奥数专题定义新运算带答案完美排版.docx

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奥数专题定义新运算带答案完美排版

定义新运算

我们学过的常用运算有：

＋、－、×、÷等.

　　如：

2＋3＝5

　　2×3＝6

　　都是2和3，为什么运算结果不同呢？

主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.

　　我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.

例1、设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b，

　　①求3△2，2△3；

　　②这个运算“△”有交换律吗？

　　③求（17△6）△2，17△（6△2）；

　　④这个运算“△”有结合律吗？

　　⑤如果已知4△b＝2，求b.

分析：

解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：

用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.

解：

①3△2＝3×3－2×2＝9－4＝5

　　2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.

　　②由①的例子可知“△”没有交换律.

③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：

17△6＝3×17－2×6＝39；再计算

第二步39△2＝3×39－2×2＝113，

所以（17△6）△2＝113.

对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6－2×2＝14，

其次17△14＝3×17－2×14＝23，

　　所以17△（6△2）＝23.

④由③的例子可知“△”也没有结合律.

⑤因为4△b＝3×4－2×b＝12－2b，那么12－2b＝2，解出b＝5.

例2、定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），

①求5※7，7※5；　　②求12※（3※4），（12※3）※4；

　　③这个运算“※”有交换律、结合律吗？

④如果3※（5※x）＝3，求x.

　　解：

①5※7＝5×7－（5＋7）＝35－12＝23，7※5＝7×5－（7＋5）＝35－12＝23.

　　②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：

3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，

　　所以12※（3※4）＝43.

对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，

其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※3）※4＝59.

③由于a※b＝a×b－（a＋b）；

　　b※a＝b×a－（b＋a）

　　＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）

　　所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.

　　由②的例子可知，运算“※”没有结合律.

　　④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；

3※（5※x）＝3※（4x－5）

＝3（4x－5）－（3＋4x－5）

　　＝12x－15－（4x－2）

　　＝8x－13

那么8x－13＝3解出x＝2.

例3、定义新的运算a⊕b＝a×b＋a＋b.

　①求6⊕2，2⊕6；　　

②求（1⊕2）⊕3，1⊕（2⊕3）；

③这个运算有交换律和结合律吗？

解：

①6⊕2＝6×2＋6＋2＝20，2⊕6＝2×6＋2＋6＝20.

②（1⊕2）⊕3＝（1×2＋1＋2）⊕3

＝5⊕3

＝5×3＋5＋3

＝23

1⊕（2⊕3）＝1⊕（2×3＋2＋3）

＝1⊕11

＝1×11＋1＋11

＝23.

③先看“⊕”是否满足交换律：

a⊕b＝a×b＋a＋b

b⊕a＝b×a＋b＋a＝a×b＋a＋b（普通加法与乘法的交换律）

所以a⊕b＝b⊕a，因此“⊕”满足交换律.

　再看“⊕”是否满足结合律：

（a⊕b）⊕c＝（a×b＋a＋b）⊕c

＝（a×b＋a＋b）×c＋a×b＋a＋b＋c

＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c.

a⊕（b⊕c）＝a⊕（b×c＋b＋c）

＝a×（b×c＋b＋c）＋a＋b×c＋b＋c

＝abc＋ab＋ac＋a＋bc＋b＋c

＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c.（普通加法的交换律）

所以（a⊕b）⊕c＝a⊕（b⊕c），因此“⊕”满足结合律.

说明：

“⊕”对于普通的加法不满足分配律，看反例：

1⊕（2＋3）＝1⊕5＝1×5＋1＋5＝11；

1⊕2＋1⊕3＝1×2＋1＋2＋1×3＋1＋3＝5＋7＝12；

因此1⊕（2＋3）≠1⊕2＋1⊕3.

例4、有一个数学运算符号“⊗”，使下列算式成立：

2⊗4＝8，5⊗3＝13，3⊗5＝11，

9⊗7＝25，求7⊗3＝？

解：

通过对2⊗4＝8，5⊗3＝13，3⊗5＝11，9⊗7＝25这几个算式的观察，找到规律：

a⊗b＝2a＋b，因此7⊗3＝2×7＋3＝17.

例5、x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：

x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、

n、k均为自然数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.

分析：

我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：

1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值，k值求出后，l△2的值也就计算出来了.

我们设1△2=a，（1△2）*3=a*3，按“*”的定义：

a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）*3的值，我们就要先求出k、m、n的值.通过1*2=5可以求出m、n的值，通过（2*3）△4=64求出k的值.

　解：

因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：

①当m=1，n=2时：

　　（2*3）△4=（1×2+2×3）△4

　　=8△4=k×8×4=32k

　　有32k=64，解出k=2.

