高效率嵌入式系统开平方根.docx
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高效率嵌入式系统开平方根
开平方根
目录
1.开平方根2
2.开平方根说明8
1.开平方根
我们平时经常会有一些数据运算的操作，需要调用sqrt，exp，abs等函数，那么时候你有没有想过：
这个些函数系统是如何实现的？
就拿最常用的sqrt函数来说吧，系统怎么来实现这个经常调用的函数呢？
虽然有可能你平时没有想过这个问题，不过正所谓是“临阵磨枪，不快也光”，你“眉头一皱，计上心来”，这个不是太简单了嘛，用二分的方法，在一个区间中，每次拿中间数的平方来试验，如果大了，就再试左区间的中间数；如果小了，就再拿右区间的中间数来试。
比如求sqrt（16）的结果，你先试（0+16）/2=8，8*8=64，64比16大，然后就向左移，试（0+8）/2=4，4*4=16刚好，你得到了正确的结果sqrt（16）=4。
然后你三下五除二就把程序写出来了：
//用二分法
floatSqrtByBisection（floatn）
{
//小于0的按照你需要的处理
if（n<0）
returnn;
floatmid,last;
floatlow,up;
low=0,up=n;
mid=（low+up）/2;
do
{
if（mid*mid>n）
up=mid;
else
low=mid;
last=mid;
mid=（up+low）/2;
}
//精度控制
while（abs（mid-last）>eps）;
returnmid;
}
然后看看和系统函数性能和精度的差别（其中时间单位不是秒也不是毫秒，而是CPUTick，不管单位是什么，统一了就有可比性）。
二分法和系统的方法结果上完全相同，但是性能上整整差了几百倍。
为什么会有这么大的区别呢？
难道系统有什么更好的办法？
难道。
。
。
。
哦，对了，回忆下我们曾经的高数课，曾经老师教过我们“牛顿迭代法快速寻找平方根”，或者这种方法可以帮助我们，具体步骤如下。
求出根号a的近似值：
首先随便猜一个近似值x，然后不断令x等于x和a/x的平均数，迭代个六七次后x的值就已经相当精确了。
例如，我想求根号2等于多少。
假如我猜测的结果为4，虽然错的离谱，但你可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号2了：
（4+2/4）/2=2.25
（2.25+2/2.25）/2=1.56944..
（1.56944..+2/1.56944..）/2=1.42189..
（1.42189..+2/1.42189..）/2=1.41423..
....
这种算法的原理很简单，我们仅仅是不断用（x,f（x））的切线来逼近方程x^2-a=0的根。
根号a实际上就是x^2-a=0的一个正实根，这个函数的导数是2x。
也就是说，函数上任一点（x,f（x））处的切线斜率是2x。
那么，x-f（x）/（2x）就是一个比x更接近的近似值。
代入f（x）=x^2-a得到x-（x^2-a）/（2x），也就是（x+a/x）/2。
相关的代码如下：
floatSqrtByNewton（floatx）
{
//最终
floatval=x;
//保存上一个计算的值
floatlast;
do
{
last=val;
val=（val+x/val）/2;
}
while（abs（val-last）>eps）;
returnval;
}
牛顿迭代法性能提高了很多，可是和系统函数相比，还是有这么大差距，这是为什么呀？
想啊想啊，想了很久仍然百思不得其解。
突然有一天，我在网上看到一个神奇的方法，于是就有了今天的这篇文章，废话不多说，看代码先：
floatInvSqrt（floatx）
{
floatxhalf=0.5f*x;
inti=*（int*）&x;//getbitsforfloatingVALUE
i=0x5f375a86-（i>>1）;//givesinitialguessy0
x=*（float*）&i;//convertbitsBACKtofloat
x=x*（1.5f-xhalf*x*x）;//Newtonstep,repeatingincreasesaccuracy
x=x*（1.5f-xhalf*x*x）;//Newtonstep,repeatingincreasesaccuracy
x=x*（1.5f-xhalf*x*x）;//Newtonstep,repeatingincreasesaccuracy
return1/x;
}
这次真的是质变了，结果竟然比系统的还要好。
到现在你是不是还不明白那个“鬼函数”，到底为什么速度那么快吗？
不急，先看看下面的故事吧：
Quake-IIIArena（雷神之锤3）是90年代的经典游戏之一。
该系列的游戏不但画面和内容不错，而且即使计算机配置低，也能极其流畅地运行。
这要归功于它3D引擎的开发者约翰-卡马克（JohnCarmack）。
事实上早在90年代初DOS时代，只要能在PC上搞个小动画都能让人惊叹一番的时候，JohnCarmack就推出了石破天惊的CastleWolfstein,然后再接再励，doom,doomII,Quake...每次都把3-D技术推到极致。
他的3D引擎代码资极度高效，几乎是在压榨PC机的每条运算指令。
当初MS的Direct3D也得听取他的意见，修改了不少API。
最近，QUAKE的开发商IDSOFTWARE遵守GPL协议，公开了QUAKE-III的原代码，让世人有幸目睹Carmack传奇的3D引擎的原码。
这是QUAKE-III原代码的下载地址：
必然是精心编写的。
里面有很多有趣的函数，很多都令人惊奇，估计我们几年时间都学不完。
在game/code/q_math.c里发现了这样一段代码。
它的作用是将一个数开平方并取倒，经测试这段代码比（float）（1.0/sqrt（x））快4倍：
floatQ_rsqrt（floatnumber）
{
longi;
floatx2,y;
constfloatthreehalfs=1.5F;
x2=number*0.5F;
y=number;
i=*（long*）&y;//evilfloatingpointbitlevelhacking
i=0x5f3759df-（i>>1）;//whatthefuck?
