深圳市高三年级第一次调研考试数学理试题带答案.docx

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深圳市高三年级第一次调研考试数学理试题带答案

2016年深圳市高三年级第一次调研考试数学一．选择题：

本大题共12小题，每小题5分，符合题目要求的

理科）2016.2.25

满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

1．已知集合Ax|y

A．x|3x1

2．设i为虚数单位，复数

A．第一象限

（1x）（x3），BB．x|0z满足ziB．第二象限

3．已知平面向量

a、b满足a

2，

x|log2x1，则AB

C．x|3x2

则z在复平面内对应的点在（

D．第四象限

4i，

C．第三象限

1，a与b的夹角为120，且ab

2ab，则实数

的值为（

A．

B．

4．若

x,y满足约束条件

C．

0，则z

D．3

A．

B．

C．2

y的最小值为（）

D．

5．公差为

A．65

1的等差数列

B．

中，

a1,a3,a6成等比数列，则C．85D．

an的前10项和为（

170

6．若函数

f（x）

2sin（2x

）（

B．

）的图像过点（,1），则该函数图像的一条对称轴方程是（26

C．

7．（x22）（x

）6的展开式中常数项为（x

B．25

D．

A．40

8．如图，网格纸上小正方形的边长为，则在该几何体中，最长的棱的长度是（

A．42B．25

9．4名同学参加3项不同的课外活动，的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（9

C．25

粗线画出的是某几何体的三视图，）

D．55

B．

C．

10．

点S

、A、

B、C在半

径为

2的同

3，

则点

S与

ABC中

心的距离为（

）

．3

B．2

．1

C．6D．43

若每名同学可自由选择参加其中）3

D．

球面上，

S到平面ABC的距离为1，

2x11．过点（0,2b）的直线l与双曲线C:

2a2

线C的右支上的点到直线

A．1,2

D．

l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率为取值范围是（

D．1,2

1（a,b0）的一条斜率为正值的渐进线平行，若双曲

2,C．1,2

12．函数f（x）lnxax2x有两个零点，则实数a的取值范围是（）

B．

A．0,1

B．

二．填空题：

本大题4小题，每小题

5分，满分20分

C．

D．

0,1e2e

13．已知f（x），g（x）分别是定义域为

14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这

就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为

（参考数据：

sin15

R的奇函数和偶函数，且f（x）

g（x）

3x，则f

（1）的值为

0.2588，sin7.50.1305）

15．过抛物线y22px（p0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线

（0,2），则p等于

交于A,B两点，若弦AB的垂直平分线经过点22n,an1n

16．数列an满足an

2an

1,an1

n2（n

2），若an为等比数列，

则a1的取值范围是

三．解答题：

本大题共8小题，程或演算步骤

17．（本小题满分12分）如图，在ABC中，C

（1）求cosB的值；

（2）求sinBAC的值和边BC的长

满分70分，解答须写出文字说明、证明过

60，D是BC上一点，AB31，BD

18．（本小题满分12分）

根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位

20，AD21

X（单位：

米）的频率分布直方图如下：

（1）求未来三年，至多有1年河流水位X[27,31）的概率（结果用分数表示）；

（2）该河流对沿河A企业影响如下：

当X[23,27）时，不会造成影响；当X[27,31）时，损失10000元；当X[31,35）时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案：

方案一：

防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；

方案二：

防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；方案三：

不采取措施；

试比较哪种方案较好，并请说理由

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ABC60，PAPB，PC2

（1）求证：

平面PAB平面ABCD；

（2）若PAPB，求二面角APCD的余弦值

20．（本小题满分12分）

x2y22

已知椭圆E:

x2y21（ab0）的离心率为2，直线xy30与椭圆E仅有一个公共点a2b22

1）求椭圆E的方程；

2）直线l被圆O:

x2y23截得的弦长为3，且与椭圆E交于A,B两点，求ABO面积的最大值

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）（x1）ex和函数g（x）（exa）（x1）2（e为自然对数的底数）

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）判断函数g（x）的极值点的个数，并说明理由；

（3）若函数g（x）存在极值为2a2，求a的值

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号22．（本小题满分10分）选修4-1：

几何证明选讲

如图，在直角ABC中，ABBC，D为BC边上异于B,C的一点，以AB为直径作圆O，并

分别交AC,AD于点E,F

（1）证明：

C,E,F,D四点共圆；

（2）若D为BC的中点，且AF3，FD1，求AE的长

O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

1）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

2）若直线l与曲线C相交于A,B两点，求

OAOB

11的值

24．（本小题满分10分）选修4-5：

不等式选讲已知函数f（x）xax3（aR）

（1）当a1时，求不等式f（x）x8的解集；

（2）若函数f（x）的最小值为5，求a的值

绝密★启封并使用完毕前

试题类型：

2016年深圳市高三笫一次调研考试

理科数学试题答案及评分参考

注意事顶*

1.本试題分第【卷（选样題）和第II卷（非选抒题）两部公.第I卷I至3页.第II卷3至5页.

