数学建模 电梯调度问题22.docx
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数学建模电梯调度问题22
电梯调度问题
摘要
如今电梯已经成为高层办公楼里不可缺少的交通工具。
对商用写字楼而言，每天上下班时段，人流达到高峰。
而合适的电梯调度方案不仅能够缓解人流高峰期电梯的运输压力，还能减少运行时长。
对于该问题，我们从生活实际出发，建立了跳跃式分区模型，连续性分组模型，优化分区模型。
从这些模型中挑出的最优方案进行比较，得出最优方案。
得到最优的运行模式——某部电梯直达某高层以上（优化分区运行方案）。
依据上面讨论结果，建立高峰期的电梯最佳调度数学模型
其中
为
号电梯运行的总时间。
利用lingo求解得到：
得出的电梯最佳调度方案为：
电梯
1号
2号
3号
4号
5号
6号
负责楼层
1-5
6-9
10-13
14-16
17-19
20-22
运行周期
84秒
108秒
132秒
140秒
158秒
176秒
运行总时间
3095.4秒
4557.6秒
6303秒
5838秒
4740秒
5403.2秒
最后给出模型误差分析和评价。
关键词：
分区运行分组模型跳跃式模型高峰期lingo模拟
一、问题重述
1.1问题背景
繁华的都市里人口的高度集中使得电梯成为人们生活中不可缺少的一种交通工具。
在办公场所，每天清晨和傍晚的上下班时间都会在拥挤的人潮中听到对电梯运行速度和调控安排的不满和抱怨。
然而在电梯运行速度既定的情下，合理的安排电梯停靠楼层的方案变成了提高电梯运行效率的唯一出路。
考虑到上班时人群由一层分散至其他各层，本文通过对上班高峰时段的电梯运行情况建立数学模型，对高层楼的人员流动高峰时段的几种电梯运行方案进行比较，找到电梯停靠楼层的最佳安排。
1.2已知条件及要求
商业中心某写字楼有二十二层地上建筑楼层和两层地下停车场，6部电梯，每部电梯最大载重是20个正常成人的体重总和。
工作日里每天早晚高峰时期均是非常拥挤，而且等待电梯的时间明显增加。
请你针对早晚高峰期的电梯调度问题建立数学模型，以期获得合理的优化方案。
暂不考虑该写字楼的地下部分，每层楼层的平均办公人数经过调查已知（见表1）。
假设每层楼之间电梯的平均运行时间是3秒，最底层（地上一层）平均停留时间是20秒，其他各层若停留，则平均停留时间为10秒，电梯在各层的相应的停留时间内乘梯人员能够完成出入电梯。
表1：
该写字楼各层办公人数
楼层
楼层
楼层
人数
楼层
人数
1
2
3
4
5
6
7
8
—
208
177
222
130
181
191
236
9
10
11
12
13
14
15
16
236
139
272
272
272
270
300
264
17
18
19
20
2l
22
200
200
200
200
207
207
转化为柱状图之后：
由此看出各楼层人数差别不大，取平均值m=218.
1.3需要解决的问题
问题：
在已知各个楼层人数、电梯的运行参数等数据的前提下，利用现有的6部电梯，设计合理的电梯调运方案，尽可能多的把此商用写字楼员工送到目的楼层，并且尽可能地减少乘客的候等时间。
二问题的分析
电梯的调运通常是将每一部电梯都服务于所有楼层，这样会使乘客等待时间过长，引起乘客的不满意度高，存在明显的不足。
因此需要减少电梯在运行过程中的停靠次数，以便节省运行时间。
在一般高层办公楼中，经常采用的是单双层或分层次的运行方案，在对电梯进行分区运行时，对楼层不太高、电梯不太多的时候，电梯分区的越细越好。
因此，对问题一的六部电梯，由于楼层为22层，为中高层建筑，所以我们尝试用三种模型对其具体分析，主要采用跳跃式和连续式模型。
首先我们建立了模型一，每个电梯服务楼层以六为个楼层间隔，进行跳跃式服务。
根据假设和已知电梯的运行时间，停靠时间就可以计算出每部电梯的运行周期和运行总时间，结果发现运行周期过长。
模型二运用两部电梯服务同一区域，计算出的周期和运行总时间都比较大，最后模型三我们采用非线性规划根据约束条件我们求出最优的区域划分。
三、模型假设
1．不考虑人员步行情况。
2．电梯在工作的时候不发生故障。
3．此阶段只有上行而没有下行的乘客。
4．对于这6部同类型电梯的电梯组，每个电梯组的运行相互独立。
5．每个电梯在负责的各个楼层都有人下。
6．每部电梯每次都是满载，即20人。