y=*（float*）&i;
y=y*（threehalfs-（x2*y*y））;//1stiteration
//y=y*（threehalfs-（x2*y*y））;//2nditeration,thiscanberemoved
#ifndefQ3_VM
#ifdef__linux__
assert（!
isnan（y））;//bk010122-FPE?
#endif
#endif
returny;
}
函数返回1/sqrt（x），这个函数在图像处理中比sqrt（x）更有用。
注意到这个函数只用了一次叠代！
（其实就是根本没用叠代，直接运算）。
编译，实验，这个函数不仅工作的很好，而且比标准的sqrt（）函数快4倍！
要知道，编译器自带的函数，可是经过严格仔细的汇编优化的啊！
这个简洁的函数，最核心，也是最让人费解的，就是标注了“whatthefuck?
”的一句：
i=0x5f3759df-（i>>1）;
再加上y=y*（threehalfs-（x2*y*y））;
两句话就完成了开方运算！
而且注意到，核心那句是定点移位运算，速度极快！
特别在很多没有乘法指令的RISC结构CPU上，这样做是极其高效的。
算法的原理其实不复杂,就是牛顿迭代法,用x-f（x）/f'（x）来不断的逼近f（x）=a的根。
没错，一般的求平方根都是这么循环迭代算的但是卡马克（quake3作者）真正牛B的地方是他选择了一个神秘的常数0x5f3759df来计算那个猜测值，就是我们加注释的那一行，那一行算出的值非常接近1/sqrt（n），这样我们只需要2次牛顿迭代就可以达到我们所需要的精度。
好吧如果这个还不算NB，接着看：
普渡大学的数学家ChrisLomont看了以后觉得有趣，决定要研究一下卡马克弄出来的这个猜测值有什么奥秘。
Lomont也是个牛人，在精心研究之后从理论上也推导出一个最佳猜测值，和卡马克的数字非常接近,0x5f37642f。
卡马克真牛，他是外星人吗？
传奇并没有在这里结束。
Lomont计算出结果以后非常满意，于是拿自己计算出的起始值和卡马克的神秘数字做比赛，看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。
结果是卡马克赢了...谁也不知道卡马克是怎么找到这个数字的。
最后Lomont怒了，采用暴力方法一个数字一个数字试过来，终于找到一个比卡马克数字要好上那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴力得出的数字是0x5f375a86。
Lomont为此写下一篇论文，"FastInverseSquareRoot"。
论文下载地址：
http:
//www.math.purdue.edu/~clomont/Math/Papers/2003/InvSqrt.pdf，
最后，给出最精简的1/sqrt（）函数：
floatInvSqrt（floatx）
{
floatxhalf=0.5f*x;
inti=*（int*）&x;//getbitsforfloatingVALUE
i=0x5f375a86-（i>>1）;//givesinitialguessy0
x=*（float*）&i;//convertbitsBACKtofloat
x=x*（1.5f-xhalf*x*x）;//Newtonstep,repeatingincreasesaccuracy
returnx;
}
大家可以尝试在PC机、51、AVR、430、ARM、上面编译并实验，惊讶一下它的工作效率。
前两天有一则新闻，大意是说RyszardSommefeldt很久以前看到这么样的一段code（可能出自QuakeIII的sourcecode）：
floatInvSqrt（floatx）
{
floatxhalf=0.5f*x;
inti=*（int*）&x;
i=0x5f3759df-（i>>1）;
x=*（float*）&i;
x=x*（1.5f-xhalf*x*x）;
returnx;
}
他一看之下惊为天人，想要拜见这位前辈高人，但是一路追寻下去却一直找不到人；同时间也有其他人在找，虽然也没找到出处，但是ChrisLomont写了一篇
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