2・答题前.与生务必将门己的牡名.准与证号填写在木认題相应的乜乩

3・全部答案在答J8K上完成.答在本试題上无效•

4.考试结克后.将本试題和答題十一并交冋•

1.选择駆

（I）B

（7）B

填空题

（17）（不小満分12分）

（I）求的值：

（II）求^nZBAC的值和PC边的长.

駢<（I）在中，・4“=31・BD=2O・AD^2\.

根知;余烷定理.有xf>-AD13lJ2O‘-2l‘23

cosZ.B==—・

2ABBD2x31x2031

（]【）VOc

<180\

III（I）可得

试理逆丨典（其门虫）

=sin（ZB+60°）

一smZZ^cos60°4-cosZ.Ks;in6CI°

112$23石35血

231TTT"62

中.根抵止弘定理.育

BC_M

sinZZHCsinZC

［#M图］本■考査間角三角画敷的关系式，和角公式.正余弦定理解三角识.考査学生

（18）（本小昱满分12分）

恨据某木文观历史统汁敌霉.◎到某河流水位x（单位：

水）的频奉分布在方图如卩：

格河沆水侍在以I.6R的频率作为相应日的槪率.并假设毎年河沆木位巧不彷响.

II）谀河流対沿河4企业影响如下:

当X6（2X27）时.不会览成彤响：

当X727.31）时.抵失

10000云当*可31.35］时.损失60000元.为减少憐失.现有3种应对方案：

方案h防御35米的廉高水位，需妥工程费用3800尤，

方^2.仍御不超过31米的朋位.黑尖匸电贾用2000兀'

试堰谕』H（其1201）

试比牧哪艸力案较好•井请说刖理由.

解：

（1）山二项分布彷在未氷3,至冀们年河说水位才727.31）的嗽率为:

••

P=c^（lf+c;（i）22=-1伶

14J44323廿

所儿在未米3年，予爭冇1年河流水位Xw[27.3l）的槪率刀三

（II）由题意知

P（23

P（27"<31）=0.256分

P（3i

XvM分别表示采取采脱方％I,2.3的損先.由JS知X严3800,

&分布列如下：

2000

62000

0.99

0.01

所以.E（X）=62000x0.01+2000x0.99=26009分

X.分布列如下；

10000

60000

X；1

0.25

0.01

所以.£（X3）=WXXM）x0（）1+l（XM）（）x（）.25=3KM）11分

因为采取方案2的平均損失最小昂以采取方案2较好.12分

[#■*»]考畫频率分布■方图，盘立m实匕的瓠分布列対mt考査学生读取统计图農,利用统计畳进行决策的修力和JZ.

（19）（A小履満分12分）

QI1谢.卩1|梭镇户一力从7丿中•底ItlAHCD是边长为2的菱匕・ZJKC=6（）V.P.4丄PB.PC=2.

（I）求fih^PAB丄平而/（BCTh

（II）若PA^PB.求二lh】允/一PC—D的余技但.

[解析〕

（1）取川8中点O・连结AC>CO、PO・1分

••5边形4BCD是边长为2的签形•

、AB■BC■21

•••"BC=W,

••・MBC是等边一角电•

・•COLAB.oc=®•:

4PLBP・

试理淤3«（其门0l）

・•・PO±AO・

ril

•••FO丄平liiABCD.

・•・直线OC・OB•OP两两垂岂.

以o为坐标原点.分别以oc・ob.op所在直线为y.z细建立虻图所爪空刚直用坐标余

则0（0,0.0）・・4（0・-1・0）.“（0.0.1）.BiOA.O）.C（>/3,（）.0）./X^-2,0）.

[WMH3宅査钱砂拔DIBM.利用空闾向■进行空■角的计算.考査空（IHSa.推理论证与运算求解的能力.

（20）（本小题満分12分）

號园放滋试理洽4典（其nih）

-I二+匚的爲I4・iM・x+；・+〃一（）.5GE仅右

"lr2

个公共点.

（I）求mE的方悝，

（II〉自线/极恻O：

亍+异二3桩得的弦长为3.II.与屛阀E交丁八〃两点.求A.4BO1（11积的尺夬值・

[M«f]（I）由°=逅壬一匹.解得夕=2F・故E乃稈E化为：

=1.