7．每层有固定人数的工作人员
；
四符号说明
i：
电梯的编号（1~6）
ni：
第i号电梯到达的最高楼层数；
t0：
电梯第一层平均的停留时间，t0=20s；
t1：
电梯在每层楼之间的平均运行时间，t1=3s；
t2：
电梯在其他层停留的平均时间，t2=10s;
k：
电梯最大载客量，k=20；
mi：
每层楼实际的办公人数；
m：
每层楼平均办公人数，m=218；
wi：
i号电梯运行的总时间；
w：
电梯运行的总时间；
wij:
同组的i和j号电梯运行总时间；
五：
模型建立与求解
模型一：
跳跃式分区模型
为了分组清晰且使用方便，我们把6个电梯分别标号为1、2、3、4、5、6
若每个电梯每两次停靠的阶层不是连续的，而是跳跃式的。
则将这30层楼分为6组，具体的分配情况如下表
（2）所示：
表
（2）
电梯1
电梯2
电梯3
电梯4
电梯5
电梯6
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
以1号电梯为例：
1号电梯的运行周期：
每周期运送人数：
k
需要运送的总人数：
运行总时间：
同理，2,3,4,5,6号电梯运行的总时间分别为：
按公式依次计算出其余电梯的周期和总时间如下表（3），
按此跳跃式方法分阶段，其对应的运行周期和总运行时间如下表（3）所示：
表（3）
电梯1
电梯2
电梯3
电梯4
电梯5
电梯6
运送总人数
914
920
832
602
653
663
运行周期
174秒
180秒
186秒
146秒
152秒
158秒
运行的总时间
7951.8秒
8280秒
7737.6秒
4394.6秒
4962.8秒
5237.7秒
模型二：
连续型分组模型
楼层数
人数
比例
比例合计
1
0
0
2
208
0.045375
3
177
0.038613
4
222
0.048429
5
130
0.02836
6
181
0.039485
7
191
0.041667
8
236
0.051483
9
236
0.051483
（1~9）合计0.344895
10
139
0.030323
11
272
0.059337
12
272
0.059337
13
272
0.059337
14
270
0.058901
15
300
0.065445
（10~15）合计0.332679
16
264
0.057592
17
200
0.04363
18
200
0.04363
19
200
0.04363
20
200
0.04363
21
207
0.045157
22
207
0.045157
（16~22）合计0.322426
根据上表统计的结果，我们发现在2-9层，10-15层，16-22层工作的人员占人员总数的百分比大致相等。
于是我们设计运行方案：
电梯编号
负责楼层数
1,2
2-9
3,4
10-15
5,6
16-22
假设需要乘坐某组电梯的总人数为M，该电梯组每次能够运送的人数为m，则该电梯组至少需要运行M/m次。
以1,2电梯组为例进行计算。
运行一次所需时间：
;
每次所运送人数：
2k;
运行总时间：
。
同理，3,4电梯组运行总时间：
，
5,6电梯组运行总时间：
。
计算结果为：
电梯组
电梯1，2
电梯3,4
电梯5,6
负责楼层
2-9
层
10-15层
16-22层
运行周期
148秒
164秒
216秒
运行总时间
5849.7秒
6252.5秒
7981.2秒
模型三：
分区模型
设第i部电梯运行的最高楼层为n1，
即第一部电梯运送2，…，n1楼层的员工；
所用时间：
第2部电梯运送n1+1，…，n2楼层的员工；
所用时间：
第3部电梯运送n2+1，…，n3楼层的员工；
所用时间：
第4部电梯运送n3+1，…，n4楼层的员工；
所用时间：
第5部电梯运送n4+1，…，n5楼层的员工；
所用时间：
第6部电梯运送n5+1，…，n6楼层的员工；
所用时间：
建立运送完所有员工所用时间最小的目标函数：
所以可得W=W1+W2+W3+W4+W5+W6
由matlab化解得：
进一步约分得：
由于是求最小值所以转化得：
约束条件：
后安排的电梯达到的最高楼层必高于前一安排的电梯能达到的最高楼层，且6号电梯能达到第22层，
n1>1
n1-n2<0
n2-n3<0
n3-n4<0
n4-n5<0
n5<22
