an1—an=d（常数n•N）二：
aj是等差数列.
（2）等差中项：
数列ai是等差数列
=2an二an-1■an1（n一2）=2a.i=a.•a.2
（3）数列a：
是等差数列二an=knb（其中k,b是常数）。
（4）数列:
沐是等差数列二n2Bn,（其中A、E是常数）。
6、等差数列的证明方法
定义法：
若an-anj=d或an-an-d（常数nN”）：
二玄f是等差数列.
7、等差数列相关技巧：
（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：
c、d、n、an及S，其中a、d称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：
1一般可设通项an（n-1）d
2奇数个数成等差，可设为…，a-2d,a-d,a,ad,a2d…（公差为d）；
3偶数个数成等差，可设为…，a-3d,a-d,ad,a3d,…（注意;公差为2d）
&等差数列的性质：
（1）当公差d=0时，等差数列的通项公式anp（n-1）d=dny-d是关于n的一次函数，且斜率为公差d;前n和Sn二na1牛n2・（a1-£）n是关于n的二次函数且常数项为0。
（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d：
0，则为递减等差数列，若公差d=0，则为常数列。
（3）当m•n=pq时，则有am'a^ap-aq，特别地，当m•n=2p时，则有am+an=2ap。
（注：
c+an=a?
+需=a?
*耳_2=…，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系
数之和相等。
（4）为等差数列，则「-anb,,何•曲?
都为等差数列
（5）若｛an｝是等差数列，则&,S2n-&,S3n-S2n,…也成等差数列
（6）数列｛an｝为等差数列，每隔k（k•N*）项取出一项（am,amk,am2k,am3k,…）仍为等差数列
（7）a?
、｛bn｝的前n和分别为A、Bn，则各=答
bnB2n」
（8）等差数列｛an｝的前n项和Sm二n，前m项和S^=m，则前m+n
项和Smn--mn，当然也有a*=m,am二n，则am0
（9）求Sn的最值
法一：
因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n・N*。
法二：
（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和
a>0
即当ai〉O,d<0,由月一0可得Sn达到最大值时的n值.
3n+<0
（2）“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有
非正项之和。
ra<0
即当印<0,d>0,由丿弘一0可得S.达到最小值时的n值.
On卅启0
或求中正负分界项
法三：
直接利用二次函数的对称性：
由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值（或最小值）。
若Sp=Sq则其对称轴为n二一-
注意：
S^Sn.=an（n一2）,对于任何数列都适用，但求通项时记住讨论当n=1的情况。
解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
1基本量法：
即运用条件转化为关于ai和d的方程;
2巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。
（以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明，不是很难，并能够学会运用）
第二节：
等比数列的相关公式和性质
1、等比数列的定义：
丑二qq=0n_2，q为公比
an」
2、通项公式：
可=网心，a“为首项，q为公比
推广公式:
3、等比中项
（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项.即:
A2=ab或A=ab
注意：
同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）
（2）数列是等比数列二an=andan1
4、等比数列的前n项和Sn公式：
（1）当q=1时，Sn=nc
（2）当q=1时，
1-q1-q
嵩常qngABn=A'Bn-A'（AB,A',B'为常数）
5、等比数列的判定方法
（1）用定义:
对任意的n,都有an^qan或加=q（q为常数，a.=0）二佝｝an
为等比数列
（2）等比中项：
a/=andanj（&*耳厂0）：
二何｝为等比数列
（3）通项公式：
an=ABnAB=0二佝｝为等比数列
（4）前n项和公式：
