高考理科数学全国1卷含答案.docx
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高考理科数学全国1卷含答案
2015年高考理科数学试卷全国1卷
1.设复数z满足1
1
z=i，则|z|=（）
z
（A）1（B）2（C）3（D）2
2.sin20ocos10o
cos160osin10o
=（）
（A）3
2
3
（B）
2
（C）1
2
1
（D）
2
3.设命题p：
nN,n2
2n，则p为（）
（A）
nN,n22n
（B）
nN,n22n
（C）
nN,n22n
（D）
nN,n2
=2n
4.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）
（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312
x2
5.已知M（x
y）是双曲线C：
y21上的一点，
F,F是C上的两个焦点，若
0012
2
MF1
MF20，则
y0的取值范围是（）
（A）（-
3333
，）（B）（-，）
3366
（C）（22，22
33
）（D）（23，23）
33
6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:
“今有委米依
垣内角，下周八尺，高五尺。
问:
积及为米几何?
”其意思为:
“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部
的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?
”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）
（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛
7.设D为ABC所在平面内一点BC3CD，则（）
（A）AD
1AB4AC（B）AD1AB4AC
3333
（C）AD
41
ABAC（D）AD
4AB
1AC
3333
8.函数
f（x）=cos（x
）的部分图像如图所示，则
f（x）
的单调递减区间为（）
（A）（k
1,k3）,kZ（B）（2k1,2k3）,kZ
4444
（C）（k
1,k3）,kZ（D）（2k1,2k3）,kZ
4444
9.执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）
（A）5（B）6（C）7（D）8
10．（x2
xy）5的展开式中，
x5y2的系数为（）
（A）10（B）20（C）30（D）60
11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20，则r=（）
（A）1（B）2（C）4（D）8
12.设函数
f（x）
=ex（2x1）
axa,其中a1，若存在唯一的整数
x0，使得
f（x0）
0，则a的取值范围是（）
（A）[-3，1）（B）[-3，3）（C）[3，3）（D）[3
，1）
2e2e42e42e
13.若函数f（x）=xln（xax2）为偶函数，则a=
14.一个圆经过椭圆
22
xy
164
1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标
准方程为.
x
1
0
15．若x,y满足约束条件
x
y
0
，则y的最大值为.
x
y
4
0
x
16．在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是.
17．（本小题满分12分）
2
S为数列{a}的前n项和.已知a＞0，aa=4S3.
nnnnnn
（Ⅰ）求{
an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn
1
anan1
求数列{bn}的前n项和.
18.如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=12°0，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥
平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.
（Ⅰ）证明：
平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：
千元）
对年销售量y（单位：
t）和年利润z（单位：
千元）的影响，对近8年的年宣传费
xi和
年销售量
yi（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计
量的值.
xyw8
i1
（xi
v）
2
8
（wi
i1
w）
2
8
（xi
i1
x）（yiy）
8
（wi
i1
w）（yiy）
46.656.36.8289.81.61469108.8
表中wi
18
xi，w=wi8i1
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费
x的回归方程类型？
（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：
对于一组数据
（u1,v1）,
（u2,v2），，（un,vn）,其回归线vu的斜率和截
距的最小二乘估计分别为：
2
20．（本小题满分12分）在直角坐标系xoy中，曲线C：
y=x
4
0）交与M,N两点，
（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
与直线ykxa（a＞
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM∠=OPN？
说明理由.
21．（本小题满分12分）已知函数f（x）=x3ax
1,g（x）lnx.
4
（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线
yf（x）
的切线；
（Ⅱ）用mni
m,n表示m,n中的最小值，设函数
h（x）min
f（x）,g（x）（x
0），
讨论h（x）零点的个数.
22．（本题满分10分）选修4-1：
几何证明选讲
如图，AB是的直径，AC是的切线，BC交于E.
（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：
DE是的切线；
（Ⅱ）若OA3CE，求∠ACB的大小.