通过lingo得出结果表明W3，W4，W5，W6明显偏离W1，W2。
且相差较大，造成电梯的浪费，所以进一步得约束条件，使W3,W4,W5,W6接近于W1，W2得
由lingo得（附录一）
VariableValueReducedCost
N
（1）5.0000000.0000000
N
（2）9.0000000.0000000
N（3）13.000000.0000000
N（4）16.000000.0000000
N（5）19.000000.0000000
则计算结果为：
电梯
1号
2号
3号
4号
5号
6号
负责楼层
1-5
6-9
10-13
14-16
17-19
20-22
运行周期
84秒
108秒
132秒
140秒
158秒
176秒
运行总时间
3095.4秒
4557.6秒
6303秒
5838秒
4740秒
5403.2秒
●结果分析
上述三个模型的全部可行方案均已列出，为了筛选出最好的调度方案，我们从以下几个方面考虑：
总运送时间最小，每个分区所用的总时间相差不大，同时参考平均总时间。
根据这几个原则，针对三个模型筛选出最优的方案，汇总如下
模型
最大运行总时间
最大与最小总时间之差
平均运行时间
模型1
8280秒
3885.4秒
6427.417秒
33326.8秒
模型2
7981.2秒
2131.5秒
6694.467秒
40166.8秒
模型3
6303秒
3207.6秒
4989.533秒
29937.2秒
根据上表可知模型3的运行策略可以使，电梯的最大运行时间和6部电梯的平均运行时间最小，从而反映出这种运行模式能够减少人们等待电梯的时间，使人们尽快到达目的楼层。
六、模型评价
1.模型的不足：
（1）在描述分层次方案中，我们假定电梯在一次运行中部一定每层都会停，较理想化，在实际情况下，电梯开关的次数可能会小于模型中的情况，那么电梯的周期也将相应的有所减少，因此在结果会造成一定的误差；
（2）电梯在每次运行中不一定是满载，计算数据可能对实际情况偏小；
（3）由于电梯数量太少，而在高峰期到达的人太多，很难在较短时间内将所有的人都运送到目的地，我们只能结合实际情况，并选择运载能力最高的方法。
（4）在模型的改进方面，如果利用概率求得在电梯运行过程中所涉及的随机量，那么模型会更加符合实际。
另外，若将求得的模型转化为一个动态的规划模型，利用动态规划求解会更加容易，可避免许多静态规划中的讨论。
2.模型优点：
（1）对电梯常见的运行模式做了具体分析，对其他建筑高楼电梯的运行模式设计具有一定的指导意义；
（2）最终的模型是经过分析筛选出来的，具有可靠性。
（3）各种速度电梯运行周期用表格呈现出来，清晰明了。
（4）所建立的模型简单易懂，具有“可移植性”，便于推广。
附录一
model:
sets:
var/1..5/:
n;
endsets
min=n
（1）^2+n
（2）^2+n（3）^2+n（4）^2+n（5）^2-n
（1）*n
（2）-n（3）*n
（2）-n（3）*n（4）-n（4）*n（5）-n
（1）-22*n（5）;
n
（1）>1;
n（5）<22;
n
（1）-n
（2）<0;
n
（2）-n（3）<0;
n（3）-n（4）<0;
n（4）-n（5）<0;
-545*n
（1）^2+1417*n
（1）*n
（2）+763*n
（1）-436*n
（2）^2-（5668*n
（2）*n（3））/5-（6867*n
（2））/5+（3488*n（3）^2）/5+（3052*n（3））/5<0;
-545*n
（1）^2+1417*n
（1）*n
（2）+763*n
（1）-872*n
（2）^2-763*n
（2）+436*n（3）^2-（5668*n（3）*n（4））/5-（3052*n（3））/5+（3488*n（4）^2）/5+（3052*n（4））/5<0;
-545*n
（1）^2+1417*n
（1）*n
（2）+763*n
（1）-872*n
（2）^2-763*n
（2）+436*n（4）^2-（5668*n（4）*n（5））/5-（3052*n（4））/5+（3488*n（5）^2）/5+（3052*n（5））/5<0;
@for（var:
@gin（n））;
end
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