平面直角坐标系找规律题型分类总结解析.docx

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平面直角坐标系找规律题型分类总结解析

平面直角坐标系找规律题型分类总结解析

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平面直角坐标系找规律题型解析

1、如图，正方形ABCD的顶点分别为A（1,1）B（1，-1）C（-1，-1）D（-1，1），y轴上有一点P（0，2）。

作点P关于点A的对称点p1，作p1关于点B的对称点p2，作点p2关于点C的对称点p3，作p3关于点D的对称点p4，作点p4关于点A的对称点p5，作p5关于点B的对称点p6┅，按如此操作下去，则点p2011的坐标是多少？

解法1：

对称点P1、P2、P3、P4每4个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点P1，P2，P3，P4组成。

第1周期点的坐标为：

P1（2,0），P2（0,-2），P3（-2,0），P4（0,2）

第2周期点的坐标为：

P1（2,0），P2（0,-2），P3（-2,0），P4（0,2）

第3周期点的坐标为：

P1（2,0），P2（0,-2），P3（-2,0），P4（0,2）

第n周期点的坐标为：

P1（2,0），P2（0,-2），P3（-2,0），P4（0,2）

2011÷4=502…3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0）

解法2：

根据题意，P1（2，0）P2（0，－2）P3（－2，0）P4（0，2）。

根据p1-pn每四个一循环的规律，可以得出：

P4n（0，2），P4n+1（2，0），P4n+2（0，－2），P4n+3（－2，0）。

2011÷4=502…3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0）

总结：

此题是循环问题，关键是找出每几个一循环，及循环的起始点。

此题是每四个点一循环，起始点是p点。

2、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．

（1）填写下列各点的坐标：

A4（，），A8（，），A10（，），A12（）；

（2）写出点A4n的坐标（n是正整数）；

（3）按此移动规律，若点Am在x轴上，请用含n的代数式表示m（n是正整数）

（4）指出蚂蚁从点A2011到点A2012的移动方向．

（5）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．（6）指出A106，A201的的坐标及方向。

解法：

（1）由图可知，A4，A12，A8都在x轴上，

∵小蚂蚁每次移动1个单位，∴OA4=2，OA8=4，OA12=6，

∴A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0）；同理可得出：

A10（5，1）

（2）根据

（1）OA4n=4n÷2=2n，∴点A4n的坐标（2n，0）；

（3）∵只有下标为4的倍数或比4n小1的数在x轴上，

∴点Am在x轴上，用含n的代数式表示为：

m=4n或m=4n-1；

（4）∵2011÷4=502…3，

∴从点A2011到点A2012的移动方向与从点A3到A4的方向一致，为向右．

（5）点A100中的n正好是4的倍数，所以点A100和A101的坐标分别是A100（50，0）和A101（50，1），所以蚂蚁从点A100到A101的移动方向是从下向上。

