高中数学 11 2基本计数原理和排列组合教案 新人教A版选修选修23.docx

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高中数学112基本计数原理和排列组合教案新人教A版选修选修23

2019-2020年高中数学1.12基本计数原理和排列组合教案新人教A版选修选修2-3

一.本周教学内容：

选修2—3基本计数原理和排列组合

二.教学目标和要求

1.掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能用两个计数原理解决一些简单的问题。

2.理解排列和组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式，组合数公式，并解决简单的实际问题。

3.让学生体会思想与方法，培养学生分析问题，解决问题的能力，激发学生学习的兴趣。

注意问题的转化，分类讨论，注重数形结合，学会从不同的切入点解决问题。

三.重点和难点

重点：

两个基本计数原理的内容；排列和组合的定义，排列数和组合数公式及其应用

难点：

两个计数原理的应用和应用排列组合数公式解决实际的问题

四.知识要点解析

1.两个基本计数原理

（1）分类加法计数原理：

做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的办法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法

（2）分步乘法计数原理：

做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的办法……做第n个步骤有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法

说明：

（1）两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论根据，它们分别给出了用两种不同方式（分类和分步）完成一件事情的方法总数的计算方法

（2）考虑用哪个计数原理，关键是看完成一件事情是否能独立完成，决定是分类还是分步。

如果完成一件事情有n类办法，每类办法都能独立完成，则用分类加法计数原理；如果完成一件事情，需要分成n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事情，则用分步乘法计数原理

（3）在解决具体问题，要弄清是“分步”，还是“分类”，还要弄清“分步”或者“分类”的标准是什么，注意分类，分步不能重复，不能遗漏

2.排列问题

（1）排列的定义：

一般的，从n个不同的元素中任取m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列

说明：

①定义中包含两个基本内容：

一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”

②一个排列就是完成一件事情的一种方法

③不同的排列就是完成一件事情的不同方法

④两个排列相同，需要满足两个条件：

一是元素相同，二是顺序相同

⑤从n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，记作

（2）排列数的定义：

从n个不同的元素中任取m（mn）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中任取m个元素的排列数。

用符号

（3）排列数公式：

（读作n的阶乘），0！

＝1

说明：

①

②公式右边是m个从大到小的连续正整数之积，最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1

③n的阶乘是正整数n到1的连乘积

3.组合问题

（1）组合的定义：

一般地，从n个不同的元素中任取m（mn）个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

说明：

①如果两个组合中元素完全相同，不管它们的顺序如何都是相同的组合

②当两个组合中元素不完全相同，就是不同的组合

③排列和组合的区别：

排列和顺序有关，而组合和顺序无关

（2）组合数定义：

从n个不同的元素中任取m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中任取m个元素的组合数。

用符号

（3）组合数公式：

（4）组合数的两个性质：

①②

4.排列和组合的关系：

（1）二者区别的关键：

是否和顺序有关

（2）二者的联系：

5.解决站队和组数的常用方法：

（1）特殊位置（或元素）优先考虑法：

解决在与不在的问题

（2）捆绑法：

解决元素相邻的问题

（3）插空法：

解决元素不相邻的问题

（4）间接法：

先总体考虑，后排除不符合条件的，转化问题

【典型例题】

例1.（1993年全国高考）同室4人各写一张贺年卡片，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡片，则4张贺年卡片不同的分配方式有：

（）

A.6种B.9种C.11种D.23种

错解：

①3×2×1×1＝6选（A）

②3×2×2×1－1＝11选（C）

③3×2×2×2－1＝23选（D）

错解原因：

由于本人不能拿自己写的卡片这一限制条件，导致它们之间有过多的相互影响的限制，因此三种解法都没有能全面考虑。

有的重复有的遗漏，思路不清晰，从而错解本题。

由于本题4这个数目不大，设4人分别编号甲，乙，丙，丁，4人对应卡片分别编号1，2，3，4，我们可以采用穷举法逐一列举如下：

214323412413

314234213412

412343124321

共有9种，所以正确答案选（B）

分析：

建立数学模型将贺年卡片的分配问题转化为数学问题，用1，2，3，4这4个数字组成无重复的四位数，其中1不在千位，2不在百位，3不在十位，4不在个位的4位数共有多少个？

