数量积判断两个平面向量的垂直关系高中数学知识点讲解含答案.docx
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数量积判断两个平面向量的垂直关系高中数学知识点讲解含答案
数量积判断两个平面向量的垂直关系（北京习题集）（教师版）
一．选择题（共8小题）
1．（2019秋•大兴区期末）已知向量a，b（1,1），则下列结论正确的是（ ）
（2,0）
A．1B．C．D．
agba//b|a||b|（ab）b
2．（2019秋•石景山区期末）已知向量am，b（2,2），若（ab）b，则实数m（ ）
（5,）
A．B．1C．2D．
12
3．（2018秋•昌平区期末）已知向量a，b（2,1m），且ab，那么实数m的值为（ ）
（1,2）
A．2B．1C．2D．4
4．（2019•北京模拟）已知向量a（1,2），b（2,m），且ab，那么m等于（ ）
A．B．C．1D．4
41
5．（2018秋•东城区期末）已知为直线的方向向量，，n分别为平面，的法向量（，不重合）那么下
vln
12
列说法中：
①；②；③////；④．正确的有
n1//n2//nn
vrnlvrnl（）1211
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2019•房山区二模）在以AB为边，AC为对角线的矩形中，AB（3,1）,AC（2,k），则实数k（ ）
A．6B．4C．2D．
2
3
7．（2018秋•朝阳区期末）已知非零向量，满足，夹角的余弦值是，若（tmn）n，则实数t
mn|m|2|n|m,n1
3
的值是（ ）
A．B．C．D．
211
3
2322
r
r1331
8．（2018秋•石景山区期末）已知向量a（,）,b（,），则下列关系正确的是（ ）
2222
A．（ab）bB．（ab）aC．（ab）（ab）D．（ab）//（ab）
二．填空题（共7小题）
9．（2019秋•通州区期末）已知向量，，若，则 ．
a（3,2）b（1,m）a（ab）m
10．（2020•北京模拟）已知向量，，且，则 ．
a（1,m）b（2,1）abm
11．（2020•顺义区二模）已知向量a（1,2），b（m,1），若ab，则实数m ．
第1页（共8页）
12．（2018秋•石景山区期末）已知a（1，1，0），b（1，0，2），若kab和a3b相互垂直，则k ．
13．（2019秋•海淀区校级月考）已知向量a（1,2），b（2,3），c（4,5），若（ab）c，则实数 ．
14．（2019•北京）已知向量a，b（6,m），且ab，则m ．
（4,3）
15．（2019•房山区二模）在以AB为边，AC为对角线的矩形中，AB（3,1）,AC（2,k），则实数k ．
第2页（共8页）
数量积判断两个平面向量的垂直关系（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2019秋•大兴区期末）已知向量（2,0），，则下列结论正确的是
ab（1,1）（）
A．1B．C．D．
agba//b|a||b|（ab）b
【分析】由已知结合向量的坐标运算及向量平行及垂直的坐标表示即可求解．
【解答】解：
因为a（2,0），b（1,1），
则，错误；，故错误；
agb21012A21010B
|a|2|b|2C
，，故错误；
ab（1,1）bg（ab）agbb2220
，．
故，正确．
（ab）bD
故选：
D．
【点评】本题主要考查了向量平行及垂直的坐标表示的简单应用，属于基础试题．
2．（2019秋•石景山区期末）已知向量，，若，则实数
a（5,m）b（2,2）（ab）bm（）
A．1B．1C．2D．2
【分析】结合向量数量积的性质的坐标表示即可求解．
【解答】解：
，，
Qa（5,m）b（2,2）
ab（3,m2）
，
Q（ab）b
，
则，
322（m2）0
m1．
故选：
B．
【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，属于基础试题．
3．（2018秋•昌平区期末）已知向量（1,2），，且，那么实数的值为
ab（2,1m）abm（）
A．2B．1C．2D．4
【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出的值．
abagb0m
第3页（共8页）
【解答】解：
；
Qab
agb22（1m）0
；
m2
．
故选：
C．
【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．
4．（2019•北京模拟）已知向量（1,2），，且，那么等于
ab（2,m）abm（）
A．4B．C．1D．4
1
【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出．
abagb0m
【解答】解：
；
Qab
agb22m0
；
m1．
故选：
C．
【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．
5．（2018秋•东城区期末）已知为直线的方向向量，，n分别为平面，的法向量（，不重合）那么下
vln
12
列说法中：
①1//2//；②nn；③////；④．正确的有
nn
vrnlvrnl（）1211
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】可以想象图形即可判断每个说法的正误．
【解答】解：
平面，不重合；
Q
平面，的法向量平行（垂直）等价于平面，平行（垂直）；
①②正确；
直线的方向向量平行（垂直）于平面的法向量等价于直线垂直（平行）于平面；
ll
③④都错误．
故选：
B．
【点评】考查平面法向量的概念，直线方向向量的概念．
6．（2019•房山区二模）在以AB为边，AC为对角线的矩形中，AB（3,1）,AC（2,k），则实数k（ ）
A．6B．4C．2D．
2
3
【分析】可得出BC（1,k1），而根据题意可知ABBC，从而得出ABgBC0，进行数量积的坐标运算即可求出