Sn二A-ABn或Sn二A'Bn-A'A,B,A',B'为常数u佝｝为等比数列
6、等比数列的证明方法
依据定义：
若-a^=qq=0n_2,且nN*或a.i二qa.=｛a.｝为等比数列anJ
7、等比数列相关技巧：
（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：
c、q、n、an及S.，其中q、q称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：
n4
an-aiq
如奇数个数成等比，可设为…，弓二a,aq,aq2…（公比为q，中间项
qq
用a表示）；注意隐含条件公比q的正负
8等比数列的性质：
（1）当q-1时
1等比数列通项公式an=a1qn4=a1q^ABnAB=0是关于n的带有系
q
数的类指数函数，底数为公比q
2前n项和Sn■丄—aidqn=a-ABn=A'Bn-A'，系
1-q1-q1—q1_q
数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q
⑵对任何m,N*,在等比数列佝｝中，有a.二amqn』,特别的，当m=1时,
便得到等比数列的通项公式。
因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
⑶若m•n^st（m,n,s,t•N*），则ana^asq。
特别的，当m•n=2k时,
2
得anam=ak
注：
aian-a2an」=a3an_2
⑷列佝｝仙｝为等比数列，则数列1｝,｛5｝,｛昇｝,｛"小｝｛彳｝（k为
非零常数）均为等比数列。
（5）数列｛an｝为等比数列，每隔k（k•N*）项取出一项（am,amk,am2k,am3k,…）仍为等比数列
（6）如果｛a.｝是各项均为正数的等比数列，则数列｛logaa.｝是等差数列
（7）若｛an｝为等比数列，则数列S,S2n-S,En-S2n,…，成等比数列
（8）若｛an｝为等比数列，则数列a102……an,a.1可……a?
n
a2n1a2n2……成等比数列
（9）①当q1时,
3当q=1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）
4当q<0时,该数列为摆动数列。
（10）在等比数列｛an｝中，当项数为2n（nN）时，1,。
S偶q
（11）若｛an｝是公比为q的等比数列，则S卄S*qnSm
注意：
在含有参数的数列时，若是等比数列，一定要考虑到公比q"
的特殊情况。
解决等比数列问题时，通常考虑两类方法：
1基本量法：
即运用条件转化为关于印和q的方程；
2巧妙运用等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。
关于等差、等比两个引申：
an=kan」+b模式（其中k,b为常数，
n^2）；an=pan/pn模式（其中p为常数，n兰2）
在这里我们以具体的例子给出，使其更容易理解：
例1已知数列｛an｝，有an=3an」+4（nA2），则求该数列的通项公式
解题大致思路：
先设an-b=3®』-b），贝U对于a.=3an」-4=a“•2二3（耳」-2），
那么我们就可以构造数列^an2］为等比数列，利用等比的相关性质去解决，注意：
构造新数列的首项和公比分别是多少？
还有你考虑到当n=1的这种情况了吗？
例2已知数列｛bn｝，有0=204+2“（n王2）,求该数列的通项公式
解题的大致思路：
b^2bn42n（n一2）=辱警T=辱宅1，相信你已
2222
经知道构造什么数列了吧，这两个模式考试中喜欢考，也比较基础，当然也希望通过这两个模式能让你意识到求数列中的构造思想。
第三节：
数列的求和方法（引用别人的，稍加改进）
一、教学目标：
1、熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；
2、能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；
3、熟记一些常用的数列的和的公式.
二、教学重点：
特殊数列求和的方法.
三、教学过程：
（一）主要知识：
1、直接法：
即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
（1）等差数列的求和公式：
S^n（ai=na,•n（n"）d
22
Tia,q=1）
（2）等比数列的求和公式Sn二ajl-q1）（切记：
公比含参数时一定要讨论）
n：
（q幻）
[1_q
（n1）-n3=3n・3n・1，将n用1,2,3|||n替换，错位相消即可整体得出）
__2
-k"32333IIIn3=
zIL2（证明利用4方差，原理同上）
3、错位相减法：
比如a等差,b等比,求a1b1a2b2亠'亠anbn的和.