思路：

用乘法原理，千位只能放2，3，4三种；在放过数字2后，百位只能放1，3，4三种，后两位已经确定。

类似的，当千位数字是3，十位只能放1，2，4，其余也已确定

∴3×3×1＝9，共有9种，所以正确答案选（B）

评析：

要分析清楚它们之间的关系，注意问题的转化，和数学问题联系起来，建立数学模型。

例2.（xx年全国高考文科）将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有种（以数字作答）

错解：

按照乘法原理3×2×2×2×2＝48种

错解原因：

这48种里面有不符合条件的，设三种作物为ABC，例如下面情况是存在的ABABA，BABAB只有两种作物，不符合题意，共有种

正确解法：

48－6＝42种

例3.从包含甲的若干名同学中选出4名分别参加数学，物理，化学和英语竞赛，每名学生只能参加一科竞赛，且任2名同学不能参加同一科竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛，则共有72种不同的参赛方案，问一共有多少同学？

分析：

若设共有n名同学，则我们可以用n把参赛方法总数表示出来，这种实际上就是得到了一个关于n的方程，解方程即可求出n的值

解：

设共有n名同学，首先从这n名同学中选出4人，然后再分别参加竞赛，按同学甲分类：

第一类，不选甲，则从剩下的n－1名同学中选出4人分别参加4科竞赛，有种参赛方式；第二类，选甲，首先安排甲，有种方法，再从剩下的n－1名同学中选出3人参加剩下的3科竞赛，有种方法，共有种参赛方式，所以根据分类计数原理，一共有＋种方法，根据题意得＋＝72，解得n＝5

评析：

对于这类较为复杂的问题，我们往往感到无从下手，如果，从竞赛学科的角度来思考，则需要分很多种情况，容易出错。

这时我们可以采用“先取后排”的原则：

即首先取出符合条件的元素，再按要求把它们排起来，这样解答比较条理，有利于问题的解决。

同学们在思考这个问题时，关键是要理清思路，注意问题的转化，不要“一条道走到黑”，不要“钻牛角尖”。

当然这道题也可采用“先特殊后一般”的原则解决，大家不妨一试。

例4.用0到9这十个数字可以组成多少个没有重复数字的

（1）五位数

（2）五位奇数（3）五位偶数

（4）数字0不选上，但数字2，3必须选上且相邻的五位数

解：

（1）首位是特殊位置，按照特殊位置优先考虑的方法，第一步：

首位共有方法，

第二步：

从剩余的9个数字（包括数字0）中选取4个排列，共有种方法

根据乘法原理：

共有＝27216种

（2）填空法

思路一：

首位和末位都是特殊位置，如果先考虑首位，则有首位是奇数和偶数两种情况，分类讨论：

首位奇数，则有种，末位为奇数有种，其余种，所以共有＝6720种方法。

首位偶数，不能为0，则有种，末位为奇数有种，其余种，所以共有＝6720种方法，则共有＋＝13440种

思路二：

先确定末位为奇数，有种，首位不能为0，则有种，其余种，所以共有＝13440种

分析：

两个特殊位置中末位更特殊，注意分析，有利于解决问题，在这里我详细分析，注意体会，并在解题中加以应用。

（3）思路一：

末位偶数，分两类：

末位是0，则首位有种，其余有；末位不是0，有种，则首位有种，其余有，所以共有＋＝13776种

思路二：

（间接法）利用五位数的方法数＝27216种，减去五位奇数的方法数＝13440种，所以共有－＝27216－13440＝13776种

（4）数字0不选上，但数字2，3必须选上且相邻的五位数

第一步：

选元素，数字2，3必须选上，然后再选择3个元素，有种

第二步：

排顺序，把2，3看成一个元素，俗称“捆绑”，共有4个元素排顺序，有种，但，2，3两元素还有顺序，有种

所以共有＝1680种

分析：

该例题涉及组数，关键分清题目中的条件的限制，常用方法就是，特殊位置（元素）优先考虑，优先安排；相邻问题可以用捆绑法；不相邻问题可以用插空法；直接来求情况较多，也可以用间接法。

只有理解了题意，明白题目的意图，这些方法才能熟练应用。

思考：

如何解决这个问题？

用1到9这九个数组成九位数，要求偶数不能相邻，问有多少种不同的排法？

例5.六本不同的书，根据下列条件分配，各有多少种不同的分配方案？

（1）甲两本，乙两本，丙两本

（2）甲一本，乙两本，丙三本

（3）一人一本，一人两本，一人三本

（4）平均分成3堆

解：

（1）有编号，有分步计算原理得种

（2）有编号，甲有，乙有，丙有，所以共有＝60种

（3）无编号，先分组后分配给甲乙丙，分组有，分配有，所以共有＝360种

（4）平均分组种

【模拟试题】

一、选择题

1.已知椭圆的焦点在y轴上，且

，这样的椭圆共有（）个

A.9B.12C.15D.30

2.某赛季足球比赛的计分规则是：

胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一球队打完15场比赛，积分33分，若不考虑顺序，该队胜平负的情况共有（）种