k．
第4页（共8页）
【解答】解：
；
BCACAB（1,k1）
据题意知，ABBC；
ABgBC3k10
；
k4
．
故选：
．
B
【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积和减法的坐标运算，以及向量减法的几何意义．
7．（2018秋•朝阳区期末）已知非零向量，满足，夹角的余弦值是，若（tmn）n，则实数t
mn|m|2|n|m,n1
3
的值是（ ）
A．B．C．D．
3211
2322
【分析】根据条件即可求出，而根据即可得出，进行数量积的运算即可求出的
mrgnr2nr（tmn）n（tmn）gn0t
2
3
值．
【解答】解：
，且夹角的余弦值是；
Q|m|2|n|m,n1
3
mrgnrmrnrnr
12
12
||||2
33
；
又；
（tmn）n
（）2220tmrnrgnrtmrgnrnr2tnrnr
tmrnrgnrtmrgnrnr2tnrnr
3
；
Q|n|0
；
2
t
10
3
；
3
2
t
．
故选：
．
A
【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量垂直的充要条件．
r
r1331
8．（2018秋•石景山区期末）已知向量a（,）,b（,），则下列关系正确的是（ ）
2222
A．（ab）bB．（ab）aC．（ab）（ab）D．（ab）//（ab）
【分析】可求出的坐标，进而可求出，即得出与和都不垂直，从而判断出
ab（ab）ga0,（ab）gb0abab
AB（ab）g（ab）a2b20（ab）（ab）C
，都错误；容易求出，从而判断出，即得出正确．
r
r3131
【解答】解：
ab（,）；
22
第5页（共8页）
rr
r333123
（ab）gb0
442
；
abb
不与垂直；
A
错误；
r
rr313323
（ab）ga0
442
；
aba
不与垂直；
B
错误；
又；
（ab）g（ab）ab110
22
（ab）（ab）
；
C
正确．
故选：
C．
【点评】考查向量坐标的加法和数量积运算，以及向量数量积的运算，向量垂直的充要条件．
二．填空题（共7小题）
9．（2019秋•通州区期末）已知向量a（3,2），b（1,m），若a（ab），则m 5 ．
【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积的定义，列方程求出m的值．
【解答】解：
向量（3,2），，则，
ab（1,m）ab（2,m2）
又a（ab），所以ag（ab）0，
即，解得．
322（m2）0m5
故答案为：
5．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积计算问题，是基础题．
10．（2020•北京模拟）已知向量a（1,m），b（2,1），且ab，则m 2 ．
【分析】利用向量垂直的性质直接求解．
【解答】解：
向量，，且，
Qa（1,m）b（2,1）ab
agb2m0
，
解得m2．
故答案为：
．
2
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11．（2020•顺义区二模）已知向量a（1,2），b（m,1），若ab，则实数m 2 ．
【分析】利用向量的垂直，数量积为0，求解即可．
第6页（共8页）
【解答】解：
向量，向量与垂直，
a（1,2）,b（m,1）ab
可得，
m20
解得．
m2
故答案为：
2．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量垂直条件的应用，考查计算能力．
12．（2018秋•石景山区期末）已知a（1，1，0），b（1，0，2），若kab和a3b相互垂直，则k
16
5
．
【分析】可求出，根据与垂直，即可得出，进行
kab（k1,k,2）,a3b（4,1,6）kaba3b（kab）g（a3b）0
数量积的坐标运算即可求出k．
【解答】解：
kab（k1,k,2）,a3b（4,1,6）；
Qkaba3b
与互相垂直；
（kab）g（a3b）4（k1）k120
；
16
解得．
k
5
16
故答案为：
．
5
【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法、减法、数乘和数量积的运算．
13．（2019秋•海淀区校级月考）已知向量，，，若，则实数 ．
a（1,2）b（2,3）c（4,5）（ab）c2
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得的值．
【解答】解：
向量，，，
Qa（1,2）b（2,3）c（4,5）
若，则，
（ab）c（ab）gcagcbgc410（815）0
实数2，
股答案为：
．
2
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．
14．（2019•北京）已知向量a（4,3），b（6,m），且ab，则m 8 ．
【分析】则，代入，，解方程即可．
abagb0ab
【解答】解：
由向量，，且，
a（4,3）b（6,m）ab
得agb243m0，
m8
．
第7页（共8页）
故答案为：
8．
【点评】本题考查了平面向量的数量积与垂直的关系，属基础题．
15．（2019•房山区二模）在以AB为边，AC为对角线的矩形中，AB（3,1）,AC（2,k），则实数k 4 ．
【分析】可得出（1,1），而根据题意可知，从而得出，进行数量积的坐标运算即可求出
BCkABBCABgBC0
k．
【解答】解：
BCACAB（1,k1）；
据题意知，ABBC；
ABgBC3k10
；
k4
．
故答案为：
4．
【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积和减法的坐标运算，以及向量减法的几何意义．
第8页（共8页）
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