（6）方法1：

点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。

第1周期点的坐标为：

A1（0,1），A2（1,1），A3（1,0），A4（2,0）

第2周期点的坐标为：

A1（2,1），A2（3,1），A3（3,0），A4（4,0）

第3周期点的坐标为：

A1（4,1），A2（5,1），A3（5,0），A4（6,0）

第n周期点的坐标为：

A1（2n-2,1），A2（2n-1,1），A3（2n-1,0），A4（2n,0）

106÷4=26…2，所以点A106坐标与第27周期点A2坐标相同,（2×27-1,1），即（53,1）方向朝下。

201÷4=50…1，所以点A201坐标与第51周期点A1坐标相同,（2×51-2,1），即（100,1）方向朝右。

方法2：

由图示可知，在x轴上的点A的下标为奇数时，箭头朝下，下标为偶数时，箭头朝上。

106=104+2，即点A104再移动两个单位后到达点A106，A104的坐标为（52，0）且移动的方向朝上，所以A106的坐标为（53，1），方向朝下。

同理：

201=200+1，即点A200再移动一个单位后到达点A201，A200的坐标为（100，0）且移动的方向朝上，所以A201的坐标为（100，1），方向朝右。

3、一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是多少？

第42、49、2011秒所在点的坐标及方向？

解法1：

到达（1，1）点需要2秒

到达（2，2）点需要2+4秒

到达（3，3）点需要2+4+6秒

到达（n，n）点需要2+4+6+...+2n秒＝n（n+1）秒

当横坐标为奇数时，箭头朝下，再指向右，当横坐标为偶数时，箭头朝上，再指向左。

35=5×6+5，所以第5*6=30秒在（5，5）处，此后要指向下方，再过5秒正好到（5,0）

即第35秒在（5，0）处，方向向右。

42=6×7，所以第6×7=42秒在（6，6）处，方向向左

49=6×7+7，所以第6×7=42秒在（6，6）处，再向左移动6秒，向上移动一秒到（0，7）

即第49秒在（0，7）处，方向向右

解法2：

根据图形可以找到如下规律，当n为奇数是n2秒处在（0，n）处，且方向指向右；当n为偶数时n2秒处在（n，0）处，且方向指向上。

35=62-1，即点（6，0）倒退一秒到达所得点的坐标为（5，0），即第35秒处的坐标为（5，0）方向向右。

用同样的方法可以得到第42、49、2011处的坐标及方向。

4、如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，顶点A55的坐标是（　　）

解法1：

观察图象，每四个点一圈进行循环，根据点的脚标与坐标寻找规律。

观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。

第1周期点的坐标为：

A1（-1,-1），A2（-1,1），A3（1,1），A4（1,-1）

第2周期点的坐标为：

A1（-2,-2），A2（-2,2），A3（2,2），A4（2,-2）

第3周期点的坐标为：

A1（-3,-3），A2（-3,3），A3（3,3），A4（3,-3）

第n周期点的坐标为：

A1（-n,-n），A2（-n,n），A3（n,n），A4（n,-n）

∵55÷4=13…3，∴A55坐标与第14周期点A3坐标相同,（14,14），在同一象限

解法2：

∵55=4×13+3，∴A55与A3在同一象限，即都在第一象限，

根据题中图形中的规律可得：

3=4×1-1，A3的坐标为（1，1），7=4×2-1，A7的坐标为（2，2），

11=4×3-1，A11的坐标为（3，3）；55=4×14-1，A55（14，14）

5、在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下两种变换：

（1）f（m，n）=（m，﹣n），如f（2，1）=（2，﹣1）；

（2）g（m，n）=（﹣m，﹣n），如g（2，1）=（﹣2，﹣1）．

按照以上变换有：

f[g（3，4）]=f（﹣3,﹣4）=（﹣3，4），那么g[f（﹣3，2）]等于（　　）

解：

∵f（﹣3，2）=（﹣3，﹣2），∴g[f（﹣3，2）]=g（﹣3，﹣2）=（3，2），

6、在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：

1、f（a，b）=（﹣a，b）．如：

f（1，3）=（﹣1，3）；

2、g（a，b）=（b，a）．如：

g（1，3）=（3，1）；

3、h（a，b）=（﹣a，﹣b）．如：

h（1，3）=（﹣1，﹣3）．

按照以上变换有：

f（g（2,﹣3））=f（-3，2）=（3,2），那么f（h（5,-3））等于（　　）（5，3）

7、一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M3处，第二次从M3跳到OM3的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M1处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为（　　）

解：

由于OM=1，所有第一次跳动到OM的中点M3处时，OM3=OM=，同理第二次从M3点跳动到M2处，即在离原点的2处，同理跳动n次后，即跳到了离原点的处

8、如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为（）　45　．

解：

根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上横坐标的平方，

例如：

右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，

右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，

右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，

右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，

右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，

∵452=2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2012个点是（45，13），

9、（2007•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）…根据这个规律探究可得，第88个点的坐标为　（）　．

解：

由图形可知：

点的横坐标是偶数时，箭头朝上，点的横坐标是奇数时，箭头朝下。

坐标系中的点有规律的按列排列，第1列有1个点，第2列有2个点，第3列有3个点…第n列有n个点。

∵1+2+3+4+…+12=78，∴第78个点在第12列上，箭头常上。

∵88=78+10，∴从第78个点开始再经过10个点，就是第88个点的坐标在第13列上，坐标为（13，13-10），即第88个点的坐标是（13，3）

10、如图，已知Al（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1），…．则点A2007的坐标为　（）　．

解法1：

观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。

第1周期点的坐标为：

A1（1,0），A2（1,1），A3（-1,1），A4（-1,-1）

第2周期点的坐标为：

A1（2,-1），A2（2,2），A3（-2,2），A4（-2,-2）

第3周期点的坐标为：

A1（3,-2），A2（3,3），A3（-3,3），A4（-3,-3）

第n周期点的坐标为：

A1（n,-（n-1）），A2（n,n），A3（-n,n），A4（-n,-n）

因为2007÷4=501…3，所以A2007的坐标与第502周期的点A3的坐标相同，即（-502,502）

解法2：

由图形以可知各个点（除A1点和第四象限内的点外）都位于象限的角平分线上，

位于第一象限点的坐标依次为A2（1，1）A6（2，2）A10（3，3）…A4n﹣2（n，n）。

因为第一象限角平分线的点对应的字母的下标是2，6，10，14，即4n﹣2（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；

同理第二象限内点的下标是4n﹣1（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；

第三象限是4n（n是自然数，n是点