坐标与数列.docx

坐标与数列.docx

《坐标与数列.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《坐标与数列.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

坐标与数列

坐标与数列

一、基础知识

1.求等差数列的第n个数的公式为：

第n个数=第1个数+（n-1）x公差。

求等比数列的第n个数的公式为：

第n个数二第1个数X（公差）庶。

2.周期数列。

例如：

1,0,-1,0,2,0,-2,0,3,0,-3,0,,求这个数列中的第91个数。

分析：

此数列就可以看做是周期数列，周期为4（4个数字为一组往复循环），第一组起

始数字为1,第二组起始数字为2,第三组起始数字为3,……0

解：

914-4=22……3,即第91个数为第23组的第3个数,为-23。

3.解题方法：

分別分析前几个点的横坐标和纵坐标（至少8个），找出规律，求解即可。

4.注意事项：

横坐标和纵坐标的规律可能不一样。

二、典型例题

题型一：

可以通过分析横坐标、纵坐标找出规律。

例1如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行.从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8,…，顶点依次用A”A2.A3,A4,...表示，求顶点Aa、A%、A57、A58的坐标.

解：

•・•正方形的边长依次为2,4,6,8,

・•・各顶点顶点依次为

A）（-1,-1）,A2（-1,1）,A3（1,1）,A4（1,-1）,

A5（-2,-2）,A6（-2,2）,A?

（2,2）,As（2,-2）,…

・••横坐标依次为：

-1,-1,1,1,-2,-2,2,2,…

纵坐标依次为:

-1,1,1,-1,-2,2,2,-2,…

・••横坐标和纵坐标都是周期为4的数列。

又V554-4=13……3,

・・.55为第14组的第3个数。

•••A55的坐标是（14,14）。

又7564-4=14,

・・.56为第14组的第4个数。

•••A56的坐标是（14,-14）.

又V57-?

4=14……1,

・・・57为第15组的第1个数。

AA57的坐标是（-15,-15）。

又V58-?

4=14……2,

・・・58为第15组的第2个数。

/.A58的坐标是（-15,15）。

综上，A55的坐标是（14,14）,A%的坐标是（14,-14）,A57的坐标是（-15,-15）,Am的坐标是（-15,15）。

题型二：

题目中给出了横坐标、纵坐标的运动规律

例2已知甲运动方式为：

先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度;乙运动方式为：

先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度.在平而直角坐标系内，现有动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到P,第2次从点比出发按乙方式运动到点P2,第3次从点厂岀发再按甲方式运动到点P3,第4次从点P3出发再按乙方式运动到点P』，…，依次运动规律，则经过第15次运动后，动点P所在位置P15的坐标是.

分析：

先根据P点运动的规律求出经过第15次运动后分别向甲，向乙运动的次数，再分别求出其横纵坐标即可.

解：

由题意：

动点P经过第15次运动，那么向甲运动了7次，向乙运动了8次，横坐标即为:

1X8・2X7=6,纵坐标为:

2X8-3X7=-5,即P15的坐标是（-6,-5）,故答案为:

（-6,-5）.

題型三：

不能通过分析横坐标、纵坐标找出规律，仅此一种题型和解法，须记住。

例3如图：

一个粒子在第一象限内及x轴，y轴上运动，在第一分钟内，它从原点运动到（1,0）,第二分钟从（1,0）运动到（1,1）,而后它接着按图中尖头所示在与x轴，y轴平行的方向来回运动，且每分钟移动1个长度单位.

（1）当粒子所在位這分别是（1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）时，所经过的时间分别是多少？

并说明此时的运动方向。

（2）在第2004分钟后，这个粒子所在的位巻的坐标是多少？

y

分析：

（1）根据粒子的运动规律可知：

从原点到（0,1）粒子运动了3个单位长度，用了3分钟，从（0,2）到（2,0）粒子运动了5个单位长度，用了5分钟，依次类推，可确左从（0,n）到（n,0）粒子终点在x轴上时的偶数n时的总时间及从5,0）到（0,n）粒子终点在y轴上时的奇数n时总时间；

（2）由

（1）,当到（44,44）处，粒子运动了44X45=1980分钟，方向向下，到2004分钟，由（44,44）再向下运动2004-1980=24分钟，即可推得2004分钟这个粒子所处的位程.解：

（1）粒子所在位置与运动的时间的情况如下：

位宜：

（1,1）运动了2=1X2分钟，方向向左，

位宜:

（2,2）运动了6=2X3分钟，方向向下，

位置：

（3,3）运动了12=3X4分钟，方向向左，

位置：

（4,4）运动了20=4X5分钟，方向向下；

（2）到（44,44）处，粒子运动了44X45=1980分钟，方向向下，

故到2004分钟，须由（44,44）再向下运动2004-1980=24分钟，到达（44,20）.

点评：

本题是考査了点的坐标的确定.本题也是一个阅读理解并猜想规律的题目，解答此题的关键是总结规律首先确左点所在的大致位置，然后就可以进一步推得点的坐标.

3.强化训练

1.点Al,A2,A3,…，An5为正整数）都在数轴上.点A1在原点0的左边，且A1O=1；点A?