联立2b2b2•消丁可樹：

3〃+4贸丫十6—功'=0・・2分

x+卩十血一0

♦H盟題？

•A=48—12x（6—26?

）=0・昶即：

6*=1.3分

-4分

所以.磁冋F的方程为：

—+v

3记。

到宜线肋“"卄W哼*删呼“

«1）当直如M紬W.由题点町得■线/的AB^a=±—.

所以・Ss=*|.4纠•/=:

（11）当自线/£»•轴不平荷・设自緩/的方棉为v=kx^/H・4打•”）•B（x3.j2）.

所以d=

—i“F）■…①.

尹八h

联立彳

（k2^^2

因为.—尹.T*亠+“丁込＞0・

所儿

M为■|-451=vI+^：

IJj-|=/十厂十兀）'一4.“2■

代入②式松川可得：

|"B|=

1+FK討士）

~1^L~

法一R

I•件

K分

9分

•••—••••“•••••・y・•••••••••••••••■••••—■•i・o••夕/J

/3+3F）（%'+l）2y（3U+（W+l）]

'矿

2A:

2F+1

42#

当且仅1S3+M=5A2+1H取等引

即肖&=±1时，|z!

B|_二学

1，丿9k二丄11卜!

9（S・』《m'~*d«••••••••»••••«■•!

••«••••>••••••»•••••»•■••••••«>•••••12

g0232

法二

I・佃1=

s1川丄

X——4_

52八宀丄

1«脚效学试理淤6典（XI2A）

（103/>0时.

还

（肖RfX当心扌时取等引.

牡'因为'習〈芈'

所以.

"±1时・（Sg）i

[♦««图]tutt与样II的位■关票，Mamn中號长何息，均值不y氏考查学生化归与转化.敷影结合、函徽与方程的息想方法与运算求解的能力・

（21）（本小■満分12分）

C知凶数/⑴=（x十l）c”和网敎&（x）=Q-d）（*-l）22>o）（C为口然对数的底数〉•

I）求函数/（工）的单调区仙

IDriBnfittg（T）的楼備点的个数.并说明理由.

111）若呦垃g（x）存件楼伯为去/・求"的伯.

[解析]仃》,r（A）=（A-t2）C<■令厂（AT）aO.解斷XA—2.I分

斫以./（工）的单调增区何为（-2,^oc）;单调减区何为（yo,-2）3分

（»）VgrCv）=（A-IX（.v+l）^-2^]=（.t-IX/（x）-2^].

当xe（-oo.-i）时./（r）=（r+l）e,SO.

<1）当0V"VC时，由（I）知./（A）^（-l,+oo）调通壇.

且/（-l）-2a<0,/（l）-2^=2e-2n>0.

圻叹三唯一如£（-1,1）.使得/也）=0・

当“（y»A）时./（jf）-2Qi

当xw（Ao・l）•.f（x）-2a>0.故.g9（x）<0：

^xe（l,+co）,f（x）-2a>0.故g'（.v）>Of

所以.X-Ao时.g（x）取到极大｛fi・Uix-1时.g（“）取到极卜值；5分

（2）当“=e时.rti（li知・・/V）在（一1+龙）馳调递增・M/（h-2rj=0・

^xg（-<»J）B4./（A）-2d<0.故.xV）>0：

当xw（h+8）./（”）—2d>0・故.gr（.r）>0;

所以.g（对无栈血7分

（3）当“;>c时.

lil（I）知./（x）ft（-l»+oo）粮调递增.-2c加<0.

/（Inz7）-2fj=/7（lnr7+1）-2^=n（ln/7-U>0.

所llriffe（l.Intf）.他得/（忑）二0・

当*w（yJ）时.f（A）-2tr<0,故./（.r）>0：

当kg（1•心）•/（.x）-2^<0,故.g'（x）v0；

十kg（兀,+e）・/（v）-2n>0,故g（v）>0.

所以.=g（x）JR到极犬值.与x=.q时・g（x）取到楼卜值9分

纵上•二“W（0・C）U佩Y）叭&（"）冇两个极值吊

IQ"--eRJ■右点上\・•••••••••>••■■*••••«••••■•••••>■•••«••••«•••••••■»••••>•••«•«••••■••■•••••••MMa■••*••>•••»•••X0才

HID[ti（II）如.当Ovave时.怙I为g（l）=0±[.

AigU>）=（e^-6/）（.ro-l）2=la2•・。

='丫厂"°•

代入①式祐2、一匕护1）（.0_]）—2[迸吆丁・

整理可得.dF・（14rJeJ0.idMx）=（l-x）3-（l+.r）:

e\xe（-l,l）・

页为A（r）=-3（1-x）?

-（r+1Xv+3）er.当xe（-l.l）•h（x）<0.