23．（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线
2
C:
x=2，圆C：
x1
2
y21,以坐标原点
12
为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求
C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线
C3的极坐标方程为R，设
4
C2与
C3的交点为M,N,求
C2MN的面积.
24．（本小题满分10分）选修4—5：
不等式选讲已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0.
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）>1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
【答案解析】
1.【答案】A
【解析】由1
1
zi得，zz
1i=（1
1i（1
i）（1
i）（1
i）=i，故|z|=1，故选A.
i）
o
考点：
本题主要考查复数的运算和复数的模等.2.【答案】D
【解析】原式=sin20
cos10o
cos20o
sin10o
=sin30o=1
2
，故选D.
考点：
本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.3.【答案】C
【解析】p:
nN,n2
2n，故选C.
考点：
本题主要考查特称命题的否定
4.【答案】A
【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为
C20.62
0.40.63=0.648，
3
故选A.
考点：
本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式
5.【答案】A
【解析】由题知
F（3,0）,F
2
（3,0），x0
y21
，所以
MFMF=
12012
2
（3x,
y）（3
x,y）
=x2
y233y2
10，解得3y3，
故选A.
0000
0000
33
考点：
双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.6.【答案】B
【解析】设圆锥底面半径为r，则123r
4
8=r
16
，所以米堆的体积为
3
113（16）2
5=320
，故堆放的米约为320
÷1.62≈22，故选B.
43399
考点：
圆锥的性质与圆锥的体积公式
7.【答案】A
【解析】由题知
ADACCDAC
1BCAC
1（ACAB）=
33
14
ABAC，故选A.
33
考点：
平面向量的线性运算
8.【答案】D
【解析】由五点作图知，
1+
42，解得=，=
，所以
f（x）cos（x），
5+344
令2kx2k4
42
kZ，解得2k
1＜x＜2k4
3，kZ，故单调减区
4
间为（2k
1，2k
4
3），kZ，故选D.
4
考点：
三角函数图像与性质
9.【答案】C
【解析】执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=1
2
=0.5,S=S-m=0.5,m
m
=0.25,n=1,S=0.5
2
＞t=0.01,是，循环，
执行第2次，S=S-m=0.25,m
m
=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环，
2
执行第3次，S=S-m=0.125,m
m
=0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环，
2
执行第4次，S=S-m=0.0625,m
m
=0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，
2
执行第5次，S=S-m=0.03125,m
执行第6次，S=S-m=0.015625,m
m
=0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，
2
m
=0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，
2
执行第7次，S=S-m=0.0078125,m
输出n=7，故选C.
考点：
本题注意考查程序框图
10.
5
2
【答案】C
m
=0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，
2
【解析】在
（x2
xy）的5个因式中，2个取因式中
x剩余的3个因式中1个取x，
其余因式取y,故x5y2的系数为
C2C1C2=30，故选C.
532
考点：
本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.
【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.
11.【答案】B
【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球
的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为
14r2
2
r2rr2
2r2r=
5r2
4r2=16+20，解得r=2，故选B.
考点：
简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式
12.【答案】D
【解析】设
g（x）
=ex（2x
1），yaxa，由题知存在唯一的整数
x0，使得
g（x0）在
直线yaxa的下方.
因为g
（x）
ex（2x
1
1），所以当x
1
1时，g
2
（x）＜0，当x
1时，g
2
（x）＞0，所
以当x时，[g（x）]max=-2e2，
2
当x0时，
g（0）
=-1，
g
（1）3e
0，直线yaxa恒过（1,0）斜率且a，故
ag（0）1，且
g
（1）3e1
aa，解得3
2e
≤a＜1，故选D.
考点：
本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题
13.【答案】1
【解析】由题知y
2
ln（xax）是奇函数，所以
ln（xax2）ln（
xax2）
=ln（ax2
x2）lna
0，解得a=1.
考点：
函数的奇偶性
32225
14.【答案】（x）y
24
【解析】设圆心为（a，0），则半径为4a，则（4
a）2
a222，解得a3，故
2
圆的方程为（x
3）2y225.