在点Ai的右边，且AzAi=2：

点人3在点A2的左边，且AaA2=3:

点A4在点A3的右边,且A_»A3=4：

…，依照上述规律，点A2OO8.A2009所表示的数分别为（）

A、2008,-2009B、-2008,2009C.1004,-1005D、1004,-1004

2.如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1,

1）,第2次接着运动到点（2,0）,第3次接着运动到点（3,2）,按这样的运动规律,经过第2011次运动后，动点P["、¥、1••H

3.已知甲运动方式为：

先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度：

乙运动方式为：

先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度.在平而直角坐标系内，现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点P”第2次从点Pi出发按乙方式运动到点P2,第3次从点匕出发再按甲方式运动到点P”第4次从点P3岀发再按乙方式运动到点P4,••••依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P所在位置Pn的坐标是.

4.如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到（0,1）,接着它按图

所示在x轴、y轴的平彳亍方向来回运动，（即（0,0）—（0,1）（1,1）—（1,0）—

（2,0）-…）且每秒运动一个单位长度，那么2010秒时，这个粒子所处位置为

C.（44,14）

A、（14,44）B、（15,44）

D、（44,15）

5.

A3（3,9）,A4（4,16）,…，用你

在平而直角坐标系中，点A】（1,1）,A2（2,4）,

发现的规律确定点Ay的坐标为

6观察下列有序数对：

存7,*（9I…根据你发现的规律，第KX）

个有序数对是■

7.如图，在平而直角坐标系上有个点P（L0）,点P第1次向上跳动1个单位至点Pi（h1）,紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（-l,1）,第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P|00的坐标是:

P.99的坐标

是;

7

8.如图：

在直角坐标系中，第一次将AAOB变换成△OA）Bi,第二次将三角形变换成AOA2B2,第三次将厶OA2B2,变换成△OA3B3,已知A（1,3）,Ai（3,3）,A2（5,3）,A3（7,3）:

B（2,0）,Bi（4,0）,B2（8,0）,B3（60）・

（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找岀规律，按此变化规律再将△OA3B3变换成

AOA4B4.则人的坐标是,Bq的坐标是.

（2）若按

（1）找到的规律将AOAB进行了n次变换，得到△OA„Bn,比较每次变换中三

角形顶点有何变化，找出规律，推测An的坐标是,B“的坐标是・

9.如图，在直角坐标系中，设一动点M自P。

（L0）处向上运动1个单位至Pi（1,1）,

然后向左运动2个单位至P2处.再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P」

10.如图，在平面直角坐标系上有点A（1,0）,点A第一次跳动至点Al（・1,1）,第四次

向右跳动5个单位至点人（3,2）,…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点Aw〉的坐标是・

11・在平而直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上.向右、不断移动，每次移动1个单位.其行走路线如图所示.

（1）填写下列各点的坐标：

Ai（,）,

A3（，）f

A12（,）:

（2）写出点A100、Aim的坐标：

（3）指出蚂蚁从点A】oo到Aun的移动方向.

向下、向右的方向依次

缶

12.—只老鼠在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0,1）,然后接着按图中箭头所示方向运动｛即（0,0）-（0,1）-（1,1）-（1,0）且每秒移

坐标是

动一个单位，那么第35秒时老鼠所在位置的坐标是,第99秒时老鼠所在位置的

al——.

坐标与数列答案

1.解：

由题意知，Ai,A2,阳，…所表示的数分别为-1,1,-2,2,-3,3,…，可以看做周期为2的数列，

V20084-2=100L・\2008为第1004组的第2个数，.••点Azcrn所表示的数为1004。

又720094-2=1004……1,A2009为第1005组的第1个数，.•.点A2009所表示的数为-1005。

2.（2011,2）

解：

根据动点P任平而直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1,1）,

第2次接着运动到点（2,0）,第3次接着运动到点（3,2）,第4次运动到点（4,0）,第5次接着运动到点（5,1）,…，

（1）横坐标依次为：

1,2,3,4,5,…，为运动次数，

・••经过第2011次运动后，动点P的横坐标为2011,

（2）纵坐标依次为1,0,2,0,1,0,2,0,…，是周期为4的数列。

7201144=502余3,A2011为第503组数的第3个数，

・•・经过第2011次运动后，动点P的纵坐标为2,

・•・经过第2011次运动后,动点P的坐标是：

（2011,2）,

3・解：

由题意：

动点P经过第11次运动，那么向甲运动了6次，向乙运动了5次，横坐

标即为:

2X6・3X5=3,纵坐标为:

1X6-2X5=-4，即P”的坐标是（-3,-4）.故答案为:

（-3,-4）.

4.A解:

（1）粒子所在位置与运动的时间的情况如下:

位置：

（1,1）运动了2=1X2秒，方向向下，位置：

（2,2）运动了6=2X3秒，方向向左，

位置：

（3,3）运动了12=3X4秒，方向向下，

位置：

（4,4）运动了20=4X5秒，方向向左：

（2）到（44,44）处，粒子运动了44X45=1980秒，方向向下,

故到2010秒，须由（44,44）再向下运动2010-1980=30秒，到达（14,44）.