试理:

ft"«i其HOl）

（斗）+l）e"1

（i=■=—w（o.e）^3"iKxt•—•.・・・•■•・•••••••—・・•■・■•・••・•・・•・•■•・—・—•・•■・•••••a・_1丄

当a>c时.闪为.g（Aj

综上.时.&（"）存在极値等丁"•12分

［命M图］专査和用导敗研究话效的性，tt«.■点歹在性定理，考査学生化归与转

化.9M细4週Ik与方糧的思IB方法与运算求M的繼力•

谓考生在第（22）、（23人<24）三题中任选一題做答。

注蕙：

只能做所选定的題目.如果多做，则按脚故駅第一个飽目计分，做答时请用2B铅笔在答題卡上将所送题号后的方框涂黑.

（32）（木小危滴分10分）选修4-h几何证阴选讲

如图.AHffiA4flC

别交AC.ADJ^E.F・

（I）证明：

C■E.F■D四点共网：

（|［）若D为肚的中戊.flJF=3.FD=\・求・4E的长.

【解折】

（1）连絲EF、RE.

则SBE=SFE・

因为・4〃是㈱的直轻.禺叹朋丄BE.又闪为M丄BC,所以"BE=ZC・所以ZAFE

HPZ£FD+ZC=1X0°.

所以C.E・F■D四点共圆5分

（II）悶为朋LffC•AH^mm径・圻以“c•是回的切线•DB：

=DF・D人=4•即〃D=2.

所以•佑。

Jf-22=2石,

闵为"为BC的屮点.所以BC=4・M=J（2的*=2贞・8分

（法一）因为C.E・F.0阿点共冏.所^AEAC^AFAD

«!

嗣效学试理洽。

典（其门！

H）

（法二）由3=CQC1得16=CEx2j?

・所以C£=

【说明】通过四点共囤恻的切线・刃割线定理令知叽勺15勺工推理论迁及运篦求解能力.

（23）（木小題満分10分）选修4一4,坐标系巧参效方用

已知宜线/的参数力稷为孑二".005^.（，为参数.Ovmvw）.I•丄原点O为极点.WtHiiE半紬y=/-sina

为嶺轴崖V植坐标系.IR线「的假坐标厅粹为“=―（/）>0）.

1-cos<2

（I）写出直钱/的极坐标方程和me的直角坐标方程;

（II）若宜线/与曲线C相交VA.B曲总证明一!

一与_!

—的等垫中项是丄.

\OA\\OB\p

［解析］

（1）由$"曲"紂，

y-t^ina

（I）当a=-时.自线/为x=0.K极坐标方程为加壬和^―：

1分

222

（2）柏犬整数，得y=ianc・x・

又（0

所以.亘线/的足过悼点且倾护角为Q的直线.故.J」jT健为£0—ci和O=（x+ji・

综I:

所述.H红/的极*标力禅为：

0=a和&二Q+ir（Jvav;r）・

（也可以骂成O-a（peR））

0-U4-JI

9分

&p、=P・RU|O昨"

p-*14-COSQ*14COS6T

1-COS0

丁•息

I1l-cos）+cosdf卜+\0A\\OB\pp

*«b在考畫參敷方秘砒标凤处方程与彌方出极塑标方糧与亶角峑标方程的相互转化.利用极生标研究■■曲考査敷形结合的思超.考查蒔价转化与运算求解能■力.

「I.修4-5：

不尊式

己知喷数/（丫）=|丫4“+|丫一3||“uR）・

（I）当a=llH・求不等jC/（a）>j4-8的解集：

（IQ若的最小值为5.求a的值.

[解析]（【）出a=1时.不^X/W>x+8nJ化为

|x+l|+|x-3|2"X・

当”<一1时.有一（x+l）-Cr-3）Nx+8・解f^x<-2：

1分

*1-1<.r<3H»有（x+l）・（x-3）Axt8・解得x<-4・不令•耍求：

2分

肖”>3时.有（x41）+（x-3）=x+8・2分

综上所述•・*£一2或・*210・

所以.原不竽式解集为（y>,-2]U[10/8）・—5分

（I）V,/（x）=|j：

4-a|4-|x-3|

=|x+

耳（丄牛"）十（3-・丫）|

=|亦3|

•・・・••8分

令|a+3|=5,解得“=2・或“=一8・

［倉JU8B］考査解绝对不*比绝对值三為不祕的性庚，效形结合的專想，专■推理论证,运算求解的能力.

（■睦人：

黄丸焊张衣伟界人・

W41tt学uU8：

M2!

h（WI2JK）

Ipr=,yI24j2.pca^f）=x

=（x+p）‘

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