　　②当m=3，n=1时：

　　（2*3）△4=（3×2+1×3）△4

　　=9△4=k×9×4=36k

有36k=64，解出k=

，这与k是自然数矛盾，因此m=3，n=1，k=

这组值应舍去.

所以m=l，n=2，k=2.

　　（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.

在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：

抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：

定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.

课后习题

1.a*b表示a的3倍减去b的

，例如：

1*2=1×3－2×

=2，根据以上的规定，计算：

①10*6；②7*（2*1）.

2.定义新运算为a㊀b＝

，

①求2㊀（3㊀4）的值；②若x㊀4＝1.35，则x＝？

3.有一个数学运算符号○，使下列算式成立：

○

=

，

○

=

，

○

=

，求

○

的值.

4.定义两种运算“⊕”、“⊗”，对于任意两个整数a、b，

a⊕b＝a＋b＋1，　a⊗b=a×b－1，

　①计算4⊗[（6⊕8）⊕（3⊕5）]的值；

　②若x⊕（x⊗4）=30，求x的值.

5.对于任意的整数x、y，定义新运算“△”，

x△y=

（其中m是一个确定的整数），

如果1△2=2，则2△9=？

6.对于数a、b规定运算“▽”为a▽b=（a＋1）×（1－b），

若等式（a▽a）▽（a＋1）=（a＋1）▽（a▽a）成立，求a的值.

7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：

x*y=

＋

，

已知2*1=

＋

=

，求1998*1999的值.

8.a※b=

，在x※（5※1）=6中，求x的值.

9.规定a△b=a＋（a＋1）＋（a＋2）＋…＋（a＋b－1），（a、b均为自然数，b>a）如果

x△10=65，那么x=？

10.我们规定：

符号◇表示选择两数中较大数的运算，例如：

5◇3=3◇5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：

5△3=3△5=3，计算：

=？

课后习题解答

　　1.

2.

　　3.

所以有5x-2=30，解出x=6.4

左边：

8.解：

由于

9.解：

按照规定的运算：

　　x△10=x+（x+1）+（x+2）+…+（x+10－1）

　　=10x+（1+2+3+⋯+9）=10x+45

　　因此有10x+45=65，解出x=2.

定义新运算

我们学过的常用运算有：

＋、－、×、÷等.

　　如：

2＋3＝5

　　2×3＝6

　　都是2和3，为什么运算结果不同呢？

主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.

　　我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.

例1、设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b，

　　①求3△2，2△3；

　　②这个运算“△”有交换律吗？

　　③求（17△6）△2，17△（6△2）；

　　④这个运算“△”有结合律吗？

　　⑤如果已知4△b＝2，求b.

例2、定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），

①求5※7，7※5；　　②求12※（3※4），（12※3）※4；

　　③这个运算“※”有交换律、结合律吗？

④如果3※（5※x）＝3，求x.

例3、定义新的运算a⊕b＝a×b＋a＋b.

　①求6⊕2，2⊕6；　　

②求（1⊕2）⊕3，1⊕（2⊕3）；

③这个运算有交换律和结合律吗？

例4、有一个数学运算符号“⊗”，使下列算式成立：

2⊗4＝8，5⊗3＝13，3⊗5＝11，

9⊗7＝25，求7⊗3＝？

例5、x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：

x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、

n、k均为自然数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.

课后习题

1.a*b表示a的3倍减去b的

，例如：

1*2=1×3－2×

=2，根据以上的规定，计算：

①10*6；②7*（2*1）.

2.定义新运算为a㊀b＝

，

①求2㊀（3㊀4）的值；②若x㊀4＝1.35，则x＝？

3.有一个数学运算符号○，使下列算式成立：

○

=

，

○

=

，

○

=

，求

○

的值.

4.定义两种运算“⊕”、“⊗”，对于任意两个整数a、b，

a⊕b＝a＋b＋1，　a⊗b=a×b－1，

　①计算4⊗[（6⊕8）⊕（3⊕5）]的值；

　②若x⊕（x⊗4）=30，求x的值.

5.对于任意的整数x、y，定义新运算“△”，

x△y=

（其中m是一个确定的整数），

如果1△2=2，则2△9=？

6.对于数a、b规定运算“▽”为a▽b=（a＋1）×（1－b），

若等式（a▽a）▽（a＋1）=（a＋1）▽（a▽a）成立，求a的值.

7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：

x*y=

＋

，

已知2*1=

＋

=

，求1998*1999的值.

8.a※b=

，在x※（5※1）=6中，求x的值.

9.规定a△b=a＋（a＋1）＋（a＋2）＋…＋（a＋b－1），（a、b均为自然数，b>a）如果

x△10=65，那么x=？

10.我们规定：

符号◇表示选择两数中较大数的运算，例如：

5◇3=3◇5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：

5△3=3△5=3，计算：

=？