A.3B.4C.5D.6

3.（1991年全国高考）从4名甲型和5名乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，不同的取法共有（）种

A.140B.84C.70D.35

4.四个不同的小球放入编号1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的方法共有（）种

A.288B.144C.72D.以上都不对

5.四面体的和各棱中点共有10个点，在其中取四个不共面的点，不同的取法有（）种

A.150B.147C.144D.141

6.八个不同颜色的小球已平均分装在4个箱子中，现从不同的箱子中取出2个彩球，则不同的取法共有（）种

A.6B.12C.24D.28

7.每天上午有4节课，下午2节课，安排5门不同的课程，其中安排一门课两节连在一起上，则一天安排不同课程的种数为（）

A.96B.120C.480D.600

8.五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有（）种

A.120B.78C.96D.72

9.从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为（）

A.120B.60C.240D.280

10.分别在三张卡片的正反面上写有1与2，3与4，5与6，且6可以当9用，把这三张卡片拼在一起，表示一个三位数，则三位数的个数共有（）个

A.12B.24C.48D.72

二、填空题

1.有100个三好学生名额，分配到高三年级60班，每班至少一个名额，共有种不同的分配方案。

2.马路上有8盏路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或者三盏，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有

种。

3.三个人坐在一排8个座位上，若每人两边都有空位，则坐法种数为

4.计算

5.若，则x＝

6.十只产品中有4只次品，6只正品，每次取出一个测试，直到4只次品全测出为止，则第4只次品在第5次测试时被发现的情形共有种

三、解答题（套题）

有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，不同的排法有多少种？

（1）全体排成一排

（2）选其中5人排成一排

（3）全体排成一排，其中甲只能在中间或者两头位置

（4）全体排成一排，甲乙必须在两头

（5）全体排成一排，甲不在最左边，乙不在最右边

（6）全体排成一排，男女生各一边

（7）全体排成一排，男生必须排在一起

（8）全体排成一排，其中甲必须在乙的左边

（9）全体排成一排，男生不能排在一起

（10）全体排成一排，甲乙两人之间必须有3人

（11）排成前后两排，前排3人，后排4人

（12）排成前后2排，甲必须在前排

请做完之后，再看答案

【试题答案】

一、选择题

1.A2.A3.C4.B5.D

6.C7.C8.B9.A10.D

二、填空题

1.挡板法，把100个名额看成100个位置，中间有99个空，插入59个挡板，分成60部分，即种

2.插空法：

问题转化为“在5盏亮灯的4个空中插入3盏暗灯”所以＝4种

3.24

4.利用，结果为

5.2x－7＝x或2x－7＋x＝20，解得x＝7或x＝9

6.第4只次品在第5次测试时被发现，说明前四次测试中有3只次品，一只正品，第5次一定是次品，所以共有种不同的方法。

三、解答题（套题）

【励志故事】

宽恕的力量

在美国南北战争期间，有个名叫罗斯韦尔·麦金太尔的年轻人被征入骑兵营。

由于战事进展不顺，士兵奇缺，在几乎没有接受任何训练的情况下，他就被临时派往战场。

在战斗中，年轻的麦金太尔担惊受怕，终于开小差逃跑了。

后来，他以临阵脱逃的罪名被军事法庭判处死刑。

当麦金太尔的母亲得知这个消息后，她向当时的总统林肯发出请求。

她认为自己的儿子年纪轻轻，少不更事，他需要第二次机会来证明自己。

然而部队的将军们力劝林肯严肃军纪，声称如果开了这个先例，必将削弱整个部队的战斗力。

在这种情况下，林肯陷入两难境地。

经过一番深思熟虑后，他最终决定宽恕这个年轻人，并说了这样一句著名的话：

“我认为，把一个年轻人枪毙对他本人绝对没有好处。

”为此他亲自写了一封信，要求将军们放麦金太尔一马：

“本信将确保罗斯韦尔·麦金太尔重返兵营，在服完规定年限的兵役后，他将不受临阵脱逃的指控。

”

如今，这封褪了色的林肯亲笔签名信被一家著名的图书馆收藏展览。

这封信的旁边还附带了一张纸条，上面写着：

“罗斯韦尔·麦金太尔牺牲于弗吉尼亚的一次激战中，此信是在他的贴身口袋里发现的。

”

一旦被给予第二次机会，麦金太尔就由怯懦的逃兵变成了无畏的勇士，并且战斗到自己生命的最后时刻。

由此可见，宽恕的力量何等巨大！

由于种种原因，人不可能不犯错误，但只有宽恕才能给他第二次机会，也才有可能让他弥补先前的过失。

［小编插语］宽恕别人，也是在善待自己，这样我们才能收获更多。