5.（9,81）6・（-20L丄）

100

7.（26,50）o解:

由题意,Pi（1,1）,P2（-b1）,P3（-1,2）,P4（2,2）,P5（2,3）,

P6（-2,3）,P7（-2,4）,P8（3,4）,P9（3,5）,……

（1）各点的横坐标依次为：

1,-1,-1,2,2,-2,-2,3,3,……

考查数列：

1,1,-1,-h2,2,-3,-3,4,4,

V101^-4=25-1,/.101为第26组数的第1个数，.・.Pioo的横坐标是26。

又V2004-4=50,A200为第50组数的第4个数，.'.P翊的横坐标是-50。

（2）各点的纵坐标依次为：

1,1,2,2,3,3,4,4,……

••T00F2二50,.・・100为第50组数的第2个数，・・左|00的纵坐标是50。

又7199^-2=99余1,・・.199为第100组数的第1个数，...P^的纵坐标是100。

综上»APioo的坐标是（26,50）；P199的坐标是（-50,100）。

8.解：

由题意：

1点九，A2,A3,……的横坐标依次为3,5,7,……，为等差数列，公差为2,

・・.A4的横坐标是9,An的横坐标是3+（n-1）X2=2n+1。

2点九，A2,A3,……的纵坐标依次为3,3,3,……，为常数数列，

...A4的纵坐标是3,An的纵坐标也是3o/.A4的坐标是（9,3）,An的坐标是（2n+l,3）。

3点Bi，B2,B3,……的横坐标依次为4,&16,……，为等比数列，公比为2,

•••Bq的横坐标是32,Bn的横坐标是4X2n'1=2n+1。

4点Bi，B2,B）,……的纵坐标依次为0,0,0,……，为常数数列，

・•・/的纵坐标是0,Bn的纵坐标也是0。

・・・旳的坐标是（32,0）,Bn的坐标是（2吋,0）。

9.解:

由题意知：

Pi（l,l）,P2（-l,l）>P3（-l,-2）,P4（3,-2）,

P5（3,3）,P6（・3,3）,P?

（-3,-4）,Ps（5.-4）,……

（1）横坐标依次为：

1,-1,-1,3,3,-3,-3,5,5,……

考查数列：

1,1,-1,-1,3,3,-3,-3,5,5,……，为周期数列，周期为4.

720134-4=503余1,.*.2013为第504组的第1个数.

又V1+（504-1）X2=1007,AP2012的横坐标为1007。

（2）纵坐标依次为：

1,1,・2,・2,3,3,-4,-4,……,为周期数列,周期为2.•.•20124-4=1006,A2013为第1006组的第4个数...莎叱的纵坐标为-1006。

•••P2O12的坐标为（1007,-1006）。

10.解:

由题意知：

Ai（-l,l）,A2（2,l）,Aj（-2,2）,£（3,2）,

As（-3,3）fA6（4,3）,A?

（-4,4）,A«（5,4）,……

（1）横坐标依次为：

・1,2,-2,3,-3,4,-4,5,-5,……

考查数列：

1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,5,-5,……,为周期数列,周期为2.

V1014-2=50余1,・・・101为第51组的第1个数.・・・Aioo的横坐标为51°

（2）纵坐标依次为：

1,1,2,2,3,3,4,4,……，为周期数列，周期为2.

•••100+2=50,・•・100为第50组的第2个AAioo的纵坐标为50。

AA100的坐标为（51,51）o

11.解：

（1）由题意知：

Ai（0,l）,A2（l,l）,A3（l,0）,A4（2,0）,

A5（2,l）,A6（3,l）,A?

（3,0）,A8（4,0）,……

1横坐标依次为：

0,1,1,2,2,3,3,4,4,……

考査数列：

1,1,2,2,3,3,4,4,,……，为周期数列,周期为2.

711^-2=5余1,・・.11为第6组的第1个数.・・・Ai2的横坐标为6。

又V99-T2=49余1,・・・99为第50组的第1个.\Aioo的横坐标为50。

又V1004-2=50,/.100为第50组的第2个数.AAioi的横坐标为50。

2纵坐标依次为：

1,1,0,0,1,1,0,0,……，为周期数列，周期为4.

V124-4=3,.*.12为第3组的第4个数.AAn的纵坐标为0。

又V1004-4=25,A100为第25组的第4个.\AIOo的纵坐标为0.

又71014-4=25余1,・・.101为第26组的第1个数.."⑹的纵坐标为1,

AA12的坐标为（6,0）o

Aux,的坐标为（50,0）

Aioi的坐标为（50,1）

12.（5,0）,（9.0）

（1）Ai（0,1）,A3（1,0）,A12（6,0）：

（2）Aioo（50»0）»Aioi（50»1）；

（3）点A100中的n正好是4的倍数,所以点Aioo和Akm的坐标分别是Ay（50,0）,A10i（50,1）,所以蚂蚁从点Ay到Ann的移动方向是从下向上.