4、裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
1111
11
Sn[（10—1）（102—1厂（10n—1）][（10102」on）—n]
99
110（10n-1）
-n]「°-9n「10
81
n（n1）（2n1）3n（n1）
a2,…,an_1对应项
aSn
a3a25a3（2n-1）an2
ak=（2k-1）2k（2k1）[（2k-1）（k一1）]=k[（2k_1^（3k-2）]
Sn=a1a2*n=5（1222n2）_3（12n）=5
222
=-n（n1）（5n-2）
6
总结：
运用等比数列前n项和公式时，要注意公比q=1或q=1讨论。
2、错位相减法求和
2n1
例2•已知数列1,3a,5a，…，（2n-1）a（a=0），求前n项和。
思路分析：
已知数列各项是等差数列1,3,5，…2n-1与等比数列a0,a积，可用错位相减法求和。
Sn=13a5a2（2n-1）anJ1
1-2:
（1—a）Sn=12a2a22a32an‘一（2n-1）an
（1-a）2
a=1时,（1-a）Sn二1―-（2n-1）n
（1-a）2
c1a-（2n1）an（2n-1）an1
3、裂项相消法求和
例3.求和Sn=
22
13
42
+
35
.（2n）2
（2n-1）（2n1）
n（n+1）
（a=1）
4、倒序相加法求和
例4求证：
C：
+3C：
+5C：
+…+（2n+1）C：
=（n+1）2n
思路分析：
由c：
可用倒序相加法求和。
证：
令Sn=C0+3cn+5C：
+…+（2n+1）cnn
（1）
则Sn=（2n1）cn（2n-1）C：
5C：
3C：
C0
■
（1）⑵有:
2Sn二（2n2）C0-（2n2）C：
（2n2）C「（2n2）C：
.&=（n1）[C°■C1C2-CnH（n1）2n等式成立
5、其它求和方法
还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。
例5•已知数列〈an]an=-2[n-（-1）n],求Sn。
思路分析：
an二-2n-2（-1）n，通过分组，对n分奇偶讨论求和。
2m
解：
an二-2n2（-1）n，若n=2m,则Sn=S2m=-2（1232m）2（-1）k
k=1
—2（1232m）=—（2m1）2m=-n（n1）
若
n-2m-1,则Sn=S2m4=S2m-a2m=—（2m1）2m2[2m-（-1）2m]=-（2m1）2m2（2m-1）
222
--4m2m-2--（n1）（n1）-2--n-n-2
「a1+（n-1）d=2n.%=2-1
d=2
…Sn:
■■.;2"%；1=3「、：
n''dn
=（—1）（、,3—•in一R—1.
（4）Sn二a2a23a3|Hnan,
当a=1时,
当a=1时,
两式相减得
n（n1）
&=123…n=
2
&=a2a23a3…na",
234n-1
aSn二a22a33a4…na,
（1-a）Sn=aa2a3…an-nan1=岂1_-nan1,
1-a
.nan^-（n+1）an41+a
…Sn2
（仁a）2
（5n（n2）=n22n,
•••原式二（122232…n2）2（123…n）=n（n1）（2n7）
（6）设S二sin21「sin22”sin23sin289,
又S=sin289：
sin288sin287sin21,
89
•2S-89,S=—.
2
「6n—5
2.已知数列｛an｝的通项an二n
2n
解：
奇数项组成以a1=1为首项，公差为偶数项组成以a2=4为首项，公比为
n+1
（n为奇数）
，求其前n项和Sn.
（n为偶数）
12的等差数列，
4的等比数列；
n-1
当n为奇数时，奇数项有项，偶数项有——项，
22
n：
_
（16n_5）4（1-42）（n1）（3n-2）4（2nJ-1）
+=+,
1-4
•S_2（16n「5）.4（1-42）_n（3n-2）.4（2n-1）
21-423'
厂n-1
（n为奇数）
（n+1）（3n—2）+4（2—1）
所以，Sn二2n3
（n为偶数）
n（3n_2）丄4（2n_1）
23
四、小结：
1、掌握各种求和基本方法;
其实学习数列并不难，只要能熟练掌握以上基本性质和公式灵活运用，多加练习，基本上能
解决高中所有数列问题了。
解：
①ak=1T1=11010210k=（10k-1）
k个9
Sn二
当a=1时,Sn二n2
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