24
考点：
椭圆的几何性质；圆的标准方程
15.【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y
x
是可行域内一点与原
点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故y
x
的最大值为3.
考点：
线性规划解法
16.【答案】（62，6+2）
【解析】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，
在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得
BCBE，即
2BE
sinEsinC
oo
sin30sin75
，解得BE=6+2，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时
与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，
sin
BFBC
FCBsinBFC
，即BFsin30o
2，解得BF=62，所以AB的取值
sin75o
范围为（62，6+2）.
考点：
正余弦定理；数形结合思想
17.【答案】（Ⅰ）2n
【解析】
1（Ⅱ）
11
64n6
试题分析：
（Ⅰ）先用数列第n项与前n项和的关系求出数列{
an}的递推公式，可以判
断数列{
an}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{
an}的通项公式；（Ⅱ）
根据（Ⅰ）数列{
bn}的通项公式，再用拆项消去法求其前n项和.
试题解析：
（Ⅰ）当n
1时，a22a4S34a+3，因为a0，所以a=3，
1111n1
22
当n2时，
anan
an1
an1
=4Sn
34Sn13
=4an，即
（an
a1n
）（an
1an
）2a，（n
因为aann
）0，所以an
an1=2，
所以数列{
an}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以an=2n1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
b=11（11），
n
（2n1）（2n3）22n12n3
所以数列{
bn}前n项和为
b1b2
bn=
1[（11）（11）（11）]=11.
235572n12n364n6
考点：
数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法
3
18.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
3
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1
易证EG⊥AC，通过计算可证EG⊥FG，根据线面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面
面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以
GB,GC的方向
为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法可求
出异面直线AE与CF所成角的余弦值.
试题解析：
（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，
由∠ABC=12°0
，可得AG=GC=3.
由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，又∵AE⊥EC，∴EG=3，EG⊥AC，
在Rt△EBG中，可得BE=2，故DF=2.
2
在Rt△FDG中，可得FG=6.
2
在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=2，DF=2
2
2
可得EF=32，
2
∴EG2
FG2
EF，∴EG⊥FG，
∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，
∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.
（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以
GB,GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单
位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－3，0），E（1,0,2），
F（－1,0，2
2
），C（0，3，0），∴AE=（1，3，2），CF=（-1，-3，2
2
）.10
分
故cos
AE,CF
|AE||CF|3
所以直线AE与CF所成的角的余弦值为3.
3
考点：
空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力
19.【答案】（Ⅰ）ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型；
（Ⅱ）y
100.668
x（Ⅲ）46.24
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令
wx，先求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）
利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费
用.
试题解析：
（Ⅰ）由散点图可以判断，ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型.
8
（wi
w）（yiy）
（Ⅱ）令wx，先建立y关于w的线性回归方程，由于
i1
d
=
8
i
（ww）2
i1
108.8=68，
16
∴cydw=563-68×6.8=100.6.
∴y关于w的线性回归方程为y100.668w，
∴y关于x的回归方程为y100.668x.
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值
y100.66849=576.6，
z576.60.24966.32.
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值
z0.2（100.668x）
xx13.6x
20.12，
∴当x=13.6=6.8，即x
2
46.24时，z取得最大值.
故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.12分
考点：
非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识
20.【答案】（Ⅰ）
axya
0或axya
0（Ⅱ）存在
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将ykxa代入曲线C的方程整理成关于x的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用a表示出来，利
用直线PM，PN的斜率为0,即可求出
a,b关系，从而找出适合条件的P点坐标.
试题解析：
（Ⅰ）由题设可得
M（2
a,a）
，N（22,a），或
M（22,）
a，N（2
a,a）.
∵y1x，故2
x2
y在x=22a处的到数值为a，C在（22a,a）4
处的切线方程为
yaa（x
2a），即
axya0.
x2
故y在x=-22a处的到数值为-a，C在（22a,a）处的切线方程为
4
yaa（x
2a），即
axya0.
故所求切线方程为
axya
0或axya0.
（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设P（
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